全等三角形的七大模型压轴题训练（六）-2023-2024学年七年级数学下册全等三角形的七大模型全攻略（北师大版，成都专用）

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1．如图1，在四边形ABDC中，，，，，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且．
（1）求证：．
（2）在图1中，若G在AB上且，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明．
（3）运用（1）（2）（3）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在四边形ABCD中，，，E在AB上，，且，若，，求BE的长．（用含a，b的代数式表示，可能用到直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半）．
【答案】（1）证明见解析；（2）；证明见解析；（3）．
【分析】（1）根据已知推出，根据证明，即可得出结论；
（2）连接，根据证，可得，根据可证，推出即可得出结论；
（3）过C作交的延长线于M，根据全等三角形的性质得出，由（1）（2）可知，分别用含a，b的代数式表示，，最后代入即可得出结论．
【详解】（1）∵，，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）如图，连接，
在和中，
，
∴，
∴
∵，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）如图，过作交的延长线于，
在和中，
∴，
∴，，
由（1）（2）可知：，
∵，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即．
【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定综合．（1）解题的关键是证明全等三角所需对应角相等；（2）证明两线段和等于一条线段时，通常将两条线段转移到同一条已知线段中，再证明已知线段与求和后的线段相等即可；（3）解题关键在于构造辅助线证明三角形全等．
2．在中，，，为直线上一点，连接，过点作交于点，交于点，在直线上截取，连接．
（1）当点，都在线段上时，如图①，求证：；
（2）当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，如图②；当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，如图③，直接写出线段，，之间的数量关系，不需要证明．
【答案】（1）见解析；（2）图②：；图③：
【分析】（1）过点作交的延长线于点．证明，根据全等三角形的性质可得，．再证，由此即可证得结论；
（2）图②：，类比（1）中的方法证明即可；图③：，类比（1）中的方法证明即可．
【详解】（1）证明：如图，过点作交的延长线于点．
0
∴．
∵，
∴，．
∵，
∴．
∴．
在和中，
∴．
∴，．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴．
在和中，
∴．
∴．
∵，
∴．
（2）图②：．
证明：过点作交于点．
∴．
∵，
∴，．
∵，
∴．
∴．
在和中，
∴．
∴，．
∵，，
∴．
∴，
∵
∴．
∴．
∵，，
∴．
在和中，
∴．
∴．
∵，
∴．
图③：．
证明：如图，过点作交的延长线于点．
∴．
∵，
∴，．
∵，
∴．
∴．
在和中，
∴．
∴，．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴．
在和中，
∴．
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题是全等三角形的综合题，正确作出辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键．
3．如图（1），△ABD和△ACE是两个等腰直角三角形，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°．
(1)判断CD与BE有怎样关系；并说明理由；
(2)如图（2）过点A作AP⊥BC于点P，延长PA交DE于点Q．试说明点Q为DE中点．
(3)如图（1），若AB=4，AC=3．则四边形DBCE面积最大值是______，此时△ADE的面积是______．
【答案】(1)相等且垂直；理由见解析
(2)见解析
(3)24.5；6
【分析】（1）根据题目已知条件，可证△BAE≌△DAC，利用全等三角形的性质，即可得出结论；
（2）延长PQ，作DM⊥PQ于点M，作EN⊥PQ于点N，可证△ABP≌△DAM，△ACP≌△EAN，利用全等三角形的性质，即可得出结论；
（3）令CD与BE的交点为点F，由，可知当CD最大时，面积最大，由三边关系可知，，即当CD=AD+AC时，四边形DBCE面积最大，此时，点A与点F重合，故DF=4，EF=3，即可求解．
【详解】（1）解：CD与BE的关系是相等且垂直，理由如下：
∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠DAC＝∠BAE，
在△BAE和△DAC中，
，
∴△BAE≌△DAC（SAS），
∴BE=CD，∠ABE＝∠ADC，
∵∠BAD＝∠ADC+∠BDC+∠ABD＝90°，
∴∠ABE +∠BDC+∠ABD＝90°，
∴BE⊥CD，
∴CD与BE的关系是相等且垂直．
（2）解：延长PQ，作DM⊥PQ于点M，作EN⊥PQ于点N，如图，
∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠DAM+∠BAP＝90°，∠NAE+∠PAC＝90°，
∵DM⊥PQ，EN⊥PQ，
∴∠DMA＝∠ANE＝90°，
∵AP⊥BC，
∴∠APB＝∠APC＝90°，
∴∠DMA＝∠APB，∠ANE＝∠APC，
∵AB＝AD，AC＝AE，
∴△ABP≌△DAM，△ACP≌△EAN，
∴AP＝DM，AP＝EN，
∴DM＝EN，
∵∠DMA＝∠ANE＝90°，∠DQM＝∠EQN，
∴△DQM≌△EQN，∴DQ＝QE，∴点Q为DE中点．
（3）解：令CD与BE的交点为点F，如图，
∵BE=CD，BE⊥CD，
∴，
∴当CD最大时，四边形DBCE面积最大，
由三边关系可知，，即当CD=AD+AC=4+3=7时，四边形DBCE面积最大，四边形DBCE面积最大值，
此时，点A与点F重合，故DA=4，AE=3，DA⊥AE，
∴．
故答案为：24.5；6．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、四边形面积的最值问题，三角形三边关系，解题的关键是正确理解题意，充分利用“转化”的思想方法．
4．在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为BC上一点， BF⊥AD于点E，交AC于点F，连接DF．

(1)如图①，当AD平分∠BAC时，
① AB与AF相等吗？为什么？
②判断DF与AC的位置关系，并说明理由；
(2)如图②，当点D为BC的中点时，试说明：∠FDC＝∠ADB．
【答案】(1)①，理由见解析；②，理由见解析；
(2)见解析
【分析】（1）①证明，即可推出；
②根据垂直平分可得，进而证明，可得，即可求解．
（2）过点作，交的延长线于点，证明,可得，进而证明，得出，根据同角的余角相等，可得，等量代换可得∠FDC＝∠ADB．
【详解】（1）①，理由如下，
AD平分∠BAC，
，
BF⊥AD，
，
又，
，
；
②，理由如下，
，
，
又，
，
在与中
，
，
，
，
即；
（2）过点作，交的延长线于点，如图，
，
，，
，
，
又，
，
，
点D为BC的中点，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
∠FDC＝∠ADB．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
5．如图，∠MAN是一个钝角，AB平分∠MAN，点C在射线AN上，且AB＝BC，BD⊥AC，垂足为D．
(1)求证：；
(2)动点P，Q同时从A点出发，其中点Q以每秒3个单位长度的速度沿射线AN方向匀速运动；动点P以每秒1个单位长度的速度匀速运动．已知AC＝5，设动点P，Q的运动时间为t秒．
①如图②，当点P在射线AM上运动时，若点Q在线段AC上，且，求此时t的值；
②如图③，当点P在直线AM上运动时，点Q在射线AN上运动的过程中，是否存在某个时刻，使得APB与BQC全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说出理由．
【答案】(1)见解析
(2)①；②存在，或
【分析】（1）①先证Rt△BDA≌Rt△BDC（HL），推出∠BAC＝∠BCA．再由角平分线的定义得∠BAM＝∠BAC，等量代换即可证明；
（2）①作BH⊥AM，垂足为M．先证△AHB≌△ADB（AAS），推出BH＝BD，再由S△ABP＝S△BQC，推出，结合P，Q运动方向及速度即可求解；②分“点P沿射线AM方向运动，点Q在线段AC上”，以及“点P沿射线AM反向延长线方向运动，点Q在线段AC延长线上”两种情况讨论，利用三角形全等得出AP与CQ的关系即可求解．
【详解】（1）证明：∵BD⊥AC，
∴，
在Rt△BDA和Rt△BDC中，
∴Rt△BDA≌Rt△BDC（HL），
∴∠BAC＝∠BCA．
∵AB平分∠MAN，
∴∠BAM＝∠BAC，
∴∠BAM＝∠BCA．
（2）解：①如下图所示，作BH⊥AM，垂足为M．
∵BH⊥AM，BD⊥AC，
∴∠AHB＝∠ADB＝90°，
在△AHB和△ADB中，
∴△AHB≌△ADB（AAS），
∴BH＝BD，
∵S△ABP＝S△BQC，
∴，
∴，
∴，
∴．
②存在，理由如下：
当点P沿射线AM方向运动，点Q在线段AC上时，如下图所示，
∵AB＝BC，
又由（1）得∠BAM＝∠BCA，
∴当AP＝CQ时，△APB≌△CQB，
∴，
∴；
当点P沿射线AM反向延长线方向运动，点Q在线段AC延长线上时，如下图所示，
由（1）得∠BAM＝∠BCA，
∴∠BAP＝∠BCQ，
又∵AB＝BC，
∴当AP＝CQ时，△APB≌△CQB，
∴，
∴．
综上所述，当或时，△APB和△CQB全等．
【点睛】本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，并注意分类讨论是解题的关键．
6．【问题情境】如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，如果米，那么间的距离为___________米．
【探索应用】如图2，在中，若，求边上的中线的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转得到），把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断，中线的取值范围是___________；
【拓展提升】如图3，在中，的延长线交于点F，求证：．
【答案】（1）100米；（2）1＜AD＜4；（3）见详解
【分析】（1）证明△ABC≌△DEC，由全等三角形的性质即可得AB＝DE；
（2）延长到点E使，再连接，由“SAS”可证△ADC≌△EDB，可得AC＝BE＝3，由三角形三边关系可得1＜AD＜4；
（3）在BC上截取BG＝AF，易证△ABG≌△ADF，可得DF＝AG和∠DFA＝∠BGA，即可求证△ACG≌△EAF，可得GE＝AF，即可解题．
【详解】（1）解：在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴DE＝AB=100米；
故答案为：100米
（2）延长到点E使，再连接
如图所示
∵AD＝DE，CD＝BD，∠ADC＝∠BDE，
∴△ADC≌△EDB（SAS）
∴AC＝BE＝3，
∵在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE
∴2＜2AD＜8，
∴1＜AD＜4，
故答案为：1＜AD＜4；
（3）证明：在BC上截取BG＝AF，
∵∠BAD＝∠CAE＝∠ACB＝90°
∴∠BAC+∠ABC＝∠BAC+∠DAF＝90°
∴∠CBA＝∠DAF，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF，（SAS）
∴DF＝AG，∠DFA＝∠BGA，
∴∠EFA＝∠CGA，
∵在△ACG和△EAF中，
，
∴△ACG≌△EAF（AAS）
∴EE＝AG＝FD．
∴
【点睛】考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
7．综合与实践
如图①，Rt△ABC中，∠ACB= 90° ，CD为Rt△ABC的斜边上的中线，在证明CD=AD= BD的过程中，我们可以延长CD到E，使得CD=DE ，连接BE．很容易证明∠ACD≌△BED，进而证明△ABC≌△ECB，所以AB=CE，所以CD= AD= BD．我们可以得到直角三角形的性质：直角三角形斜边中线等于斜边的一半．
实践操作：
将两个全等的Rt△ABD，Rt△ACE拼在一起 ，如图②，△ABD不动．
问题解决：
（1）将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB，MC，如图③，求证：MB=MC；
拓展延伸：
（2）若将图②中的CE向上平移，且∠CAE不变，连接DE ，M是DE的中点，连接MB ，MC，如图④，则线段MB，MC的数量关系为 ；
问题再探：
（3）在（2）的条件下，若∠CAE改变大小，如图⑤，其他条件不变，请你判断线段MB ，MC的数量关系还成立吗?请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）MB=MC；（3）成立，理由见解析．
【分析】（1）由旋转得到，，继而证明，再证明，接着由得到；
（2）由平移的性质得到，继而得到，接着由得到；
（3）延长BM交CE于点F，证明，由此得到MB=MF，再结合直角三角形斜边中线的性质解得即可．
【详解】解：（1）由题意知Rt△ABD≌Rt△ACE
旋转
M是DE的中点
（2）由题意，
平移
M是DE的中点
故答案为：；
（3）成立，理由如下，
如图，延长BM交CE于点F，
平移
M是DE的中点
．
【点睛】本题考查几何变换，涉及全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
8．如图，在中， ，高AD、BE相交于点O，，且．
(1)求线段AO的长；
(2)动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，△POQ的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围；
(3)在（2）的条件下，点F是直线AC上的一点且CF＝BO．是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)5
(2)
(3)存在，t=1或
【分析】（1）证明即可得到线段长；
（2）分两种情况讨论：①如图1，当点在线段上时，；②如图2，当点在射线上时，，即可得出 的取值范围；
（3）分两种情况讨论：①如图3，当时，；②如图4，当时，，即可求出值．
【详解】（1）、是的高，
，
，，
，
，
在和中
，
，
；
（2），，
，，
设，，
①如图1，当点在线段上时，，
，
的取值范围是，
②如图2，当点在射线上时，，
，
的取值范围是；
（3）存在；
①如图3中，当时，
，，
，
，
，
解得： ；
②如图4中，当时，
，，
，
，
，
，
解得：，
综上所述，或时，
【点睛】本题考查的是三角形综合题，全等三角形的判定和性质，三角形面积，灵活运用相关知识是解题关键．
9．如图，中，，，点为射线上一动点，连结，作且．
（1）如图1，过点作交于点，求证：；
（2）如图2，连结交于点，若，，求证：点为中点．
（3）当点在射线上，连结与直线交于点，若，，则______．（直接写出结果）
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或
【分析】（1）证明△AFD≌△EAC，根据全等三角形的性质得到DF=AC，等量代换证明结论；
（2）作FD⊥AC于D，证明△FDG≌△BCG，得到DG=CG，求出CE，CB的长，得到答案；
（3）过F作FD⊥AG的延长线交于点D，根据全等三角形的性质得到CG=GD，AD=CE=7，代入计算即可．
【详解】解：（1）证明：∵FD⊥AC，
∴∠FDA=90°，
∴∠DFA+∠DAF=90°，
同理，∠CAE+∠DAF=90°，
∴∠DFA=∠CAE，
在△AFD和△EAC中，
，
∴△AFD≌△EAC（AAS），
∴DF=AC，
∵AC=BC，
∴FD=BC；
（2）作FD⊥AC于D，
由（1）得，FD=AC=BC，AD=CE，
在△FDG和△BCG中，
，
∴△FDG≌△BCG（AAS），
∴DG=CG=1，
∴AD=2，
∴CE=2，
∵BC=AC=AG+CG=4，
∴E点为BC中点；
（3）当点E在CB的延长线上时，过F作FD⊥AG的延长线交于点D，
BC=AC=4，CE=CB+BE=7，
由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，
∴CG=GD，AD=CE=7，
∴CG=DG=1.5，
∴，
同理，当点E在线段BC上时，，
故答案为：或.
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
10．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，BE，点P为DC的中点，
（1）【观察猜想】图1中，线段AP与BE的数量关系是 ，位置关系是 ．
（2）【探究证明】把△ADE绕点A逆时针旋转到图2的位置，（1）中的猜想是否仍然成立？若成立请证明，否请说明理由；
（3）【拓展延伸】把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出线段AP长度的最大值和最小值．
【答案】（1）AP＝BE，PA⊥BE；（2）成立，理由见解析；（3）PA的最大值为7，最小值为3
【分析】(1)设PA交BE于点O，根据题目已知条件可以得到△DAC≌△EAB，从而得出PA＝BE，∠C＝∠PAE，因为∠CAP+∠BAO＝90°，即可证明出结论；
(2)结论成立，延长AP至M，使PM＝PA，连接MC，延长PA交BE于O，根据题目已知条件得出△APD≌△MPC，进而得到∠EAB＝∠ACM，再证明得出△EAB≌△MCA，即可得出结论；
(3)因为AC＝10，CM＝4，所以6≤AM≤14，再利用AM＝2AP即可得出答案．
【详解】解：(1)设PA交BE于点O，

∵AD＝AE，AC＝AB，∠DAC＝∠EAB，
∴△DAC≌△EAB，
∴BE＝CD，∠ACD＝∠ABE，
∵∠DAC＝90°，DP＝PC，
∴PA＝CD＝PC＝PD，
∴PA＝BE，∠C＝∠PAE，
∵∠CAP+∠BAO＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∴PA⊥BE，
(2)结论成立．
理由：延长AP至M，使PM＝PA，连接MC，延长PA交BE于O，
∵PA＝PM，PD＝PC，∠APD＝∠CPM，
∴△APD≌△MPC，
∴AD＝CM，∠ADP＝∠MCP，
∴AD∥CM，
∴∠DAC+∠ACM＝180°，
∵∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠EAB＝∠ACM，
∵AB＝AC，AE＝CM，
∴△EAB≌△MCA，
∴BE＝BM，∠CAM＝∠ABE，
∵PA＝AM，PA＝BE，
∵∠CAM+∠BAO＝90°，
∴∠ABE+∠BAO＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∴PA⊥BE．
(3)∵AC＝10，CM＝4，
∴10﹣4≤AM≤10+4，
∴6≤AM≤14，
∵AM＝2AP，
∴3≤PA≤7．
∴PA的最大值为7，最小值为3．
【点睛】本题主要考查的是全等三角形综合应用，掌握全等三角形的判定，三角形的构成条件是解题的关键．
11．我们知道，利用三角形全等可以证明两条线段相等．但是我们会碰到这样的“和差”问题：
（1）如图1，CD为△ABC的高，∠ABC＝2∠A，证明：AD＝CB+BD
（2）如图2，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠ADB，AB=3，CD=5，求AC的长度
（3）如图3，在四边形ABCD中，CB＝CD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边AB，边AD上的两点，且∠ECF＝∠BCD，求证：BE+DF＝EF．
（4）如图4，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，点D是△ABC外角平分线上一点，DE⊥AC交CA延长线于点E，F是AC上一点，且DF＝DB．请直接写出AC、AE、AF之间的数量关系
【答案】（1）证明见详解；（2）8；（3）证明见详解；（4）．
【分析】（1）在上取一点使，连接，证明，得到 ，，根据可证得，则有，可证得；
（2）在上截取，连接，证明，得到，再证明，进而代入数值解答即可；
（3）延长到，使，连接，根据 分别证明， 可以证得 ；
（4）作于，在上截取，用证明，，得到，再根据可以证明，得到，进而可以得到．
【详解】解：（1）如图1，在上取一点使，连接，
∵为的高，
∴，
∵，
∴
∴ ，
∵
∴，
∴
∴
∴；
（2）如图2示，在上截取，连接，
平分，
，
在和中，
，
，
，， ，又，
，
而，
，
，
，
；
（3）如图3示，延长到，使，连接，
∵，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（4）如图4示，作于，在上截取，
，，
，
，
点是外角平分线上一点，， ，
，，
在和中，
，
在和中，
，
，
，
．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，正确作出辅助线是解题的关键．
12．如图1，已知，直线分别与直线、相交于点，点在直线上，连接交直线于点．
（1）求证：．
（2）如图2，连接，交于点，过点作交的延长线于点，交于点，且，当平分时，求的大小．
（3）在（2）的条件下，将绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为秒当的边与的某一边平行时，请直接写出此时的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或或．
【分析】（1）过点作的平行线，，根据平行线性质、又分别等于、，通过等量转换得以证明．
（2）利用平行线性质和角平分线性质，将、的度数用含有角度的数值表示，根据、两角互余，求出的度数，再利用三角形外角定理得出．
（3）分三种情况讨论，当分别与、、平行时，利用平行线性质计算求出的值．
【详解】过点作的平行线，如图：
，
，
又，
，
，
，
即：．
设，如图：
则，
平分，
，
又，
，，
，
，
，
又，
．
旋转后点E、H分别对应点、，若，如图所示：
两种情况：其一，当、位于直线AB下方时，
，在第二小题条件下，，则，
(两直线平行，内错角相等)，
，
；
其二，若，当、位于直线AB上方时，
，在第二小题条件下，，则，
，
∴，
，
（舍去）；
旋转后点E、H分别对应点、，若，如图：
，，在第二小题条件下，，
(两直线平行，内错角相等)，
，
，
；
旋转后点E、H分别对应点、，若，交于点T，如图：
，
∴(两直线平行同位角相等)，
∵，
∴，
在中，
∴，
，
．
综上可得：或或．
【点睛】本题考查平行线性质、角平分线性质及三角形外角定理，理清题中关于角度的数量关系，分类讨论是解题关键．
13．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．
（1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），求证：△ABE≌△CBF．
（2）当∠MBN绕点B旋转到AE≠CF时，如图2，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想．
（3）当∠MBN绕点B旋转到图3这种情况下，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】（1）见解析；（2）AE+CF＝EF，证明见解析；（3）AE﹣CF＝EF，证明见解析
【分析】（1）利用SAS定理证明△ABE≌△CBF；
（2）延长DC至点K，使CK＝AE，连接BK，分别证明△BAE≌△BCK、△KBF≌△EBF，根据全等三角形的性质、结合图形证明结论；
（3）延长DC至G，使CG＝AE，仿照（2）的证明方法解答．
【详解】（1）证明：在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS）；
（2）解：AE+CF＝EF，
理由如下：延长DC至点K，使CK＝AE，连接BK，
在△BAE与△BCK中，
，
∴△BAE≌△BCK（SAS），
∴BE＝BK，∠ABE＝∠KBC，
∵∠FBE＝60°，∠ABC＝120°，
∴∠FBC+∠ABE＝60°，
∴∠FBC+∠KBC＝60°，
∴∠KBF＝∠FBE＝60°，
在△KBF与△EBF中，
，
∴△KBF≌△EBF（SAS），
∴KF＝EF，
∴AE+CF＝KC+CF＝KF＝EF；
（3）解：AE﹣CF＝EF，
理由如下：延长DC至G，使CG＝AE，
由（2）可知，△BAE≌△BCG（SAS），
∴BE＝BG，∠ABE＝∠GBC，
∠GBF＝∠GBC﹣∠FBC＝∠ABE﹣∠FBC＝120°+∠FBC﹣60°﹣∠FBC＝60°，
∴∠GBF＝∠EBF，
∵BG＝BE，∠GBF＝∠EBF，BF＝BF，
∴△GBF≌△EBF，
∴EF＝GF，
∴AE﹣CF＝CG﹣CF＝GF＝EF．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
14．如图，直线，交于点O，点E是平分线的一点，点M，N分别是射线，上的点，且．
(1)求证：；
(2)点F在线段上，点G在线段延长线上，连接，，若，依题意补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）先根据角的平分线的性质，过点E作，，垂足分别是H，K，得，再根据三角形全等的判定，证明即可得结论．
（2）作辅助线，在线段上截取，连接EG1，先证明，得，，再证明，得，再推导得出结论．
【详解】（1）（1）证明：作，，垂足分别是H，K，如图．

∵是的平分线，
∴．
∵，
∴．
∴．
记与的交点为P，
∴．
∴．
（2）（2）．
证明：在线段上截取，连接EG1，如图．

∵是的平分线，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，．
∵，
∴，．
∴．
∴．
∵．
∴． ∴．
∵，
∴．
【点睛】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．