专题07 旋转模型-2023-2024学年七年级数学下册全等三角形的七大模型全攻略（北师大版，成都专用）

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例题精讲
例1．（三角形旋转）如图，在直角中，，点D是上一点，连接，把绕点A逆时针旋转90°，得到，连接交于点M．
（1）如图1，若，求的长；
（2）如图2，若，点N为上一点，，求证：；
（3）如图3，若，点D为直线上一动点，直线与直线交于点M，当为等腰三角形时，请直接写出此时的度数．
例2．（四边形旋转）（1）如图1，在四边形中，，，点E、F分别在边上，且，探究图中、、之间的数量关系．
小明探究的方法是：延长FD到点G，使，连接AG，先证明，再证明，可得出结论，他的结论是______．
（2）如图2，在四边形中，，，点E、F分别在边上，且，探究上述结论是否仍然成立，并说明理由．
（3）如图3，在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，仍然满足，请直接写出与的数量关系为______．
【变式训练1】如图，将两块含45°角的大小不同的直角三角板△COD和△AOB如图①摆放，连结AC，BD．
（1）如图①，猜想线段AC与BD存在怎样的数量关系和位置关系，请写出结论并证明；
（2）将图①中的△COD绕点O顺时针旋转一定的角度（如图②），连结AC，BD，其他条件不变，线段AC与BD还存在（1）中的关系吗？请写出结论并说明理由．
（3）将图①中的△COD绕点O逆时针旋转一定的角度（如图③），连结AC，BD，其他条件不变，线段AC与BD存在怎样的关系？请直接写出结论．
【变式训练2】【问题背景】（1）如图1，是正三角形外一点，，则？小明为了证明这个结论，将绕点逆时针旋转请帮助小明完成他的作图；
【迁移应用】（2）如图2，在等腰中，，点在外部，使得，若，求；
【拓展创新】（3）如图3，在四边形中，点在四边形内部．且，直接写出的长．
【变式训练3】在中，在直线上，且．
（1）如图1，当点在线段上时，求证：．

（2）如图2，当点在的延长线上且点在线段上时，上述结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．
【变式训练4】（1）操作发现：将等腰与等腰按如图1方式叠放，其中，点，分别在，边上，为的中点，连结，．小明发现，你认为正确吗？请说明理由．
（2）思考探究：小明想：若将图1中的等腰绕点沿逆时针方向旋转一定的角度，上述结论会如何呢？为此进行以下探究：
探究一：将图1中的等腰绕点沿逆时针方向旋转（如图2），其他条件不变，发现结论依然成立．请你给出证明．
探究二：将图1中的等腰绕点沿逆时针方向旋转（如图3），其他条件不变，则结论还成立吗？请说明理由．

课后训练
1．在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上的一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE，设∠BAC=α，∠BCE=β．
（1）如图，当点D在线段BC上移动，则α和β之间有怎样的数量关系？请说明理由．
（2）当点D在直线BC上移动，则α和β之间有怎样的数量关系？请说明理由．
2．如图1，△ABC中，AB＝AC，过B点作射线BE，过C点作射线CF，使∠ABE＝∠ACF，且射线BE，CF交于点D，过A点作AM⊥BD于M．
（1）探究∠BDC和∠CAB的数量关系并说明理由；
（2）求证：BM＝DM+DC；
（3）如图2，将射线BE，CF分别绕点B和点C顺时针旋转至如图位置，若∠ABE＝∠ACF仍然成立，射线BE交射线CF的反向延长线于点D，过A点作AM⊥BD于M．请问（2）中的结论是否还成立？如果成立，请证明．如果不成立，线段BM，DM，DC又有怎样的数量关系？并证明你的结论．
3．已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，连接EC，取EC的中点M，连接BM和DM．
（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是 ；
（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．
4．如图，在中，，点D在内，，，点E在外，．
(1)的度数为_______________；
(2)小华说是等腰三角形，小明说是等边三角形，___________的说法更准确，并说明理由；
(3)连接，若，求的长．
5．在内有一点，过点分别作，，垂足分别为，．且，点，分别在边和上．
（1）如图1，若，请说明；
（2）如图2，若，，猜想，，具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．
6．如图，中，于点，，点在上，，连接．
（1）求证：；
（2）延长交于点，连接，求的度数；
（3）过点作，，连接交于点，若，，直接写出的面积．
7．如图，△EBF为等腰直角三角形，点B为直角顶点， 四边形ABCD是正方形．
⑴ 求证：△ABE≌△CBF；
⑵ CF与AE有什么特殊的位置关系？请证明你的结论．
8．已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．
（1）如图1所示，求证： 且
（2）将△COD绕点O旋转到图2、图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论