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北师大版七年级下册第一章 整式的乘除6 完全平方公式精品课后作业题
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这是一份北师大版七年级下册第一章 整式的乘除6 完全平方公式精品课后作业题，文件包含专题16完全平方公式原卷版-七年级数学下册同步精品讲义北师大版docx、专题16完全平方公式教师版-七年级数学下册同步精品讲义北师大版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
1. 掌握完全平方公式，理解公式中字母的含义；
2. 学会运用完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；
3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.
4.能用完全平方公式的逆运算解决问题
知识点一、完全平方公式
完全平方公式：
两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：
知识点二、添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
特别说明：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.
知识点三、补充公式
；；
；.
知识点01 完全平方公式
典例1：计算（3x﹣1）2的结果是（ ）
A．6x2﹣6x+1B．9x2﹣6x+1C．9x2﹣6x﹣1D．9x2+6x﹣1
【答案】B
【分析】利用完全平方公式做题即可．
【解答】解：（3x﹣1）2＝9x2﹣6x+1，
故选：B．
【点拨】本题主要考查利用完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键。
典例2：若x2+mx+9是完全平方式，则m的值是（ ）
A．±3B．﹣6C．6D．±6
【答案】D
【分析】利用完全平方公式的结果特征判断，即可求出m的值．
【解答】解：∵x2+mx+9是完全平方式，
∴m＝±6．
故选：D．
【点拨】本题主要考查利用完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键。
典例3：运用完全平方公式计算：
(1)；
(2)；
(3)；
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用完全平方公式直接求解即可．
（2）利用完全平方公式直接求解即可．
（3）利用完全平方公式直接求解即可．
【详解】（1）
，
（2）
，
（3）
，
【点拨】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟记完全平方公式．
巩固练习
1．下列多项式中，完全平方式是（ ）
A．4a2﹣4a﹣1B．a2+2a+4C．a2−a+14D．a2﹣1
【答案】C
【分析】根据完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2进行逐一判断即可．
【解答】解：A、4a2﹣4a﹣1不符合题意完全平方式的特点，不符合题意；
B、a2+2a+4不符合题意完全平方式的特点，不符合题意；
C、a2−a+14=(a−12)2，是完全平方式，符合题意；
D、a2﹣1不符合题意完全平方式的特点，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟记完全平方公式．
2．若x2﹣2kx+4是完全平方式，则k的值是 ．
【答案】±2
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
【解答】解：∵x2﹣2kx+4是完全平方式，
∴﹣2k＝±4，
解得：k＝±2．
故答案为：±2．
【点拨】本题主要考查利用完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键。
3．已知（x﹣y）2＝9，xy＝4，则（x+y）2的值为 ．
【答案】25
【分析】已知等式利用完全平方公式化简后，代入可得：x2+y2＝17，然后展开所求式可得答案．
【解答】解：∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝9，xy＝4，
∴x2﹣8+y2＝9，
∴x2+y2＝17，
∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝17+8＝25．
故答案为：25．
【点拨】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟记完全平方公式．
知识点02 添括号法则
典例1：下列等式不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据添括号法则、平方差公式、平方性质、完全平方差公式分别计算验证即可得到答案．
【详解】解：A、根据添括号法则，括号外是负的，添括号后括号内各项要变号，从而正确，不符合题意；
B、根据平方差公式，，该选项错误，符合题意；
C、根据平方性质，，该选项正确，不符合题意；
D、根据完全平方差公式，，该选项正确，不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查整式运算，涉及添括号法则、平方差公式、平方性质、完全平方差公式等知识，熟练掌握相关运算法则及公式逐项验证是解决问题的关键．
巩固练习
1．计算
①（2x﹣3y）2﹣（y﹣3x）（3x﹣y）
②（3﹣2x+y）（3+2x﹣y）
【答案】①13x2﹣18xy+10y2②9﹣4x2+4xy-y2
【分析】①利用完全平方公式进行计算，然后合并同类项即可；
②先利用平方差公式进行计算，然后再利用完全平方公式进行计算，最后去括号即可．
【解答】解：①原式＝（2x﹣3y）2+（y﹣3x）2
＝4x2﹣12xy+9y2+y2﹣6xy+9x2
＝13x2﹣18xy+10y2
②原式＝[3﹣（2x﹣y）][3+（2x﹣y）]
＝9﹣（2x﹣y）2=9﹣4x2+4xy-y2
能力提升
选择题
1．下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ）
A．（3a﹣2b）（﹣2b﹣3a）B．（3a+2b）（﹣3a﹣2b）
C．（3a+2b）（﹣2a﹣3b）D．（3a﹣2b）（3a+2b）
【答案】B
【分析】先把各式变形，然后根据完全平方公式对各选项进行判断．
【解答】解：A、原式＝﹣（3a﹣2b）（3a+2b）＝﹣（9a2﹣4b2）＝﹣9a2+4b2，所以A选项错误；
B、原式＝﹣（3a+2b）2＝﹣9a2﹣12ab﹣4b2，所以A选项正确；
C、原式＝﹣（3a+2b）（2a+3b），不能使用完全平方公式，所以C选项错误；
D、原式＝9a2﹣4b2，所以D选项错误．
故选：B．
【点拨】本题主要考查式子变形，然后根据完全平方公式对各选项进行判断．
2．若（3x+2y）2＝（3x﹣2y）2+A，则代数式A是（ ）
A．﹣12xyB．12xyC．24xyD．﹣24xy
【答案】C
【分析】表示出A，再利用完全平方公式展开计算即可得解．
【解答】解：∵（3x+2y）2＝（3x﹣2y）2+A，
∴A＝（3x+2y）2﹣（3x﹣2y）2
＝9x2+12xy+4y2﹣9x2+12xy﹣4y2
＝24xy．
故选：C．
【点拨】本题主要考查利用完全平方公式展开计算.
3．图是一个长为2a、宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图1﹣2那样拼成一个正方形，则中间空余的正方形的面积是（ ）
A．abB．（a+b）2C．a2﹣b2D．（a﹣b）2
【答案】D
【分析】由图1得，一个小长方形的长为a，宽为b，由图2得：中间空的部分的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，代入计算．
【解答】解：中间空的部分的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，
＝（a+b）2﹣4ab，
＝a2+2ab+b2﹣4ab，
＝（a﹣b）2；
故选：D．
【点拨】本题主要考查完全平方公式的几何性质。
4．若实数m，n满足m2+n2＝4+2mn，m+n＝4．则mn的值为（ ）
A．3B．﹣3C．4D．﹣4
【答案】A
【分析】根据完全平方公式解答即可．
【解答】解：∵m+n＝4，
∴（m+n）2＝16，
∴m2+2mn+n2＝16，
∵m2+n2＝4+2mn，
∴4+2mn+2mn＝16，
∴4mn＝12，
∴mn＝3．
故选：A．
【点拨】本题主要考查根据完全平方公式解答即可．
5．观察图形，用两种不同的方法计算大长方形面积，我们可以验证等式（ ）
A．（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2
B．（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2
C．（a+b）（a+2b）＝2a2+3ab+b2
D．（a+b）（2a+b）＝a2+3ab+2b2
【答案】A
【分析】从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示大长方形的面积即可．
【解答】解：整体是长为a+2b，宽为a+b的长方形，因此面积为（a+2b）（a+b），
整体是由6个部分的面积和，即a2+3ab+2b2，
因此有（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，
故选：A．
【点拨】本题主要考查根据完全平方公式，从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示大长方形的面积即可．
6．如图所示分割正方形，各图形面积之间的关系，验证了一个等式，这个等式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】此图形中，一个大正方形的面积小正方形的面积=四个矩形的面积．
【详解】解：如图，大正方形的面积，
小正方形的面积，
四个长方形的面积，
则由图形知，大正方形的面积小正方形的面积四个矩形的面积，
即．
故选：D．
【点拨】本题考查了完全平方公式的几何背景．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．
7. 小明在计算一个二项式的平方时，得到的正确结果是m2+10mn+■，但最后一项不慎被污染了，这一项应是（ ）
A. 5n2B. 10n2C. 25n2D. ±25n2
【答案】C
【分析】根据m2－10mn＋■＝（m－5n）2求出即可．
【详解】∵m2－10mn＋■是一个二项式的平方，
∴■＝（5n）2＝25n2，
故答案为C．
【点拨】本题考查了完全平方公式的应用，解题关键是能熟记公式的特点．
8. 若(x+y)2=9，(x-y)2=5，则xy的值为（ ）
A. -1B. 1C. -4D. 4
【答案】B
【分析】利用完全平方公式化简两个已知等式，再将它们相减即可得．
【详解】解：，
①，②，
由①②得：，即，
故选：B．
【点拨】本题考查了利用完全平方公式进行运算，熟记完全平方公式是解题关键．
9. 若4x2﹣mxy+9y2是完全平方式，则m的值是（ ）
A. 36B. ±36C. 12D. ±12
【答案】D
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
【详解】∵4x2-mxy+9y2是完全平方式，
∴m=±12，
故选D．
【点拨】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
10．图（1）是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（ ）
A． B．C．D．
【答案】C
【分析】根据中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积可以求得．
【详解】解：中间部分的四边形是正方形，边长是，
则面积是．
故选：C．
【点拨】本题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键．
二、填空题
1．若x2﹣2kx+4是完全平方式，则k的值是 ．
【答案】±2
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
【解答】解：∵x2﹣2kx+4是完全平方式，
∴﹣2k＝±4，
解得：k＝±2．
故答案为：±2．
【点拨】本题主要考查利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
2．已知（x﹣y）2＝9，xy＝4，则（x+y）2的值为 ．
【答案】25
【分析】已知等式利用完全平方公式化简后，代入可得：x2+y2＝17，然后展开所求式可得答案．
【解答】解：∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝9，xy＝4，
∴x2﹣8+y2＝9，
∴x2+y2＝17，
∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝17+8＝25．
故答案为：25．
【点拨】本题主要考查利用完全平方公式化简后，代入可得：x2+y2＝17，然后展开所求式可得答案．
3．若x2+（k+2）x+9是完全平方式，则k的值为 ．
【答案】4或﹣8
【分析】利用完全平方公式得到x2+（k+2））x+9＝（x+3）2或x2+（k+2）x+9＝（x﹣3）2，则k+2＝±6，然后解关于k的方程．
【解答】解：∵x2+（k+2）x+9是一个完全平方式，
∴x2+（k+2）x+9＝（x+3）2或x2+（k+2）x+9＝（x﹣3）2，
∴k+2＝±6，
∴k＝4或﹣8．
故答案是：4或﹣8．
【点拨】本题主要考查利用完全平方公式进行求解。
4．若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于 ．
【答案】7或﹣1
【分析】根据已知完全平方式得出2（m﹣3）x＝±2•x•4，求出即可．
【解答】解：∵x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，
∴2（m﹣3）x＝±2•x•4，
解得：m＝7或﹣1，
故答案为：7或﹣1．
【点拨】本题主要考查利用完全平方式求出即可．
5．如果二次三项式x2﹣2（m+1）x+25是一个完全平方式，那么m的值是 ．
【答案】4或﹣6．
【分析】依据完全平方式的结构特点列出关于m的方程即可．
【详解】解：∵二次三项式x2﹣2（m+1）x+25是一个完全平方式，
∴﹣2（m+1）x＝±2×5x，
∴﹣2（m+1）＝±10，
∴解得：m＝4或m＝﹣6．
故答案为：4或﹣6．
【点拨】本题主要考查利用完全平方式，依据完全平方式的结构特点列出关于m的方程即可．
6．如图，4张长为a，宽为b（a＞b）的长方形纸片，按图中的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2，若S1＝S2，则a，b满足的关系式是 ．
【答案】a＝3b．
【分析】利用三角形面积公式表示出S2＝4×12•（a+b）•b，利用已知条件得到S2为大正方形面积的一半，所以12（a+b）2＝4×12•（a+b）•b，两边除以（a+b）可得a与b的关系．
【解答】解：根据题意得S2＝4×12•（a+b）•b，
∵S1＝S2，
∴S2=12（a+b）2，
∴12（a+b）2＝4×12•（a+b）•b，
∴a+b＝4b，
∴a＝3b．
故答案为a＝3b．
【点拨】本题主要考查利用完全平方式。
三、解答题
1．计算：
（1）（12x+2y）2+（12x﹣2y）2；
（2）（a﹣b+c）2．
【答案】（1）12x2+8y2；（2）a2+b2+c2﹣2ab+2ac﹣2bc．
【分析】（1）原式两项利用完全平方公式展开，合并即可得到结果；
（2）原式利用完全平方公式展开，计算即可得到结果．
【详解】解：（1）原式=14x2+2xy+4y2+14x2﹣2xy+4y2=12x2+8y2；
原式＝（a﹣b）2+2c（a﹣b）+c2＝a2+b2+c2﹣2ab+2ac﹣2bc．
【点拨】本题主要考查利用完全平方式。
2．已知x﹣y＝5，xy＝﹣3．
求：①（xy﹣x2）•2y的值；
②（x+y）2的值．
【答案】①30 ②13
【分析】①把（xy﹣x2）•2y变形为﹣2xy（x﹣y），再整体代入求出即可；
②把（x+y）2转化成（x﹣y）2+4xy，再整体代入求出即可．
【解答】解：①∵x﹣y＝5，xy＝﹣3，
∴（xy﹣x2）•2y
＝﹣2xy（x﹣y）
＝﹣2×（﹣3）×5
＝30；
②（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy
＝52+4×（﹣3）
＝25﹣12
＝13．
【点拨】本题主要考查利用完全平方公式的结构特征求解．
3. 化简：(2a+1)2﹣(2a+1)(﹣1+2a)
【答案】4a+2
【分析】运用完全平方和公式、多项式乘多项式法则去括号后，再合并同类项即可．
【详解】(2a+1)2﹣(2a+1)(﹣1+2a)
=4a2+4a+1-4a2+1
=4a+2
【点拨】考查了整式的混合运算，解本题的关键运用完全平方和公式（（a+b）2=a2+2ab+b2）和多项式乘多项式法则（（a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd）．
4. 如图，某市有一块长为（3a+b）米、宽为（2a+b）米的长方形地，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为（a+b）米的正方形雕像．
（1）试用含a、b的式子表示绿化部分的面积（结果要化简）．
（2）若a=3，b=2，请求出绿化部分的面积．
【答案】（1）5a2+3ab；（2）63.
【分析】（1）由长方形面积减去正方形面积表示出绿化面积即可；
（2）将a与b的值代入计算即可求出值．
【详解】解：（1）根据题意得：
（3a+b）（2a+b）-（a+b）2
=6a2+5ab+b2-a2-2ab-b2
=5a2+3ab；
（2）当a=3，b=2时，
原式=.
【点拨】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式混合运算的法则是解本题的关键．
5.教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值等．
例如：求代数式的最小值．
当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）当为何值时，代数式有最小值，求出这个最小值．
（2）当，为什么关系时，代数式有最小值，并求出这个最小值．
（3）当，为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值．
【答案】（1）代数式有最小值为1；（2）代数式有最小值为3．（3）当，时，多项式有最大值为17．
【解析】（1）原式 当时，代数式有最小值为1；
（2）原式
代数式有最小值为3．
（3）原式
当，时，多项式有最大值为17．
6．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝12，ab+bc+ac＝47，求a2+b2+c2的值；
（3）小明同学打算用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张相邻两边长为分别为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为（5a+8b）（7a+4b）长方形，那么他总共需要多少张纸片？
【答案】见详解
【分析】（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积＝各矩形的面积之和求解即可；
（2）将a+b+c＝12，ab+bc+ac＝47代入（1）中得到的关系式，然后进行计算即可；
（3）长方形的面积xa2+yb2+zab＝（5a+8b）（7a+4b），然后运算多项式乘多项式法则求得（5a+8b）（7a+4b）的结果，从而得到x、y、z的值，代入即可求解．
【解答】解：（1）∵正方形的面积＝各个矩形的面积之和＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．
（2）由（1）可知：a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ca）＝122﹣47×2＝50．
（3）∵长方形的面积＝xa2+yb2+zab＝（5a+8b）（7a+4b）＝35a2+76ab+32b2，
∴x＝35，y＝32，z＝76，
∴x+y+z＝143．
答：那么他总共需要143张纸片．
【点拨】本题考查的是多项式乘多项式、完全平方公式的应用，利用面积法列出等式是解题的关键．
7．如图，有一个边长为a的大正方形和两个边长为b的小正方形，分别将它们按照图①和图②的形式摆放．
（1）用含有a、b的代数式分别表示阴影面积：S1＝ 4b2﹣4ab+a2 S2＝ a2﹣2ab+b2 ，S3＝ 2b2﹣ab ．
（2）若a+b＝10，ab＝24，求2S1﹣3S3的值；
（3）若S1＝12，S2＝10，S3＝18，求出图③中的阴影部分面积．
【答案】（1）4b2﹣4ab+a2，a2﹣2ab+b2，2b2﹣ab．（2）﹣16．（3）38
【分析】（1）按照题目准确写出图①、图②中阴影部分图形的边长，再求面积；
（2）化简整理2S1﹣3S3，使其能用a+b和ab的代数式来表示即可；
（3）构造以a为宽，（a+b）为长的矩形，使用割补法求出图中阴影部分的面积即可．
【解答】解：（1）由题意得：
S1＝（2b﹣a）2＝4b2﹣4ab+a2
S2＝（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
S3＝（2b﹣a）b＝2b2﹣ab
故答案为：4b2﹣4ab+a2，a2﹣2ab+b2，2b2﹣ab．
（2）2S1﹣3S3＝2（4b2﹣4ab+a2）﹣3（2b2﹣ab）
＝8b2﹣8ab+2a2﹣6b2+3ab
＝2（a2+b2）﹣5ab
＝2（a+b）2﹣9ab
把a+b＝10，ab＝24代入上式：2（a+b）2﹣9ab＝﹣16
答：2S1﹣3S3的值是﹣16．
（3）阴影部分面积：
S＝a（a+b）−12a2−12b（a+b）−12b（a﹣b）=12a2，
∵S1＝（2b﹣a）2＝12，S2=a2−2ab+b2=10，S3＝（2b﹣a）b＝18，
∴a2＝76，b2＝34，ab＝50，
∴S＝a（a+b）−12a2−12b（a+b）−12b（a﹣b）
=12a2
=12×76
＝38．
答：图③中的阴影部分面积是38．
1. 掌握完全平方公式，理解公式中字母的含义；
2. 学会运用完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；
3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.
4.能用完全平方公式的逆运算解决问题
知识点一、完全平方公式
完全平方公式：
两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：
知识点二、添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
特别说明：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.
知识点三、补充公式
；；
；.
知识点01 完全平方公式
典例1：计算（3x﹣1）2的结果是（ ）
A．6x2﹣6x+1B．9x2﹣6x+1C．9x2﹣6x﹣1D．9x2+6x﹣1
【答案】B
【分析】利用完全平方公式做题即可．
【解答】解：（3x﹣1）2＝9x2﹣6x+1，
故选：B．
【点拨】本题主要考查利用完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键。
典例2：若x2+mx+9是完全平方式，则m的值是（ ）
A．±3B．﹣6C．6D．±6
【答案】D
【分析】利用完全平方公式的结果特征判断，即可求出m的值．
【解答】解：∵x2+mx+9是完全平方式，
∴m＝±6．
故选：D．
【点拨】本题主要考查利用完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键。
典例3：运用完全平方公式计算：
(1)；
(2)；
(3)；
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用完全平方公式直接求解即可．
（2）利用完全平方公式直接求解即可．
（3）利用完全平方公式直接求解即可．
【详解】（1）
，
（2）
，
（3）
，
【点拨】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟记完全平方公式．
巩固练习
1．下列多项式中，完全平方式是（ ）
A．4a2﹣4a﹣1B．a2+2a+4C．a2−a+14D．a2﹣1
【答案】C
【分析】根据完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2进行逐一判断即可．
【解答】解：A、4a2﹣4a﹣1不符合题意完全平方式的特点，不符合题意；
B、a2+2a+4不符合题意完全平方式的特点，不符合题意；
C、a2−a+14=(a−12)2，是完全平方式，符合题意；
D、a2﹣1不符合题意完全平方式的特点，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟记完全平方公式．
2．若x2﹣2kx+4是完全平方式，则k的值是 ．
【答案】±2
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
【解答】解：∵x2﹣2kx+4是完全平方式，
∴﹣2k＝±4，
解得：k＝±2．
故答案为：±2．
【点拨】本题主要考查利用完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键。
3．已知（x﹣y）2＝9，xy＝4，则（x+y）2的值为 ．
【答案】25
【分析】已知等式利用完全平方公式化简后，代入可得：x2+y2＝17，然后展开所求式可得答案．
【解答】解：∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝9，xy＝4，
∴x2﹣8+y2＝9，
∴x2+y2＝17，
∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝17+8＝25．
故答案为：25．
【点拨】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟记完全平方公式．
知识点02 添括号法则
典例1：下列等式不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据添括号法则、平方差公式、平方性质、完全平方差公式分别计算验证即可得到答案．
【详解】解：A、根据添括号法则，括号外是负的，添括号后括号内各项要变号，从而正确，不符合题意；
B、根据平方差公式，，该选项错误，符合题意；
C、根据平方性质，，该选项正确，不符合题意；
D、根据完全平方差公式，，该选项正确，不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查整式运算，涉及添括号法则、平方差公式、平方性质、完全平方差公式等知识，熟练掌握相关运算法则及公式逐项验证是解决问题的关键．
巩固练习
1．计算
①（2x﹣3y）2﹣（y﹣3x）（3x﹣y）
②（3﹣2x+y）（3+2x﹣y）
【答案】①13x2﹣18xy+10y2②9﹣4x2+4xy-y2
【分析】①利用完全平方公式进行计算，然后合并同类项即可；
②先利用平方差公式进行计算，然后再利用完全平方公式进行计算，最后去括号即可．
【解答】解：①原式＝（2x﹣3y）2+（y﹣3x）2
＝4x2﹣12xy+9y2+y2﹣6xy+9x2
＝13x2﹣18xy+10y2
②原式＝[3﹣（2x﹣y）][3+（2x﹣y）]
＝9﹣（2x﹣y）2=9﹣4x2+4xy-y2
能力提升
选择题
1．下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ）
A．（3a﹣2b）（﹣2b﹣3a）B．（3a+2b）（﹣3a﹣2b）
C．（3a+2b）（﹣2a﹣3b）D．（3a﹣2b）（3a+2b）
【答案】B
【分析】先把各式变形，然后根据完全平方公式对各选项进行判断．
【解答】解：A、原式＝﹣（3a﹣2b）（3a+2b）＝﹣（9a2﹣4b2）＝﹣9a2+4b2，所以A选项错误；
B、原式＝﹣（3a+2b）2＝﹣9a2﹣12ab﹣4b2，所以A选项正确；
C、原式＝﹣（3a+2b）（2a+3b），不能使用完全平方公式，所以C选项错误；
D、原式＝9a2﹣4b2，所以D选项错误．
故选：B．
【点拨】本题主要考查式子变形，然后根据完全平方公式对各选项进行判断．
2．若（3x+2y）2＝（3x﹣2y）2+A，则代数式A是（ ）
A．﹣12xyB．12xyC．24xyD．﹣24xy
【答案】C
【分析】表示出A，再利用完全平方公式展开计算即可得解．
【解答】解：∵（3x+2y）2＝（3x﹣2y）2+A，
∴A＝（3x+2y）2﹣（3x﹣2y）2
＝9x2+12xy+4y2﹣9x2+12xy﹣4y2
＝24xy．
故选：C．
【点拨】本题主要考查利用完全平方公式展开计算.
3．图是一个长为2a、宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图1﹣2那样拼成一个正方形，则中间空余的正方形的面积是（ ）
A．abB．（a+b）2C．a2﹣b2D．（a﹣b）2
【答案】D
【分析】由图1得，一个小长方形的长为a，宽为b，由图2得：中间空的部分的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，代入计算．
【解答】解：中间空的部分的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，
＝（a+b）2﹣4ab，
＝a2+2ab+b2﹣4ab，
＝（a﹣b）2；
故选：D．
【点拨】本题主要考查完全平方公式的几何性质。
4．若实数m，n满足m2+n2＝4+2mn，m+n＝4．则mn的值为（ ）
A．3B．﹣3C．4D．﹣4
【答案】A
【分析】根据完全平方公式解答即可．
【解答】解：∵m+n＝4，
∴（m+n）2＝16，
∴m2+2mn+n2＝16，
∵m2+n2＝4+2mn，
∴4+2mn+2mn＝16，
∴4mn＝12，
∴mn＝3．
故选：A．
【点拨】本题主要考查根据完全平方公式解答即可．
5．观察图形，用两种不同的方法计算大长方形面积，我们可以验证等式（ ）
A．（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2
B．（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2
C．（a+b）（a+2b）＝2a2+3ab+b2
D．（a+b）（2a+b）＝a2+3ab+2b2
【答案】A
【分析】从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示大长方形的面积即可．
【解答】解：整体是长为a+2b，宽为a+b的长方形，因此面积为（a+2b）（a+b），
整体是由6个部分的面积和，即a2+3ab+2b2，
因此有（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，
故选：A．
【点拨】本题主要考查根据完全平方公式，从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示大长方形的面积即可．
6．如图所示分割正方形，各图形面积之间的关系，验证了一个等式，这个等式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】此图形中，一个大正方形的面积小正方形的面积=四个矩形的面积．
【详解】解：如图，大正方形的面积，
小正方形的面积，
四个长方形的面积，
则由图形知，大正方形的面积小正方形的面积四个矩形的面积，
即．
故选：D．
【点拨】本题考查了完全平方公式的几何背景．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．
7. 小明在计算一个二项式的平方时，得到的正确结果是m2+10mn+■，但最后一项不慎被污染了，这一项应是（ ）
A. 5n2B. 10n2C. 25n2D. ±25n2
【答案】C
【分析】根据m2－10mn＋■＝（m－5n）2求出即可．
【详解】∵m2－10mn＋■是一个二项式的平方，
∴■＝（5n）2＝25n2，
故答案为C．
【点拨】本题考查了完全平方公式的应用，解题关键是能熟记公式的特点．
8. 若(x+y)2=9，(x-y)2=5，则xy的值为（ ）
A. -1B. 1C. -4D. 4
【答案】B
【分析】利用完全平方公式化简两个已知等式，再将它们相减即可得．
【详解】解：，
①，②，
由①②得：，即，
故选：B．
【点拨】本题考查了利用完全平方公式进行运算，熟记完全平方公式是解题关键．
9. 若4x2﹣mxy+9y2是完全平方式，则m的值是（ ）
A. 36B. ±36C. 12D. ±12
【答案】D
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
【详解】∵4x2-mxy+9y2是完全平方式，
∴m=±12，
故选D．
【点拨】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
10．图（1）是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（ ）
A． B．C．D．
【答案】C
【分析】根据中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积可以求得．
【详解】解：中间部分的四边形是正方形，边长是，
则面积是．
故选：C．
【点拨】本题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键．
二、填空题
1．若x2﹣2kx+4是完全平方式，则k的值是 ．
【答案】±2
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
【解答】解：∵x2﹣2kx+4是完全平方式，
∴﹣2k＝±4，
解得：k＝±2．
故答案为：±2．
【点拨】本题主要考查利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
2．已知（x﹣y）2＝9，xy＝4，则（x+y）2的值为 ．
【答案】25
【分析】已知等式利用完全平方公式化简后，代入可得：x2+y2＝17，然后展开所求式可得答案．
【解答】解：∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝9，xy＝4，
∴x2﹣8+y2＝9，
∴x2+y2＝17，
∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝17+8＝25．
故答案为：25．
【点拨】本题主要考查利用完全平方公式化简后，代入可得：x2+y2＝17，然后展开所求式可得答案．
3．若x2+（k+2）x+9是完全平方式，则k的值为 ．
【答案】4或﹣8
【分析】利用完全平方公式得到x2+（k+2））x+9＝（x+3）2或x2+（k+2）x+9＝（x﹣3）2，则k+2＝±6，然后解关于k的方程．
【解答】解：∵x2+（k+2）x+9是一个完全平方式，
∴x2+（k+2）x+9＝（x+3）2或x2+（k+2）x+9＝（x﹣3）2，
∴k+2＝±6，
∴k＝4或﹣8．
故答案是：4或﹣8．
【点拨】本题主要考查利用完全平方公式进行求解。
4．若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于 ．
【答案】7或﹣1
【分析】根据已知完全平方式得出2（m﹣3）x＝±2•x•4，求出即可．
【解答】解：∵x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，
∴2（m﹣3）x＝±2•x•4，
解得：m＝7或﹣1，
故答案为：7或﹣1．
【点拨】本题主要考查利用完全平方式求出即可．
5．如果二次三项式x2﹣2（m+1）x+25是一个完全平方式，那么m的值是 ．
【答案】4或﹣6．
【分析】依据完全平方式的结构特点列出关于m的方程即可．
【详解】解：∵二次三项式x2﹣2（m+1）x+25是一个完全平方式，
∴﹣2（m+1）x＝±2×5x，
∴﹣2（m+1）＝±10，
∴解得：m＝4或m＝﹣6．
故答案为：4或﹣6．
【点拨】本题主要考查利用完全平方式，依据完全平方式的结构特点列出关于m的方程即可．
6．如图，4张长为a，宽为b（a＞b）的长方形纸片，按图中的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2，若S1＝S2，则a，b满足的关系式是 ．
【答案】a＝3b．
【分析】利用三角形面积公式表示出S2＝4×12•（a+b）•b，利用已知条件得到S2为大正方形面积的一半，所以12（a+b）2＝4×12•（a+b）•b，两边除以（a+b）可得a与b的关系．
【解答】解：根据题意得S2＝4×12•（a+b）•b，
∵S1＝S2，
∴S2=12（a+b）2，
∴12（a+b）2＝4×12•（a+b）•b，
∴a+b＝4b，
∴a＝3b．
故答案为a＝3b．
【点拨】本题主要考查利用完全平方式。
三、解答题
1．计算：
（1）（12x+2y）2+（12x﹣2y）2；
（2）（a﹣b+c）2．
【答案】（1）12x2+8y2；（2）a2+b2+c2﹣2ab+2ac﹣2bc．
【分析】（1）原式两项利用完全平方公式展开，合并即可得到结果；
（2）原式利用完全平方公式展开，计算即可得到结果．
【详解】解：（1）原式=14x2+2xy+4y2+14x2﹣2xy+4y2=12x2+8y2；
原式＝（a﹣b）2+2c（a﹣b）+c2＝a2+b2+c2﹣2ab+2ac﹣2bc．
【点拨】本题主要考查利用完全平方式。
2．已知x﹣y＝5，xy＝﹣3．
求：①（xy﹣x2）•2y的值；
②（x+y）2的值．
【答案】①30 ②13
【分析】①把（xy﹣x2）•2y变形为﹣2xy（x﹣y），再整体代入求出即可；
②把（x+y）2转化成（x﹣y）2+4xy，再整体代入求出即可．
【解答】解：①∵x﹣y＝5，xy＝﹣3，
∴（xy﹣x2）•2y
＝﹣2xy（x﹣y）
＝﹣2×（﹣3）×5
＝30；
②（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy
＝52+4×（﹣3）
＝25﹣12
＝13．
【点拨】本题主要考查利用完全平方公式的结构特征求解．
3. 化简：(2a+1)2﹣(2a+1)(﹣1+2a)
【答案】4a+2
【分析】运用完全平方和公式、多项式乘多项式法则去括号后，再合并同类项即可．
【详解】(2a+1)2﹣(2a+1)(﹣1+2a)
=4a2+4a+1-4a2+1
=4a+2
【点拨】考查了整式的混合运算，解本题的关键运用完全平方和公式（（a+b）2=a2+2ab+b2）和多项式乘多项式法则（（a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd）．
4. 如图，某市有一块长为（3a+b）米、宽为（2a+b）米的长方形地，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为（a+b）米的正方形雕像．
（1）试用含a、b的式子表示绿化部分的面积（结果要化简）．
（2）若a=3，b=2，请求出绿化部分的面积．
【答案】（1）5a2+3ab；（2）63.
【分析】（1）由长方形面积减去正方形面积表示出绿化面积即可；
（2）将a与b的值代入计算即可求出值．
【详解】解：（1）根据题意得：
（3a+b）（2a+b）-（a+b）2
=6a2+5ab+b2-a2-2ab-b2
=5a2+3ab；
（2）当a=3，b=2时，
原式=.
【点拨】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式混合运算的法则是解本题的关键．
5.教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值等．
例如：求代数式的最小值．
当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）当为何值时，代数式有最小值，求出这个最小值．
（2）当，为什么关系时，代数式有最小值，并求出这个最小值．
（3）当，为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值．
【答案】（1）代数式有最小值为1；（2）代数式有最小值为3．（3）当，时，多项式有最大值为17．
【解析】（1）原式 当时，代数式有最小值为1；
（2）原式
代数式有最小值为3．
（3）原式
当，时，多项式有最大值为17．
6．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝12，ab+bc+ac＝47，求a2+b2+c2的值；
（3）小明同学打算用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张相邻两边长为分别为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为（5a+8b）（7a+4b）长方形，那么他总共需要多少张纸片？
【答案】见详解
【分析】（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积＝各矩形的面积之和求解即可；
（2）将a+b+c＝12，ab+bc+ac＝47代入（1）中得到的关系式，然后进行计算即可；
（3）长方形的面积xa2+yb2+zab＝（5a+8b）（7a+4b），然后运算多项式乘多项式法则求得（5a+8b）（7a+4b）的结果，从而得到x、y、z的值，代入即可求解．
【解答】解：（1）∵正方形的面积＝各个矩形的面积之和＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．
（2）由（1）可知：a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ca）＝122﹣47×2＝50．
（3）∵长方形的面积＝xa2+yb2+zab＝（5a+8b）（7a+4b）＝35a2+76ab+32b2，
∴x＝35，y＝32，z＝76，
∴x+y+z＝143．
答：那么他总共需要143张纸片．
【点拨】本题考查的是多项式乘多项式、完全平方公式的应用，利用面积法列出等式是解题的关键．
7．如图，有一个边长为a的大正方形和两个边长为b的小正方形，分别将它们按照图①和图②的形式摆放．
（1）用含有a、b的代数式分别表示阴影面积：S1＝ 4b2﹣4ab+a2 S2＝ a2﹣2ab+b2 ，S3＝ 2b2﹣ab ．
（2）若a+b＝10，ab＝24，求2S1﹣3S3的值；
（3）若S1＝12，S2＝10，S3＝18，求出图③中的阴影部分面积．
【答案】（1）4b2﹣4ab+a2，a2﹣2ab+b2，2b2﹣ab．（2）﹣16．（3）38
【分析】（1）按照题目准确写出图①、图②中阴影部分图形的边长，再求面积；
（2）化简整理2S1﹣3S3，使其能用a+b和ab的代数式来表示即可；
（3）构造以a为宽，（a+b）为长的矩形，使用割补法求出图中阴影部分的面积即可．
【解答】解：（1）由题意得：
S1＝（2b﹣a）2＝4b2﹣4ab+a2
S2＝（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
S3＝（2b﹣a）b＝2b2﹣ab
故答案为：4b2﹣4ab+a2，a2﹣2ab+b2，2b2﹣ab．
（2）2S1﹣3S3＝2（4b2﹣4ab+a2）﹣3（2b2﹣ab）
＝8b2﹣8ab+2a2﹣6b2+3ab
＝2（a2+b2）﹣5ab
＝2（a+b）2﹣9ab
把a+b＝10，ab＝24代入上式：2（a+b）2﹣9ab＝﹣16
答：2S1﹣3S3的值是﹣16．
（3）阴影部分面积：
S＝a（a+b）−12a2−12b（a+b）−12b（a﹣b）=12a2，
∵S1＝（2b﹣a）2＝12，S2=a2−2ab+b2=10，S3＝（2b﹣a）b＝18，
∴a2＝76，b2＝34，ab＝50，
∴S＝a（a+b）−12a2−12b（a+b）−12b（a﹣b）
=12a2
=12×76
＝38．
答：图③中的阴影部分面积是38．
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