北师大版七年级下册第四章 三角形4 用尺规作三角形优秀同步测试题

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1.理解角的有关概念：会用尺规按要求作三角形：已知两边及夹角作三角形,已知两角及夹边作三角形，已知三边作三角形.
2.通过尺规作图的学习，培养观察分析、类比归纳的探究能力，加深对类比与转化、分类讨论等数学思想的认识.
知识点01. 利用尺规作三角形
在学习之前先要对尺规作线段和尺规作角熟练掌握并应用，根据给出的不同条件采用不同方法作出图形；有三种基本类型:
(1)已知三角形的两边及其夹角,求作符合要求的三角形,其作图依据是SAS;
(2)已知三角形的两角及其夹边,求作符合要求的三角形,其作图依据是ASA;
(3)已知三角形的三边,求作符合要求的三角形,其作图依据是SSS.
知识点01 利用尺规作三角形
典例：1. 如图，已知，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于D，P；作一条射线，以点F圆心，长为半径作弧l，交于点H；以H为圆心，长为半径作弧，交弧于点Q；作射线．这样可得，其依据是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意得出，，利用证明，根据全等三角形的性质即可得出．
【详解】解：如图，连接，，
根据题意得，，，
在和中，，
∴，
∴，
故选：A．
【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
典例：2.如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先连接、，从作图可知，，即可判定，然后根据全等三角形对应角相等的性质，即可得出．
【详解】解：，
理由是：连接、，
从作图可知，，
∵在和中。
，
∴，
∴（全等三角形的对应角相等），
故选B．
【点拨】本题主要考查对尺规作图法作一个角等于已知角的理解，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．
巩固练习
1．已知：．求作：，使．
作法：（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；
（2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；
（3）以点为圆心，长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点；
（4）过点画射线，则．
这种作一个角等于已知角的方法的依据是（ ）
A．SASB．SSSC．ASAD．AAS
【答案】B
【分析】根据SSS定理证明即可．
【详解】解：证明：由作图可知，在△和中，
，
（SSS），
．
故选：B．
【点拨】本题考查作图应用与设计作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
2．已知线段，求作，使，，，下面作法的合理顺序为（ ）
分别以为圆心，为半径画弧，两弧交于点；
作直线，在上截取；
连接，则为所求作的三角形．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据作三角形，使三角形的三边等于已知边的作图步骤作答；
【详解】作三角形，使三角形的三边等于已知边，作图的顺序应该是：
作直线，在上截取；
分别以为圆心，为半径画弧，两弧交于点；
连接，则为所求作的三角形．
所以合理的顺序为：
故选：C．
【点拨】本题考查尺规作图，熟练掌握作三角形，使三角形的三边等于已知边的方法是关键．
3．用直尺和圆规作图，要求：不写作法、保留作图痕迹．
已知：与射线．
求作：，使得．
【答案】见解析
【分析】先在射线上截取，再分别以点、为圆心，以、为半径画弧，两弧相交于点，则．
【详解】解：如图，为所作．
【点拨】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定．
能力提升
一、选择题
1．下列关于用尺规作图的结论错误的是（ ）
A．已知一个三角形的两角与一边，那么这个三角形一定可以作出
B．已知一个三角形的两边与一角，那么这个三角形一定可以作出
C．已知一个直角三角形的两条直角边，那么这个三角形一定可以作出
D．已知一个三角形的三条边，那么这个三角形一定可以作出
【答案】B
【分析】根据三角形全等的判定方法解答．
【详解】解：A．已知一个三角形的两角与一边，根据或，这个三角形一定可以作出，所以本选项不符合题意；
B．已知一个三角形的两边与一角，不一定作出这个三角形，所以本选项符合题意；
C．已知一个直角三角形的两条直角边，根据，这个三角形一定可以作出，所以本选项不符合题意；
D．已知一个三角形的三条边，根据，这个三角形一定可以作出，所以本选项不符合题意．
故选：B．
【点拨】本题考查三角形全等的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．
2．如图，在方格纸中，以为一边作，使之与全等，在方格的格点中找出符合条件的P点（不点C重合），则点P有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定定理找出各个点即可．
【详解】解：如图所示，
共3个点，
故选：C．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理的内容是解此题的关键．
3．下列所给条件中，能画出唯一的的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用全等三角形的判定方法以及三角形三边关系分别判断得出即可．
【详解】解：A、，不符合三角形三边关系定理，即不能画出三角形，故本选项不符合题意；
B、，根据能画出唯一，故此选项符合题意；
C、，不能根据条件画出唯一三角形，故本选项不符合题意；
D、，不能根据条件画出唯一三角形，故本选项不符合题意；
故选：B
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定以及三角形三边关系，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键．
4．已知：．求作：，使．
作法：（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；
（2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；
（3）以点为圆心，长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点；
（4）过点画射线，则．
这种作一个角等于已知角的方法的依据是（ ）
A．SASB．SSSC．ASAD．AAS
【答案】B
【分析】根据SSS定理证明即可．
【详解】解：证明：由作图可知，在△和中，
，
（SSS），
．
故选：B．
【点拨】本题考查作图应用与设计作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
5．现已知线段a、b，，求作，使得，，．嘉嘉和琪琪的作法分别如下：
嘉嘉：①以点O为圆心、线段a的长为半径画弧，交射线于点A；②以点A为圆心、线段b的长为半径画弧，交射线于点B，连接，即为所求．
琪琪：①以点O为圆心、线段a的长为半径画弧，交射线于点A；②以点O为圆心、线段b的长为半径画弧，交射线于点B，连接，即为所求．
则下列说法中正确的是（ ）
A．嘉嘉的作法正确，琪琪的作法错误B．琪琪的作法正确，嘉嘉的作法错误
C．两人的作法都正确D．两人的作法都错误
【答案】A
【分析】根据作图步骤进行判断即可．
【详解】解：，是斜边，嘉嘉作的斜边长是b符合条件，而琪琪作的是直角边长是b．
故嘉嘉的作法正确，琪琪的作法错误．
故选A．
【点拨】本题考查了作图—复杂作图，熟练掌握基本作图方法是解题的关键．
6．如图，已知∠AOB，用尺规作∠FCE，使∠FCE＝∠AOB，作图痕迹中弧FG是（ ）
A．以点E为圆心，OD为半径的弧
B．以点C为圆心，OD为半径的弧
C．以点E为圆心，DM为半径的弧
D．以点C为圆心，DM为半径的弧
【答案】C
【分析】根据作一个角等于已知角的作图方法判断即可．
【详解】解：由作图可知，弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧．
故选：C．
【点拨】本题考查尺规作图，熟知作一个角等于已知角的基本作图步骤是解答本题的关键．
7．如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连结AD，CD．由作法可得：的根据是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
【答案】D
【分析】根据题意和全等三角形判定的方法可以得到ABC≌△CDA的根据，本题得以解决．
【详解】解：由题意可得，
AD=BC，AB=CD，
在△ADC和△CBA中，
，
∴△ADC≌△CBA（SSS），
故选：D．
【点拨】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定方法解答．
8．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，△ABC中，若AB=12，AC=8，求BC边上的中线AD的取值范围，小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD到E，使DE=AD，连接BE，请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．HL
【答案】B
【分析】根据全等三角形的判定定理解答．
【详解】解：在和中，
，
，
故选：.
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
9．用直尺和圆规作一个直角三角形斜边上的高，作图错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线作图即可求解
【详解】A、D选项通过作线段的垂直平分线得到斜边上的高，C选项通过作90度的圆周角得到斜边上的高．故选B．
【点拨】此题考查作图-基本作图，掌握作图技巧是解题关键
10．如图，已知△ABC，C＝90°，按下列要求作图（尺规作图，保留作图痕迹）：
①作B的平分线，与AC相交于点D；
②在AB边上取一点E，使BE＝BC；
③连结ED.
根据所作图形，可以得到：( )
A．AD=BDB．A=CBDC．△EBD≌△CBDD．AD=BC
【答案】C
【详解】本题作完之后的图形为：
根据作图，有EBD=CBD，BC=BE，又BD=BD
∴△EBD≌△CBD
故选C
二、填空题
11．已知，现将绕点B逆时针旋转，使点A落在射线上，求作．作法：在上截，以点B为圆心、为半径作弧，以点为圆心、为半径作弧，两弧在射线右侧交于点，则即为所求．此作图确定三角形的依据是：___________．
【答案】
【分析】根据作图步骤可知，，，，由此即可求解．
【详解】解：根据作图步骤可知，，，
∴
故答案为：
【点拨】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．
12．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是全等三角形判定定理中的________．
【答案】
【分析】首先连接、，从作图可知，，即可判定，然后根据全等三角形对应角相等的性质，即可得出．
【详解】解：，
理由是：连接、，
从作图可知，，
∵在和中，
∴，
∴（全等三角形的对应角相等），
故答案为：．
【点拨】本题主要考查对尺规作图法作一个角等于已知角的理解，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．
13．已知线段a，b，c，求作，使．
①以点B为圆心，c的长为半径画弧；
②连接；
③作；
④以点C为圆心，b的长为半径画弧，两弧交于点A．
作法的合理顺序是__________．
【答案】③①④②
【分析】根据作三角形的步骤：第一步先作一条线段等于三角形的一边，第二步以已作的线段的两个端点为圆心，以对应的长为半径画弧确定交点位置，最后顺次连接即可，由此进行判断即可．
【详解】解：先作，再以点B为圆心，c的长为半径画弧；接着以点C为圆心，b的长为半径画弧，两弧交于点A，然后连接，则即为所求．
故答案为：③①④②．
【点拨】本题主要考查了用尺规作图—作三角形的步骤，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
14．如图，已知，以点O为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交于点E，F，再以点E为圆心，的长为半径画弧，交弧①于点D，画射线．若，则的度数为______．
【答案】52°
【分析】利用全等三角形的性质解决问题即可．
【详解】解：由作图可知，OD=OE=OF，EF=DE，
∴△ODE≌△OFE（SSS），
∴∠EOD=∠EOF=26°，
∴∠BOD=2∠AOB=52°，
故答案为：52°．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，基本作图等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是__．
【答案】
【分析】根据作一个角等于已知角的作法和步骤解答．
【详解】在和△中，
，
△，
故答案为：．
【点拨】本题考查尺规作图的应用，熟练掌握用直尺和圆规作一个角等于已知角的方法和步骤是解题关键．
三、解答题
16．如图，已知线段a，b和，用直尺和圆规作，使，，．
【答案】见解析
【分析】先作，然后在射线CM上截取，在射线CN上截取，再连接，则即为所作．
【详解】解：如图，先作，然后在射线上截取，在射线上截取，再连接；
则即为所作．
【点拨】本题考查了尺规作图，属于常考题型，熟练掌握常见的基本作图方法是关键．
17．用直尺和圆规作图，要求：不写作法、保留作图痕迹．
已知：与射线．
求作：，使得．
【答案】见解析
【分析】先在射线上截取，再分别以点、为圆心，以、为半径画弧，两弧相交于点，则．
【详解】解：如图，为所作．
【点拨】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定．
18．如图，已知，请根据“ASA”作出，使．
【答案】见解析
【分析】先作，再在上截取，在上截取，从而得到．
【详解】解：如图，为所作．
【点拨】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定．
19．完成下面的尺规作图
(1)如图，已知和，用直尺和圆规作，使．
(2)如图，已知线段和，用直尺和圆规作，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据尺规作一个角等于已知角的方法先作，再作即可；
根据尺规作一个角等于已知角的方法先作，再作，即可求解．
【详解】（1）如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求；
【点拨】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知角，作三角形，掌握基本作图是解题的关键．
20．如图，小正方形的边长为1，为格点三角形．
(1)如图①，的面积为 ；
(2)在图②中画出所有与全等，且只有一条公共边的格点三角形，共 个．
【答案】(1)6
(2)画图见解析，3
【分析】（1）如图，用正方形面积减去三个三角形的面积即可求出答案；
（2）分三种情况讨论：分别以为公共边，作与余下两边相等的三角形，再看是否符合题意即可．
【详解】（1）如图，
∴
．
故答案为：6；
（2）分类讨论：当为公共边时，如图， 即为所作；
当为公共边时，如图， 即为所作；
当为公共边时，如图，即为所作；
综上可知，共3个与全等且符合题意的三角形．
故答案为：3．
【点拨】本题主要考查三角形的面积计算，作图—应用设计，全等三角形的判定．利用数形结合的思想是解题关键．
21．如图，已知△ABC
(1)利用尺规作图，作△DEF，使△DEF≌△ABC，（不写作法，保留作图痕迹）
(2)根据你的作图过程，说明这两个三角形全等的理由．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）根据SSS作出图形即可；
（2）根据SSS证明三角形全等即可．
【详解】（1）如图，△DEF即为所求（作法不唯一）．
（2）由作图可知，AB＝DE，EF＝BC，DF＝AC，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
【点拨】本题考查作图−复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．