2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区九年级上学期数学期中试题及答案，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P在（ ）
A. 外B. 内C. 上D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据点与圆的位置关系即可进行解答．
【详解】解：∵的半径为=，点P到圆心O的距离为d=，d=r，
∴点P在上．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握：当点到圆心距离大于半径时，点在圆外；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离小于半径时，点在圆内．
2. 下列方程中，没有实数根的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】逐项解方程或求出根的判别式，根据判别式的符号即可得到结论．
【详解】解：A．∵，
∴，
∴，
∴方程解，故本选项不合题意；
B．∵，
∴，
∴此方程没有实数根，故本选项符合题意；
C．，
∵，
∴此方程有两个相等的实数根，故本选项不合题意；
D．，
∵，
∴此方程有两个不相等的实数根，故本选项不合题意．
故选B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系．
3. 20名同学参加某比赛的成绩统计如下表，则成绩的众数和中位数（单位：分）分别为（ ）
A. 85，85B. 85，C. 85，90D. 90，90
【答案】B
【解析】
【分析】利用众数的定义和中位数的定义分别求出解答即可．
【详解】解：在这一组数据中85是出现次数最多的，故众数是85；
在这20个数中，处于中间位置的第10个和第11个数据，
∴中位数是这两个数的平均数：，
故选B．
【点睛】本题考查了众数和中位数的的定义，解决本题的关键是掌握众数的定义：一组数据中出现次数最多的数值；中位数的定义：按顺序排列的一组数据中居于中间位置的一个数或两个数的平均数．
4. 已知关于x的一元二次方程有一根为0，则m的值是（ ）
A. 0B. 1C. 0或1D. 0或
【答案】A
【解析】
【分析】将带入，得到一个关于m的方程，求出m的值，再根据一元二次方程的定义，排除不符合题意的m的值。
【详解】解：将带入得：，
解得：或；
∵原方程为一元二次方程，
∴，即，
∴
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握相关内容，并灵活运用．
5. 如图，正方形、等边三角形内接于同一个圆，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由，，已知图形是以正方形的对角线所在直线为对称轴的轴对称图形，求得，则所对的圆心角为，所以的度数为．
【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形，
∴，，
∵已知图形是以正方形的对角线所在直线为对称轴的轴对称图形，
∴，
∵是所对的圆周角，
∴所对的圆心角等于，
∴的度数为，
故选D．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，正方形及等边三角形的性质、圆周角定理和弧的度数，根据圆周角定理求出所对的圆心角的度数是解决本题的关键．
6. 如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】设的内切圆切三边于点，连接，得四边形是正方形，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，再求出内切圆的半径，进而可得的周长．
【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、，
∴四边形是正方形，
由切线长定理可知，
∵是的切线，
∴，
∵，，，
∴
∵是的内切圆，
∴内切圆的半径，
∴，
∴，
∴的周长．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7. 方程解为_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用直接开平方法解答即可．
【详解】解：方程的解为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题目，掌握解答的方法是关键．
8. 已知的半径为，圆心O到直线l的距离为，则直线l与的位置关系是______．
【答案】相离
【解析】
【分析】根据圆心到直线的距离与半径的大小关系即可得出答案．
【详解】解：∵圆心到直线的距离大于半径，
∴直线l与相离，
故答案为：相离．
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握直线与圆的位置关系的判断方法是解题的关键．
9. 某校图书馆9月份借阅图书500册，11月份借阅图书845册，设这两个月借阅图书的月平均增长率为x，根据题意可列方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，找出等量关系即可列出方程．9月份借阅册数×（1+增长率）=11月份借阅册数．
【详解】解：设这两个月借阅图书的月平均增长率为x，
根据题意可列方程为：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意找出等量关系，熟练掌握增长率模型的公式．
10. 设是一元二次方程的两个根，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据根与系数的关系先求出的值，然后代入计算即可．
【详解】解：∵是一元二次方程的两个根，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，若是一元二次方程的两根时，．
11. 正六边形内接于的半径为1，则由半径和围成的扇形的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据扇形面积公式即可得出结论．
【详解】解：∵正六边形内接于，
∴，
∴由半径径和围成的扇形的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，扇形面积的计算，熟练掌握扇形的面积公式是解决本题的关键．
12. 若一组数据的平均数是a，另一组数据的平均数是b，则a______b（填写“”、“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】根据的平均数是a，可得，再根据的平均数是b，可得进而即可得到解答．
【详解】解：∵的平均数是a，
∴，
∴
，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了算术平均数的的定义（是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数），灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
13. 将半径为面积为的扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），该圆锥的底面半径为______．
【答案】1
【解析】
【分析】设圆锥体的底面圆的半径为，根据扇形面积公式：列出方程求解即可．
【详解】解：设圆锥体的底面圆的半径为，
，
解得：．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了扇形面积公式和弧长公式，解题的关键是掌握扇形的弧长等于围城圆锥体的地面周长，扇形面积公式：．
14. 如图，圆的内接五边形满足，，，则______．
【答案】##度
【解析】
【分析】连接，根据圆的内接四边形的性质可求出的度数，再根据平行线的性质和等腰三角形的性质即可求出．
【详解】解：连接，
∵四边形是圆的内接四边形，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆的内接四边形的性质，解题的关键是熟练画出辅助线，构造圆的内接四边形，掌握圆的内接四边形对角互补．
15. 已知m是方程的一个根，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】由题意知，m是方程的一个根，则可把代入原方程，即可求解．
【详解】解：∵m是方程的一个根，
∴把代入原方程得：，
∴，
∴
．
故答案为：3．
【点睛】本意主要考查了对一元二次方程的根的理解，知道了方程得一个根，就可把根代入原方程求解．再计算过程中注意，得到一个关于m得方程后，把当作一个整体，直接移项可求解，不需要算出m得值．
16. 如图，在平面直角坐标系中，的半径是1．过上一点P作等边三角形，使点D，E分别落在x轴、y轴上，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】找到最大值与与最小值位置，分别进行解题求出取值范围的临界值即可．
【详解】解：如图，过点P作于点M，连接，
设，
∵为等边三角形，，
∴，M为中点，
∴，
根据勾股定理可得，
∵，
∴，
解得：；
如图，过点P作于点M，连接，
设，
同理可得，，
∵，
解得：；
综上，，
∴的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的概念，等边三角形的性质，三角形三条边的关系，和勾股定理，找准临界位置是解题的关键．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解下列方程．
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）先移项，再用因式分解法求解即可；
（2）用公式法求解即可．
【小问1详解】
解：，
，
或，
，．
【小问2详解】
解：，
，
∴，
∴，．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤．解一元二次方程的方法有：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法．
18. 如图，四边形内接于一圆，是边的延长线．
（1）求证；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到，根据同角的补角相等证明结论；
（2）根据圆周角定理得到，根据三角形内角和定理计算即可．
【小问1详解】
证明：四边形内接于圆，
，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补．
19. 一部电影的评分越高，说明这部电影越受欢迎，电影的评分是由这部电影的“星级”评价（5星、4星、3星、2星、1星）计算得来．已知电影A，B的星级评价统计如下：
约定5星为10分，4星为8分，3星为6分，2星为4分，1星为2分．
通过计算电影的评分，比较电影A，B哪部更受欢迎．
【答案】电影A哪部更受欢迎
【解析】
【分析】算出电影A，B各自的评分即可得到解答．
【详解】解：根据题意可得，A：，
B：，
∵，
∴电影A哪部更受欢迎．
【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，准确的计算是解决本题的关键．
20. 如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为6米，拱高（弧的中点到水面的距离）为1米．
（1）求主桥拱所在圆的半径；
（2）若水面下降1米，求此时水面的宽度．
【答案】（1）主桥拱所在圆的半径
（2）此时水面的宽度
【解析】
【分析】（1）以O为圆心，连接，根据三线合一定理可得，设，则，再根据勾股定理即可求出半径；
（2）由题意得，水面下降为，连接，根据水面下降1米，可得，再根据勾股定理即可求得答案．
【小问1详解】
如图，以O为圆心，连接，
由题意可得，D为弧的中点，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，，，
∴，
解得：，
∴主桥拱所在圆的半径；
【小问2详解】
由题意得，水面下降为，连接，
∵水面下降1米，
∴，
则，
∴，即水面的宽度为．
【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
21. 如图，已知，M是射线上一点，．以点M为圆心、r为半径画．
（1）当与射线相切时，求r的值；
（2）写出与射线的公共点的个数及对应的r的取值范围．
【答案】（1）r的值为1
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）作于N，根据等腰直角三角形的性质得到，然后根据直线与圆的关系得到当时，与射线相切；
（2）根据直线与圆的关系进行分类讨论即可．
【小问1详解】
作于N，如图所示：
∵，
∴，
∴当与射线相切时，r的值为1；
【小问2详解】
由（1）可知，根据直线与圆的关系得到：
当时，与射线相切，只有一个公共点；
当时，与射线相离，没有公共点；
当时，与射线相交，有两个公共点；
当时，与射线只有一个公共点．
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
22. 如图，是的直径，射线交于点C．
（1）尺规作图：求作的中点D．（保留作图痕迹）
（2）过点D画垂足为E．求证：是的切线．
【答案】（1）图见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）作的垂直平分线交于点D，则点D为的中点；
（2）连接连接交于F，先利用垂径定理的推论得到，再根据圆周角定理得到，则，接着证明，然后根据切线的性质得到结论．
【小问1详解】
如图，点D为所作，
【小问2详解】
证明：连接交于F，如图，
∵点D为的中点，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
【点睛】本题考查了作图—复杂作图、垂径定理、圆周角定理和切线的判定，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
23. 某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每天可卖出300件．经过市场调研发现，在一定范围内调整售价：
①每涨价1元，每天要少卖出10件；
②每降价1元，每天可多卖出20件．
如果只能调整一次售价，如何调整使每天的利润为6250元？
【答案】涨价5元
【解析】
【分析】根据“总利润单件利润销售量”列出方程，解方程解题．
【详解】解：①设涨价x元，使每天的利润为6250元，
，
解得，
②设降y元，使每天的利润为6250元，
，
整理的，
，
方程无解，
答：涨价5元，每天的利润为6250元．
【点睛】本题考查列一元二次方程解应用题，找等量列方程找到符合实际的解是解题的关键．
24. 解新类型的方程（组）时，可以通过去分母、换元等方法转化求解．
（1）请按要求填写下表．
（2）解方程组：
【答案】（1）；2或；
（2），
【解析】
【分析】（1）利用换元法解方程即可；
（2）利用完全平方公式将第一个方程变形为，则，分别与第二个方程结合，再利用根与系数得关系解方程即可．
【小问1详解】
，
设，则方程变形为，
∴，
解得或，
∴或（无解），
解得，
故答案：；2或；；
【小问2详解】
，
由第一个方程得，，
∴，
①当时，
∵，
∴x、y是一元二次方程得两个根，
解得或，
∴；
②当时，
∵，
∴x、y是一元二次方程得两个根，
解得或，
∴，
综上所述，这个方程组得解，．
【点睛】本题考查了转化思想在高次方程、分式方程和二元二次方程组的应用，明确如何转化及一元二次方程的基本解法是解决本题的关键．
25. 已知关于x的方程．
（1）证明：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根分别为 ，且，证明：．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）化成一般式，求根的判别式，当时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据根与系数的关系求出两根和，再把化为，再根据求根公式求出，并判断出即可．
【小问1详解】
证明：，
即，
∴
，
∵无论k取何值时，总有，
∴，
∴无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，解决本题的关键是掌握根与系数的关系．
26. 构造合适的图形，可以用线段的长表示一元二次方程的正根．
（1）如图，的两直角边分别为和n，在斜边上截取，请说明的长为关于x的方程的一个根．
（2）已知关于x的方程，请构造合适的图形表示该方程的正根．（要求有必要的文字说明，并在图中作必要标注）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理可得，带入数据即可进行解答．
（2）构造图形，用和（1）相同的方法即可进行解答．
【小问1详解】
解：在方程中，，
∵，
∴，
∴，
∴方程的正根为：．
在中，根据勾股定理可得：，
∵，
∴，整理得：，
∵，
∴，
，
解得：．
∴是的一个正根．
【小问2详解】
在方程中，，
∵，
∴，
∴
∴原方程的正根为：．
如图：的斜边为，直角边，在直角边的延长线上截取，
中，根据勾股定理可得：，
∵
即：，整理得：，
∵，
∴，
，
解得：
∴是的一个正根．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解一元二次方程，解题的关键是正确理解图形，根据勾股定理建立方程进行解答．
27. 以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？
I．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图①、②）；
Ⅱ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图③）；
Ⅲ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图④）．
（1）在图①、②中，取的中点O，根据 得，即A，B，C，D共圆；
（2）在图③中，画⊙O经过点A，B，D（图⑤）．假设点C落在外，交于点E，连接，可得 ，所以 ，得出矛盾；同理点C也不会落在内，即A，B，C，D共圆．结论Ⅲ同理可证．
（3）利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点．
已知：如图⑥，锐角三角形的高，相交于点H，射线交于点F．
求证：是的高．（补全以下证明框图，并在图上作必要标注）
（4）如图⑦，点P是外部一点，过P作直线，，的垂线，垂足分别为E，F，D，且点D，E，F在同一条直线上．求证：点P在的外接圆上．
【答案】（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）；；
（3）①；②B、E、D、C；③；
（4）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明；
（2）根据结论Ⅱ可知：，再利用得到，利用外角性质可得，相互矛盾即可证明点C在圆上；
（3）以A、E、H、D四点作圆，以B、E、D、C四点作圆，连接，得到，，再利用，得到，即可证明；
（4）连接，，由结论I可得：点P、D、F、C四点共圆，点P、E、B、F四点共圆，证明，由结论Ⅲ可得点A、B、C、P四点共圆，即点P在的外接圆上．
【小问1详解】
解：连接，，
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得：，，
∴
故答案为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
【小问2详解】
解：假设点C落在外，交于点E，连接，
可得：，
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴，相互矛盾，故点C在圆上，
故答案为：；；
【小问3详解】
证明：以A、E、H、D四点作圆，以B、E、D、C四点作圆，连接．
∵A、E、H、D四点共圆，
∴，
∵B、E、D、C四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即是的高．
故答案为：；B、E、D、C；；
【小问4详解】
证明：连接，，
由结论I可得：点P、D、F、C四点共圆，点P、E、B、F四点共圆，
又∵点D，E，F在同一条直线上，
∴，，
∴，
由结论Ⅲ可得点A、B、C、P四点共圆，
即点P在的外接圆上．
【点睛】本题考查四边形外接圆的综合问题，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形外角性质，解题的关键是掌握以上相关知识点，并能够综合运用，难度较大，考查学生对整体知识的应用．
成绩/分
80
85
90
95
人数/人
2
8
6
4
原方程
①转化
设，则
②求解

③检验
，2都是原方程的解
…
④结论