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期中测试卷（人教七下第1~3章）-2023-2024学年七年级数学下册同步精品导与练（北师大版）
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这是一份期中测试卷（人教七下第1~3章）-2023-2024学年七年级数学下册同步精品导与练（北师大版），文件包含期中测试卷教师版-七年级数学同步精品讲义北师大版docx、期中测试卷原卷版-七年级数学同步精品讲义北师大版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．下列运算正确的是（ ）
A．（a＋b）2＝a2＋b2B．（-a2）a3＝a6
C．（-2x2）3＝-8x6D．4a2-（2a）2＝2a2
【答案】C
【分析】根据完全平方公式、积的乘方及同底数幂的乘法可进行排除选项．
【详解】解：A、，原计算错误；
B、，故原计算错误；
C、，故原计算正确；
D、，故原计算错误；
故选C．
【点拨】本题主要考查完全平方公式、积的乘方及同底数幂的乘法，熟练掌握完全平方公式、积的乘方及同底数幂的乘法是解题的关键．
2．用科学记数法表示数据，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】用科学记数法表示绝对值小于1的数，将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．
【详解】解：．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．
3．如图，下列说法不正确的是（ ）
A．与是对顶角B．与是同位角
C．与是内错角D．与是同旁内角
【答案】B
【分析】根据同位角，内错角，同旁内角和对顶角的定义即可进行解答．
【详解】解：A、和是对顶角，说法正确，因此选项A不符合题意；
B、和，既不是同位角，也不是内错角、同旁内角，说法不正确，因此选项B符合题意；
C、与是直线，直线，被直线所截，所得到的内错角，说法正确，因此选项C不符合题意；
D、与是直线，直线，被直线所截所得到的同旁内角，说法正确，因此选项D不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角和对顶角的定义，解题的关键是掌握并理解相关定义．
4．下列说法中，正确的个数是（ ）．
①两条不相交的直线叫平行线；
②经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③连接两点间的线段叫做两点间的距离；
④如果直线，，那么；
⑤在同一平面内，如果直线，，那么．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据平行线的定义、平行公理、两点间距离的定义、平行公理的推论、平行的性质，逐项判断，即可求解．
【详解】解：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，故①错误；
经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故②错误；
连接两点间的线段的长度叫做两点间的距离，故③错误；
根据平行线的传递性，平行于同一条直线的两直线平行，故④正确；
在同一平面内，如果直线，，那么，故⑤错误；
综上可知，正确的只有④．
故选A．
【点拨】本题考查平行线的定义和性质，平行公理及推论，两点间距离的定义等，属于基础题，掌握相关定义和性质是解题的关键．
5．点P为直线l外一点，点A、B、C为直线上三点，PA=2cm，PB=3cm，PC=4cm，则点P到直线l的距离为（ ）
A．等于2cmB．小于2cmC．大于2cmD．不大于2cm
【答案】D
【详解】因为垂线段最短，所以点P到直线l的距离为不大于2cm．故答案为D．
【点拨】本题主要考查点到直线的距离的性质。
6．如图所示，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置．若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由折叠的性质可得，因为，结合平角可求得，再结合平行可求得．
【详解】解：，
，
长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在、的位置，
，
∵，
∴．
故选：C．
【点拨】本题主要考查平行线的性质及折叠的性质，掌握同旁内角互补是解题的关键．
7．五张如图所示的长为，宽为的小长方形纸片，按如图的方式不重叠地放在矩形中，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为，当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变，则，满足的关系式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据差与BC无关即可求出a与b的关系式
【详解】解：左上角阴影部分的长为AE，宽为AF=2b，右下角阴影部分的长为PC，宽为a，
∵AD=BC，即AE+ED=AE+a，BC=BP+PC=3b+PC，
∴AE+a=3b+PC，即AE-PC=3b-a，
∴阴影部分面积之差S=AE•AF-PC•CG=2b×AE-a×PC=2b（PC+3b-a）-aPC=（2b-a）PC+6b2-2ab，
则2b-a=0，即a=2b，
故选：A．
【点拨】此题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．
8．任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据程序图可得：，再计算即可求解．
【详解】解：根据程序图可得：，
即最后输出的结果是．
故选：C
【点拨】本题主要考查了整式四则混合运算，理解程序图，熟练掌握整式四则混合运算法则是解题的关键．
9．如图，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若留甲和图乙中朗影部分的面积分别为3和30，则正方形A、B的面积之和为（ ）
A．33B．30C．27D．24
【答案】A
【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图形得出关系式求解即可；
【详解】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由甲图得，即，
由乙图得，
，
∴．
故答案选A．
【点拨】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，准确计算是解题的关键．
10．下表是研究弹簧长度与所挂物体质量关系的实验表格：
则弹簧不挂物体时的长度为（ ）．
A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm
【答案】C
【分析】根据表格数据，设弹簧长度y与所挂物体重量x的关系式为，进而求得关系式，令即可求得弹簧不挂物体时的长度．
【详解】设弹簧长度y与所挂物体重量x的关系式为，
将，分别代入得，
解得
即，
将，分别代入，符合关系式，
当时，则，
故选C．
【点拨】本题考查了变量与表格，函数关系式，找到关系式是解题的关键．
第II卷（非选择题）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若，，则的值是___________．
【答案】
【分析】根据同底数幂的除法的逆运算将变形为，再利用幂的乘方法则计算出和，代入计算即可．
【详解】解：若，，
则．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂的除法的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．计算同底数幂的除法时，底数不变、指数相减；计算幂的乘方时，底数不变，指数相乘．
12．若关于x的二次三项式是完全平方式，则________．
【答案】4或2
【分析】根据完全平方公式即可求出答案．
【详解】∵（x±1）2＝x2±2x＋1，
∴2（m−3）＝±2，
∴m＝4或2，
故答案为：4或2．
【点拨】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
13．一个三角形的两条边的长分别为和，则第三条边上的中线的取值范围是____．
【答案】##
【分析】如图，在中，延长中线到点E，使，连接，可证明，可求得，在中可利用三角形三边关系可求得的取值范围，则可求得的取值范围．
【详解】解：如图，延长到点E，使，连接，
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，且，
即，，
∴，
∴，即，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质，全三角形三边关系，构造全等三角形的，把、和转化到一个三角形中是解题的关键．
14．如图1，在△ABC中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段AP的长，y表示线段BP的长，y与x之间的关系如图2所示，当线段BP最短时，△BCP与△ABP的周长的差为__________。
【答案】5.5
【分析】由图2及题意可得、、及的长，当线段最短时，，此时由勾股定理可求得的长，从而可分别求得及的周长，最后可求得这两个三角形周长的差．
【详解】解： 从图2可以看出：
，
当线段最短时，，此时，，
的周长，
的周长，
故：与的周长的差为5.5，
故答案为：5.5．
【点拨】本题考查了垂线段最短，勾股定理，读懂y与x之间的关系图，进而得、、及的长是解题的关键．
15．一副直角三角板如图放在直线、之间，且，则图中________度．
【答案】15
【分析】如图，过点A作AC∥m，则有，然后可得，进而问题可求解．
【详解】解：如图所示，过点A作AC∥m，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为15．
【点拨】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
三、解答题（共75分）
16．（9分）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
【答案】(1)10
(2)
(3)
【分析】先算绝对值，乘方，零指数幂，负整数指数幂，再算乘法，最后算加减即可；
利用整式的除法的法则进行运算即可；
先进行整式的乘法运算，再合并同类项即可；
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
【点拨】本题主要考查了零指数幂及负整数指数幂的运算法则，有理数的混合运算，整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
17．（8分）先化简再求值：，其中x=2，y=-1．
【答案】-4xy+6y2，14．
【分析】原式利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【详解】原式=x2-4xy+4y2-x2+4y2-2y2=-4xy+6y2，
当x=2，y=-1时，原式=8+6=14．
【点拨】此题考查整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（9分）如图，已知AB∥CD，∠B=50°，CM是∠BCD的平分线，CM⊥CN，求∠ECN的度数．
【答案】65°
【分析】根据平行线的性质得出∠BCD=50°，根据角平分线的性质得出∠MCD=25°，根据垂直得出∠MCN=90°，最后根据∠ECN=180°－∠MCN－∠MCD得出答案.
【详解】∵AB∥CD，∠B=50°（已知）
∴∠BCD=∠B=50°（两直线平行，内错角相等）
∵CM平分∠BCD（已知）
∴∠MCD=∠BCD=25°(角平分线的定义)
∵CM⊥CN（已知）
∴∠MCN =90°（垂直的定义）
∵点E、C、D在同一直线上
∴∠ECD=180°（平角的定义）
∴∠ECN=∠ECD -∠MCN -∠MCD=180°﹣90°﹣25°=65°
【点拨】本题考查平行线的性质；角平分线的性质；角度的计算.熟练掌握平行线的性质是解题的关键.
19．（9分）如图，把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度随着碗的数量变化而变化的情况如表格所示：
(1)上述两个变量之间的关系中，哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)用 h（cm）表示这摞碗的高度，用 x（只）表示这摞碗的数量，请用含有 x 的代数式表示 h；
(3)若这摞碗的高度为 11.2cm，求这摞碗的数量．
【答案】(1)碗的数量是自变量，高度是因变量；
(2)h=1.2x+2.8；
(3)7只；
【分析】（1）根据碗的高度随着碗的数量变化而改变，即可判断；
（2）求出每只碗增加的高度即可解答；
（3）根据（2）h和x的关系式代入求值即可；
【详解】（1）解：通过表格所列举的变量可知，碗的数量是自变量，高度是因变量；
（2）解：由表格可知，每增加一只碗，高度增加1.2cm，
∴h=4+1.2（x-1）=1.2x+2.8，
∴h=1.2x+2.8；
（3）解：∵h=1.2x+2.8，
∴11.2=1.2x+2.8，
解得：x=7，
∴碗的数量是7只；
【点拨】本题考查了函数的概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
20．（9分）如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC=PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等．
【答案】见解析.
【分析】到OA、OB距离相等的点在∠AOB的平分线上，到C，D距离相等的点在线段CD的垂直平分线上，所以P点是∠AOB的平分线与线段CD的垂直平分线的交点．
【详解】解：如图所示，∠AOB的平分线与线段CD的垂直平分线的交点P就是所求的点：
【点拨】本题考查了作图−应用与设计作图，角平分线的判定以及线段垂直平分线的判定，到两条相交直线距离相等的点在这两条相交直线夹角的平分线上；到两点距离相等的点，在这两点连线的垂直平分线上．
21．（9分）完成下列推理过程．
如图，已知，，垂足分别为D、F，．求证：．
证明：，（已知），
，，
（ ）．
（ ）．
又（已知），
（ ）．
∴ （ ）．
．
【答案】见解析
【分析】根据平行线的判定和性质解答．
【详解】证明：，（已知），
，，
（同位角相等，两直线平行）．
（两直线平行，同旁内角互补）．
又（已知），
（等量代换）．
∴（内错角相等，两直线平行）．
．
【点拨】此题考查了平行线的判定和性质定理，熟记定理并熟练应用解决问题是解题的关键．
22．（10分）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为a，宽为的四个相同的长方形拼成的一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到三者之间的等量关系式：________﹔
【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，
如图2，观察大正方体分割，可以得到等式：．
利用上面所得的结论解答下列问题：
（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
【答案】[知识生成]（a+b）2-4ab=（a-b）2；
[知识迁移]（1）25；（2）90
【分析】[知识生成]利用面积相等推导公式（a+b）2-4ab=（a-b）2；
[知识迁移]利用体积相等推导；
（1）应用知识生成的公式，进行变形，代入计算即可；
（2）应用知识生成的公式，进行变形，由知识迁移的等式可得结论．
【详解】[知识生成]
方法一：已知边长直接求面积为（a-b）2；
方法二：阴影面积是大正方形面积减去四个长方形面积，
∴面积为（a+b）2-4ab，
∴由阴影部分面积相等可得（a+b）2-4ab=（a-b）2；
故答案为：（a+b）2-4ab=（a-b）2；
[知识迁移]
（1）由（a+b）2-4ab=（a-b）2，
可得（x-y）2=（x+y）2-4xy，
∵x+y=6，xy=，
∴（x-y）2=62-4×，
∴（x-y）2=25，
（2）∵a+b=6，ab=7，
∴a3+b3=（a+b）3-3ab（a+b）=216-3×7×6=90．
【点拨】本题考查完全平方公式的几何意义；能够由面积相等，过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键．
23．（12分）已知：如图所示，直线，与的平分线交于点C，过点C作一条直线l与两条直线MA、NB分别相交于点D、E．
（1）如图1所示，当直线l与直线MA垂直时，猜想线段AD、BE、AB之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；
（2）如图2所示，当直线l与直线MA不垂直且交点D、E都在AB的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
（3）当直线l与直线MA不垂直且交点D、E在AB的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段AD、BE、AB之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系．
【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3）不成立，或
【分析】（1）如图1中，结论：AD+BE=AB．作CH⊥AB于H，只要证明△ACD≌△ACH，△BCH≌△BCE即可．
（2）如图2中，（1）中所得结论是否仍然成立．在线段AB上截取AF=AD，连接FC，只要证明△ADC≌△AFC（SAS），△CBF≌△CBE（AAS）即可解决问题．
（3）不成立．如图3中，结论：AD-BE=AB．延长BC交AM于F，只要证明△ABF是等腰三角形，△CDF≌△CEB，即可解决问题．如图4中，结论：BE-AD=AB，证明方法类似．
【详解】解：（1）结论：AD+BE=AB．
理由：作CH⊥AB于点H
∵CD⊥AM，CH⊥AB，
∴∠ADC=∠CHA=90°，
在△ACD和△ACH中，
，
∴△ACD≌△ACH（AAS），
∴AD=AH，
同理可证△BCH≌△BCE，
∴BH=BE，
∴AD+BE=AH+BH=AB．
（2）证明：如图2中，在线段AB上截取AF=AD，连接FC．
∵AC，BC分别平分∠MAB，∠NBA，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
在△ADC和△AFC中，
，
∴△ADC≌△AFC（SAS）．
∴∠ADC=∠AFC，
∵MA∥NB，
∴∠ADC+∠6=180°，
又∵∠CFB+∠AFC=180°，
∴∠CFB =∠6．
在△CBF和△CBE中，
，
∴△CBF≌△CBE（AAS），
∴BF=BE
∵AF+BF=AB，
∴AD+BE=AB．
（3）不成立．
如图3中，结论：AD-BE=AB．
理由：延长BC交AM于F．
∵AD∥BN，
∴∠4=∠AFB=∠3，∠FDC=∠CEB，
∴AF=AB，
∵∠1=∠2，
∴AC⊥BF，CF=BC，
在△CDF和△CEB中，
，
∴△CDF≌△CEB，
∴DF=BE，
∴AD-BE=AD-DF=AF=AB，
∴AD-BE=AB．
如图4中，结论：BE-AD=AB．
理由：延长AC交BE于H．
∵AD∥BN，
∴∠MAC=∠AHB=∠CAB，∠MDC=∠CEB，
∴BH=AB，
∵∠ABC=∠HBC，
∴BC⊥AH，AC=CH，
在△CEH和△CDA中，
，
∴△CEH≌△CDA，
∴AD=HE，
∴BE-HE=BE-AD=BH=AB，
∴BE-AD=AB．
【点拨】本题考查三角形综合题、角平分线的性质定理、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
所挂物体重量x(kg)
1
2
3
4
5
弹簧长度y(cm)
10
12
14
16
18
数量/只
1
2
3
4
5
…
高度/cm
4
5.2
6.4
7.6
8.8
…
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．下列运算正确的是（ ）
A．（a＋b）2＝a2＋b2B．（-a2）a3＝a6
C．（-2x2）3＝-8x6D．4a2-（2a）2＝2a2
【答案】C
【分析】根据完全平方公式、积的乘方及同底数幂的乘法可进行排除选项．
【详解】解：A、，原计算错误；
B、，故原计算错误；
C、，故原计算正确；
D、，故原计算错误；
故选C．
【点拨】本题主要考查完全平方公式、积的乘方及同底数幂的乘法，熟练掌握完全平方公式、积的乘方及同底数幂的乘法是解题的关键．
2．用科学记数法表示数据，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】用科学记数法表示绝对值小于1的数，将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．
【详解】解：．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．
3．如图，下列说法不正确的是（ ）
A．与是对顶角B．与是同位角
C．与是内错角D．与是同旁内角
【答案】B
【分析】根据同位角，内错角，同旁内角和对顶角的定义即可进行解答．
【详解】解：A、和是对顶角，说法正确，因此选项A不符合题意；
B、和，既不是同位角，也不是内错角、同旁内角，说法不正确，因此选项B符合题意；
C、与是直线，直线，被直线所截，所得到的内错角，说法正确，因此选项C不符合题意；
D、与是直线，直线，被直线所截所得到的同旁内角，说法正确，因此选项D不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角和对顶角的定义，解题的关键是掌握并理解相关定义．
4．下列说法中，正确的个数是（ ）．
①两条不相交的直线叫平行线；
②经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③连接两点间的线段叫做两点间的距离；
④如果直线，，那么；
⑤在同一平面内，如果直线，，那么．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据平行线的定义、平行公理、两点间距离的定义、平行公理的推论、平行的性质，逐项判断，即可求解．
【详解】解：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，故①错误；
经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故②错误；
连接两点间的线段的长度叫做两点间的距离，故③错误；
根据平行线的传递性，平行于同一条直线的两直线平行，故④正确；
在同一平面内，如果直线，，那么，故⑤错误；
综上可知，正确的只有④．
故选A．
【点拨】本题考查平行线的定义和性质，平行公理及推论，两点间距离的定义等，属于基础题，掌握相关定义和性质是解题的关键．
5．点P为直线l外一点，点A、B、C为直线上三点，PA=2cm，PB=3cm，PC=4cm，则点P到直线l的距离为（ ）
A．等于2cmB．小于2cmC．大于2cmD．不大于2cm
【答案】D
【详解】因为垂线段最短，所以点P到直线l的距离为不大于2cm．故答案为D．
【点拨】本题主要考查点到直线的距离的性质。
6．如图所示，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置．若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由折叠的性质可得，因为，结合平角可求得，再结合平行可求得．
【详解】解：，
，
长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在、的位置，
，
∵，
∴．
故选：C．
【点拨】本题主要考查平行线的性质及折叠的性质，掌握同旁内角互补是解题的关键．
7．五张如图所示的长为，宽为的小长方形纸片，按如图的方式不重叠地放在矩形中，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为，当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变，则，满足的关系式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据差与BC无关即可求出a与b的关系式
【详解】解：左上角阴影部分的长为AE，宽为AF=2b，右下角阴影部分的长为PC，宽为a，
∵AD=BC，即AE+ED=AE+a，BC=BP+PC=3b+PC，
∴AE+a=3b+PC，即AE-PC=3b-a，
∴阴影部分面积之差S=AE•AF-PC•CG=2b×AE-a×PC=2b（PC+3b-a）-aPC=（2b-a）PC+6b2-2ab，
则2b-a=0，即a=2b，
故选：A．
【点拨】此题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．
8．任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据程序图可得：，再计算即可求解．
【详解】解：根据程序图可得：，
即最后输出的结果是．
故选：C
【点拨】本题主要考查了整式四则混合运算，理解程序图，熟练掌握整式四则混合运算法则是解题的关键．
9．如图，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若留甲和图乙中朗影部分的面积分别为3和30，则正方形A、B的面积之和为（ ）
A．33B．30C．27D．24
【答案】A
【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图形得出关系式求解即可；
【详解】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由甲图得，即，
由乙图得，
，
∴．
故答案选A．
【点拨】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，准确计算是解题的关键．
10．下表是研究弹簧长度与所挂物体质量关系的实验表格：
则弹簧不挂物体时的长度为（ ）．
A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm
【答案】C
【分析】根据表格数据，设弹簧长度y与所挂物体重量x的关系式为，进而求得关系式，令即可求得弹簧不挂物体时的长度．
【详解】设弹簧长度y与所挂物体重量x的关系式为，
将，分别代入得，
解得
即，
将，分别代入，符合关系式，
当时，则，
故选C．
【点拨】本题考查了变量与表格，函数关系式，找到关系式是解题的关键．
第II卷（非选择题）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若，，则的值是___________．
【答案】
【分析】根据同底数幂的除法的逆运算将变形为，再利用幂的乘方法则计算出和，代入计算即可．
【详解】解：若，，
则．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂的除法的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．计算同底数幂的除法时，底数不变、指数相减；计算幂的乘方时，底数不变，指数相乘．
12．若关于x的二次三项式是完全平方式，则________．
【答案】4或2
【分析】根据完全平方公式即可求出答案．
【详解】∵（x±1）2＝x2±2x＋1，
∴2（m−3）＝±2，
∴m＝4或2，
故答案为：4或2．
【点拨】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
13．一个三角形的两条边的长分别为和，则第三条边上的中线的取值范围是____．
【答案】##
【分析】如图，在中，延长中线到点E，使，连接，可证明，可求得，在中可利用三角形三边关系可求得的取值范围，则可求得的取值范围．
【详解】解：如图，延长到点E，使，连接，
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，且，
即，，
∴，
∴，即，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质，全三角形三边关系，构造全等三角形的，把、和转化到一个三角形中是解题的关键．
14．如图1，在△ABC中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段AP的长，y表示线段BP的长，y与x之间的关系如图2所示，当线段BP最短时，△BCP与△ABP的周长的差为__________。
【答案】5.5
【分析】由图2及题意可得、、及的长，当线段最短时，，此时由勾股定理可求得的长，从而可分别求得及的周长，最后可求得这两个三角形周长的差．
【详解】解： 从图2可以看出：
，
当线段最短时，，此时，，
的周长，
的周长，
故：与的周长的差为5.5，
故答案为：5.5．
【点拨】本题考查了垂线段最短，勾股定理，读懂y与x之间的关系图，进而得、、及的长是解题的关键．
15．一副直角三角板如图放在直线、之间，且，则图中________度．
【答案】15
【分析】如图，过点A作AC∥m，则有，然后可得，进而问题可求解．
【详解】解：如图所示，过点A作AC∥m，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为15．
【点拨】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
三、解答题（共75分）
16．（9分）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
【答案】(1)10
(2)
(3)
【分析】先算绝对值，乘方，零指数幂，负整数指数幂，再算乘法，最后算加减即可；
利用整式的除法的法则进行运算即可；
先进行整式的乘法运算，再合并同类项即可；
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
【点拨】本题主要考查了零指数幂及负整数指数幂的运算法则，有理数的混合运算，整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
17．（8分）先化简再求值：，其中x=2，y=-1．
【答案】-4xy+6y2，14．
【分析】原式利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【详解】原式=x2-4xy+4y2-x2+4y2-2y2=-4xy+6y2，
当x=2，y=-1时，原式=8+6=14．
【点拨】此题考查整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（9分）如图，已知AB∥CD，∠B=50°，CM是∠BCD的平分线，CM⊥CN，求∠ECN的度数．
【答案】65°
【分析】根据平行线的性质得出∠BCD=50°，根据角平分线的性质得出∠MCD=25°，根据垂直得出∠MCN=90°，最后根据∠ECN=180°－∠MCN－∠MCD得出答案.
【详解】∵AB∥CD，∠B=50°（已知）
∴∠BCD=∠B=50°（两直线平行，内错角相等）
∵CM平分∠BCD（已知）
∴∠MCD=∠BCD=25°(角平分线的定义)
∵CM⊥CN（已知）
∴∠MCN =90°（垂直的定义）
∵点E、C、D在同一直线上
∴∠ECD=180°（平角的定义）
∴∠ECN=∠ECD -∠MCN -∠MCD=180°﹣90°﹣25°=65°
【点拨】本题考查平行线的性质；角平分线的性质；角度的计算.熟练掌握平行线的性质是解题的关键.
19．（9分）如图，把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度随着碗的数量变化而变化的情况如表格所示：
(1)上述两个变量之间的关系中，哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)用 h（cm）表示这摞碗的高度，用 x（只）表示这摞碗的数量，请用含有 x 的代数式表示 h；
(3)若这摞碗的高度为 11.2cm，求这摞碗的数量．
【答案】(1)碗的数量是自变量，高度是因变量；
(2)h=1.2x+2.8；
(3)7只；
【分析】（1）根据碗的高度随着碗的数量变化而改变，即可判断；
（2）求出每只碗增加的高度即可解答；
（3）根据（2）h和x的关系式代入求值即可；
【详解】（1）解：通过表格所列举的变量可知，碗的数量是自变量，高度是因变量；
（2）解：由表格可知，每增加一只碗，高度增加1.2cm，
∴h=4+1.2（x-1）=1.2x+2.8，
∴h=1.2x+2.8；
（3）解：∵h=1.2x+2.8，
∴11.2=1.2x+2.8，
解得：x=7，
∴碗的数量是7只；
【点拨】本题考查了函数的概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
20．（9分）如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC=PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等．
【答案】见解析.
【分析】到OA、OB距离相等的点在∠AOB的平分线上，到C，D距离相等的点在线段CD的垂直平分线上，所以P点是∠AOB的平分线与线段CD的垂直平分线的交点．
【详解】解：如图所示，∠AOB的平分线与线段CD的垂直平分线的交点P就是所求的点：
【点拨】本题考查了作图−应用与设计作图，角平分线的判定以及线段垂直平分线的判定，到两条相交直线距离相等的点在这两条相交直线夹角的平分线上；到两点距离相等的点，在这两点连线的垂直平分线上．
21．（9分）完成下列推理过程．
如图，已知，，垂足分别为D、F，．求证：．
证明：，（已知），
，，
（ ）．
（ ）．
又（已知），
（ ）．
∴ （ ）．
．
【答案】见解析
【分析】根据平行线的判定和性质解答．
【详解】证明：，（已知），
，，
（同位角相等，两直线平行）．
（两直线平行，同旁内角互补）．
又（已知），
（等量代换）．
∴（内错角相等，两直线平行）．
．
【点拨】此题考查了平行线的判定和性质定理，熟记定理并熟练应用解决问题是解题的关键．
22．（10分）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为a，宽为的四个相同的长方形拼成的一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到三者之间的等量关系式：________﹔
【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，
如图2，观察大正方体分割，可以得到等式：．
利用上面所得的结论解答下列问题：
（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
【答案】[知识生成]（a+b）2-4ab=（a-b）2；
[知识迁移]（1）25；（2）90
【分析】[知识生成]利用面积相等推导公式（a+b）2-4ab=（a-b）2；
[知识迁移]利用体积相等推导；
（1）应用知识生成的公式，进行变形，代入计算即可；
（2）应用知识生成的公式，进行变形，由知识迁移的等式可得结论．
【详解】[知识生成]
方法一：已知边长直接求面积为（a-b）2；
方法二：阴影面积是大正方形面积减去四个长方形面积，
∴面积为（a+b）2-4ab，
∴由阴影部分面积相等可得（a+b）2-4ab=（a-b）2；
故答案为：（a+b）2-4ab=（a-b）2；
[知识迁移]
（1）由（a+b）2-4ab=（a-b）2，
可得（x-y）2=（x+y）2-4xy，
∵x+y=6，xy=，
∴（x-y）2=62-4×，
∴（x-y）2=25，
（2）∵a+b=6，ab=7，
∴a3+b3=（a+b）3-3ab（a+b）=216-3×7×6=90．
【点拨】本题考查完全平方公式的几何意义；能够由面积相等，过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键．
23．（12分）已知：如图所示，直线，与的平分线交于点C，过点C作一条直线l与两条直线MA、NB分别相交于点D、E．
（1）如图1所示，当直线l与直线MA垂直时，猜想线段AD、BE、AB之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；
（2）如图2所示，当直线l与直线MA不垂直且交点D、E都在AB的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
（3）当直线l与直线MA不垂直且交点D、E在AB的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段AD、BE、AB之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系．
【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3）不成立，或
【分析】（1）如图1中，结论：AD+BE=AB．作CH⊥AB于H，只要证明△ACD≌△ACH，△BCH≌△BCE即可．
（2）如图2中，（1）中所得结论是否仍然成立．在线段AB上截取AF=AD，连接FC，只要证明△ADC≌△AFC（SAS），△CBF≌△CBE（AAS）即可解决问题．
（3）不成立．如图3中，结论：AD-BE=AB．延长BC交AM于F，只要证明△ABF是等腰三角形，△CDF≌△CEB，即可解决问题．如图4中，结论：BE-AD=AB，证明方法类似．
【详解】解：（1）结论：AD+BE=AB．
理由：作CH⊥AB于点H
∵CD⊥AM，CH⊥AB，
∴∠ADC=∠CHA=90°，
在△ACD和△ACH中，
，
∴△ACD≌△ACH（AAS），
∴AD=AH，
同理可证△BCH≌△BCE，
∴BH=BE，
∴AD+BE=AH+BH=AB．
（2）证明：如图2中，在线段AB上截取AF=AD，连接FC．
∵AC，BC分别平分∠MAB，∠NBA，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
在△ADC和△AFC中，
，
∴△ADC≌△AFC（SAS）．
∴∠ADC=∠AFC，
∵MA∥NB，
∴∠ADC+∠6=180°，
又∵∠CFB+∠AFC=180°，
∴∠CFB =∠6．
在△CBF和△CBE中，
，
∴△CBF≌△CBE（AAS），
∴BF=BE
∵AF+BF=AB，
∴AD+BE=AB．
（3）不成立．
如图3中，结论：AD-BE=AB．
理由：延长BC交AM于F．
∵AD∥BN，
∴∠4=∠AFB=∠3，∠FDC=∠CEB，
∴AF=AB，
∵∠1=∠2，
∴AC⊥BF，CF=BC，
在△CDF和△CEB中，
，
∴△CDF≌△CEB，
∴DF=BE，
∴AD-BE=AD-DF=AF=AB，
∴AD-BE=AB．
如图4中，结论：BE-AD=AB．
理由：延长AC交BE于H．
∵AD∥BN，
∴∠MAC=∠AHB=∠CAB，∠MDC=∠CEB，
∴BH=AB，
∵∠ABC=∠HBC，
∴BC⊥AH，AC=CH，
在△CEH和△CDA中，
，
∴△CEH≌△CDA，
∴AD=HE，
∴BE-HE=BE-AD=BH=AB，
∴BE-AD=AB．
【点拨】本题考查三角形综合题、角平分线的性质定理、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
所挂物体重量x(kg)
1
2
3
4
5
弹簧长度y(cm)
10
12
14
16
18
数量/只
1
2
3
4
5
…
高度/cm
4
5.2
6.4
7.6
8.8
…
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