初中数学北师大版七年级下册5 平方差公式优秀同步达标检测题

这是一份初中数学北师大版七年级下册5 平方差公式优秀同步达标检测题，文件包含专题15平方差公式原卷版-七年级数学下册同步精品讲义北师大版docx、专题15平方差公式教师版-七年级数学下册同步精品讲义北师大版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。

1. 掌握平方差公式，理解公式中字母的含义；
2. 学会运用平方差公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；
3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.
4.能用平方差公式的逆运算解决问题
知识点一. 平方差公式
平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型
（2）系数变化：如
（3）指数变化：如
（4）符号变化：如
（5）增项变化：如
（6）增因式变化：如
知识点二. 平方差公式的几何验证
将图中①的阴影部分拼成了一个长方形，如图②，则
图①中的阴影部分的面积为a2﹣b2，图②中的阴影部分的面积是，
由阴影部分面积相等，得到代数式之间的等量关系式为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
知识点01 平方差公式
典例：1.用平方差公式计算：
（1）（5+6x）（5﹣6x）； （2）（a+3b）（a﹣3b）；
（3）（3+ab）（3﹣ab）； （4）（x﹣2y）（﹣x﹣2y）．
【答案】(1)25﹣36x2；(2) a2﹣9b2 ;（3）9﹣a2b2;（4）
【分析】根据平方差公式，找出公式中的a,b正确运用即可．
【详解】解：（1）原式＝52 - (6x)2
=25﹣36x2；
(2)原式＝a2﹣（3b）2
＝a2﹣9b2；
(3)原式＝32﹣（ab）2
＝9﹣a2b2；
原式＝
＝．
【点拨】本题主要考查平方差公式的直接应用，解答的关键是对平方差公式的正确掌握．
巩固练习
1.计算：
（1）a（2﹣a）+（a+b）（a﹣b）．
（2）（x+3）（x﹣3）﹣x（x﹣1）；
（3）（m+3n）（m﹣3n）；
（4）（0.2x﹣0.3）（0.2x+0.3）.
【答案】(1)2a﹣b2；(2)x﹣9 ;（3）m2﹣9n2;（4）0.04x2﹣0.09
【分析】（1）根据单项式乘多项式和平方差公式进行计算即可；
（2）根据单项式乘多项式和平方差公式进行计算，中间是减号，要注意变号；
（3）根据平方差公式直接进行计算；
（4）根据平方差公式直接进行计算．
【详解】解：
（1）a（2﹣a）+（a+b）（a﹣b）
＝2a﹣a2+a2﹣b2
＝2a﹣b2．
（2）（x+3）（x﹣3）﹣x（x﹣1）
＝x2﹣9﹣x2+x
＝x﹣9．
（3）（m+3n）（m﹣3m）
＝m2﹣（3n）2
＝m2﹣9n2；
（4）（0.2x﹣0.3）（0.2x+0.3）
＝（0.2x﹣0.3）（0.2x+0.3）
＝0.04x2﹣0.09．
【点拨】本题主要考查平方差公式，单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
典例：2.用简便方法计算下列各题：
（1）103×97；
（2）1022﹣101×103．
【分析】对数进行适当变形，利用平方差公式运算即可．
【详解】解：（1）原式＝（100+3）（100﹣3）
＝1002﹣32
＝10000﹣9
＝9991；
（2）原式＝1022﹣（102﹣1）（102+1）
＝1022﹣1022+1
＝1．
【点拨】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握公式是解题的关键．
巩固练习
1.简便计算：
（1）20232﹣2022×2024；
（2）．
【分析】根据平方差公式运算即可．
【详解】解：（1）20232﹣2022×2024
＝20232﹣（2023﹣1）（2023+1）
＝20232﹣（20232﹣1）
＝20232﹣20232+1
＝1．
【点拨】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握公式是解题的关键．
能力提升
选择题
1．已知a2﹣b2＝8，b﹣a＝2，则a+b等于（ ）
A．﹣8B．8C．﹣4D．4
【答案】C
【分析】根据平方差公式得出结论即可．
【解答】解：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝8，b﹣a＝2，
∴a+b＝﹣4，
故选：C．
【点拨】根据平方差公式：可得到答案．
2．（﹣a+1）（a+1）（a2﹣1）等于（ ）
A．a4﹣1B．﹣a4+1C．﹣a4+2a2﹣1D．1﹣a4
【答案】C
【分析】将原式变形为﹣（a﹣1）（a+1）（a2﹣1），再运用平方差公式和完全平方公式进行求解．
【解答】解：（﹣a+1）（a+1）（a2﹣1）
＝﹣（a﹣1）（a+1）（a2﹣1）
＝﹣（a2﹣1）2
＝﹣（a4﹣2a2+1）
＝﹣a4+2a2﹣1，
故选：C．
【点拨】本题主要考查运用平方差公式和完全平方公式进行求解．
3．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（a﹣b）（a+b）B．（﹣a+b）（﹣b﹣a）
C．（﹣2x﹣3y）（2x+3y）D．（﹣2x+3y）（3y+2x）
【答案】C
【分析】利用平方差公式的特点，完全平方公式的特点对每个选项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：∵（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2，
∴选项A不符合题意；
∵（﹣a+b）（﹣b﹣a）＝（﹣a）2﹣b2，
∴选项B不符合题意；
∵（﹣2x﹣3y）（2x+3y）＝﹣（2x+3y）2，是完全平方公式，
∴选项C符合题意；
∵（﹣2x+3y）（3y+2x）＝（3y）2﹣（2x）2＝9y2﹣4x2，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
【点拨】根据平方差公式：可得到答案．
4．已知：a+b＝5，a﹣b＝1，则a2﹣b2＝（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】A
【分析】把所求式子变形为（a+b）（a﹣b），再整体代入即可．
【解答】解：∵a+b＝5，a﹣b＝1，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝5×1＝5，
故选：A．
【点拨】本题主要考查运用平方差公式和完全平方公式进行求解．
5．为了运用平方差公式计算，下列变形中，正确的是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】将看作整体，利用平方差公式进行计算即可求解．
【详解】解：
，
故选：D．
【点拨】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键．
6．下列能用平方差公式计算的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平方差公式：，逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A、不能用平方差公式计算，不符合题意；
B、不能用平方差公式计算，不符合题意；
C、能用平方差公式计算，符合题意；
D、不能用平方差公式计算，不符合题意，
故选：C．
【点拨】本题考查了平方差公式，熟记平方差公式，掌握平方差公式的特征是解题关键．
7．如图所示的分割正方形拼接成长方形的方案中，可以验证（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】用代数式表示左图，右图阴影部分的面积即可．
【详解】解：左图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，而右图阴影部分是长为,宽为的长方形，因此面积为，
所以，
故选：D．
【点拨】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
8．如图所示，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意可分别求出两个图形的面积，进而问题可求解．
【详解】解：图一阴影部分的面积为，图二的面积为，
∴验证的一个等式为；
故选A．
【点拨】本题主要考查平方差公式与几何图形，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
9．化简得（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将原式乘以，即可利用平方差公式进行求解．
【详解】解：
，
故选C．
【点拨】本题主要考查了平方差公式，正确原式乘以构造平方差公式是解题的关键．
10．已知，则的值是（ ）
A．9B．12C．18D．27
【答案】A
【分析】把变形为，代入后，再变形为即可求得最后结果．
【详解】解：∵，
∴
故选：A．
【点拨】本题考查了代数式求值的方法，同时还利用了整体思想．
11．如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个阴影部分的面积，这个过程验证了公式（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
【答案】A
【分析】用代数式表示左图、右图阴影部分的面积即可．
【解答】解：左图中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，
右图中阴影部分是上底为2b，下底为2a，高为a﹣b的梯形，因此面积为12（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）．
由于左图与右图阴影部分的面积相等，则有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：A．
【点拨】本题主要考查用代数式表示左图、右图阴影部分的面积．
12．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2
D．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2
【答案】A
【分析】根据两个图形中阴影部分的面积相等，分别列式表示．
【解答】解：根据两个图形中阴影部分的面积相等得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：A．
【点拨】本题主要考查如何根据两个图形中阴影部分的面积相等，分别列式表示即可求出结果．
二、填空题
1．若x2﹣y2＝30，且x+y＝5，则x﹣y＝ ．
【答案】6
【分析】根据平方差公式即可求出答案．
【解答】解：∵x2﹣y2＝30，且x+y＝5，
∴（x﹣y）（x+y）＝30，
∴x﹣y＝6，
故答案为：6．
【点拨】本题主要考查如何根据平方差公式求解．
2．若m2﹣n2＝6，m+n＝3，则m−n2= ．
【答案】1
【分析】直接利用平方差公式求出即可．
【解答】解：∵m2﹣n2＝6，m+n＝3，
∴（m﹣n）（m+n）＝6，
则m﹣n的值是2，
∴m−n2=1．
故答案为：1．
【点拨】本题直接利用平方差公式求出即可．
3．如图，边长为（m+n）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后余下部分又剪开拼成个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为n，则长方形的面积是 ．
A．2m+2nB．m+2nC．2m2+nD．2mn+n2
【答案】2mn+n2
【分析】根据长方形的面积等于两个正方形的面积差，列式计算即可．
【解答】解：由题意得，拼成的长方形的面积为：
S大正方形﹣S小正方形
＝（m+n）2﹣m2
＝2mn+n2，
故答案为：2mn+n2．
【点拨】本题主要考查根据长方形的面积等于两个正方形的面积差，列式计算即可．
4．计算：（22+1）（24+1）（28+1）＝ ．
【答案】
【分析】将原式变形为13（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1），然后利用平方差公式计算即可．
【解答】解：原式=13（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）
=13（24﹣1）（24+1）（28+1）
=13（28﹣1）（28+1）
=13（216﹣1）
=216−13．
故答案为：216−13．
【点拨】本题主要考查将原式变形为13（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1），然后利用平方差公式计算即可．
5．小丽在计算3×（4+1）×（42+1）时，把3写成（4﹣1）后，发现可以连续运用平方差公式进行计算．用类似方法计算：（1+12）×（1+122）×（1+124）×（1+128）+1215= ．
【答案】2
【分析】根据平方差公式解决此题．
【解答】解：（1+12）×（1+122）×（1+124）×（1+128）+1215
=2×(1−12)×(1+12)×(1+122)×(1+124)×(1+128)+1215
=2×(1−122)(1+122)×(1+124)×(1+128)+1215
=2×(1−124)(1+124)×(1+128)+1215
=2×(1−128)×(1+128)+1215
=2×(1−1216)+1215
=2−1215+1215
＝2．
故答案为：2．
【点拨】本题主要考查根据平方差公式解决此题．
6．阅读材料后解决问题：小明遇到下面一个问题计算经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：
．
请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：_____．
【答案】
【分析】原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值．
【详解】解：根据题意得：
原式=（7-1）（7+1）（+1）（+1）（+1）（+1）
=×（-1）（+1）（+1）（+1）（+1）
=×（-1）（+1）（+1）（+1）
=×（-1）（+1）（+1）
=×（-1）（+1）
=×（-1）
=．
故答案为：．
【点拨】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
三、解答题
1. 用平方差公式计算：
（）．
（）．
（）．
（）．
【答案】（），（）， （），（）．
【解析】
【详解】试题分析：根据平方差公式计算即可．
试题解析：解：（）原式；
（）原式；
（）原式；
（）原式．
【点拨】本题考查了平方差公式．解题的关键是掌握公式的特征．
2. 先化简，再求值：(x+1)(x-1)+x(3-x)，其中x=2．
【答案】5
【解析】
【详解】试题分析：利用平方差公式和单项式乘多项式将原式展开，再合并同类项即可化简，把x的值代入计算即可．
试题解析：解：原式=
当x=2时，原式=－1+3×2=5．
【点拨】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确运用整式的运算法则进行化简是解答此题的关键．
3. 如图，在一块边长为a的正方形纸板四周，各剪去一个边长为b(b＜0)的正方形．
(1)用代数式表示阴影部分的面积；
(2)利用因式分解方法计算当a＝15.4，b＝3.7时，阴影部分的面积．
【答案】(1) a2－4b²;(2) 182.4.
【分析】
（1）用大正方形的面积减去四个小正方形的面积即可求得阴影部分的面积；（2）把所得的代数式用平方差公式因式分解后，代入求值即可.
【详解】(1)S阴影＝a2－4b2；
(2)S阴影＝(a＋2b)(a－2b)＝(15.4＋2×3.7)(15.4－2×3.7)＝22.8×8＝182.4.
【点拨】本题主要考查利用大正方形的面积减去四个小正方形的面积即可求得阴影部分的面积；把所得的代数式用平方差公式因式分解后，代入求值即可.
4. 试说明：两个连续奇数的积加上1，一定是一个偶数的平方．
【答案】证明见解析.
【分析】由题意设两个连续奇数为2n-1，2n+1，然后根据平方差公式进行证明．
【详解】解：设两个连续奇数为2n−1，2n+1，
则(2n−1)(2n+1)+1=(2n)2−1+1=(2n)2
结果成立.
【点拨】本题主要考查根据平方差公式进行证明．
5. 探究活动：
（）如图①，可以求出阴影部分的面积是__________．（写成两数平方差的形式）
（）如图②，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是__________．（写成多项式乘法的形式）
（）比较图①、图②阴影部分的面积，可以得到公式__________．
知识应用，运用你所得到的公式解决以下问题：
（）计算：．
（）若，，求的值．
【答案】（）；（）；（）；应用（1）a2+2ab+b2-4c2；（2）.
【详解】解：（1）阴影部分的面积是：a2-b2，
故答案是：a2-b2；
（2）长方形的面积是（a+b）（a-b），
故答案是：（a+b）（a-b）；
（3）可以得到公式：a2-b2=（a+b）（a-b），
故答案是：a2-b2=（a+b）（a-b）；
应用：（1）原式=(a+b)2−4c2
=a2+2ab+b2-4c2；
（2）4x2-9y2=（2x+3y）（2x-3y）=10，
由4x+6y=6得2x+3y=3，
则3（2x-3y）=10，
解得：2x-3y=．
【点拨】本题主要考查根据平方差公式进行求解．
6. 如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么这个正整数为“神秘数”．如:4＝22-02;12＝42-22；20＝62-42；因此，4，12，20这三个数都是神秘数．
(1)28和2012这两个数是不是神秘数？为什么？
(2)设两个连续偶数为2k和2k+2(其中k为非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数，请说明理由．
(3)两个连续奇数的平方差(取正数)是不是神秘数？请说明理由．
【答案】（1），理由见解析；（2）见解析；（3）不是，理由见解析
【解析】
【分析】（1）试着把28、2012写成平方差的形式，解方程即可判断是否是神秘数；
（2）化简两个连续偶数为2k+2和2k的差，再判断；
（3）设两个连续奇数为2k+1和2k-1，则（2k+1）2-（2k-1）2=8k=4×2k，即可判断两个连续奇数的平方差不是神秘数．
【详解】解：（1）设28和2012都是“神秘数”，设28是x和x-2两数平方差得到，
则x2-（x-2）2=28，
解得：x=8，∴x-2=6，
即28=82-62，
设2012是y和y-2两数的平方差得到，
则y2-（y-2）2=2012，
解得：y=504，
y-2=502，
即2012=5042-5022，
所以28，2012都是神秘数．
（2）（2k+2）2-（2k）2=（2k+2-2k）（2k+2+2k）=4（2k+1），
∴由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数，且是奇数倍．
（3）设两个连续奇数为2k+1和2k-1，
则（2k+1）2-（2k-1）2=8k=4×2k，
即：两个连续奇数的平方差是4的倍数，是偶数倍，不满足连续偶数的神秘数为4的奇数倍这一条件．
∴两个连续奇数的平方差不是神秘数．
【点拨】此题首先考查了阅读能力、探究推理能力．对知识点的考查，主要是平方差公式的灵活应用