专题01 倍长中线模型-2023-2024学年七年级数学下册全等三角形的七大模型全攻略（北师大版，成都专用）

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（1）如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，则△ADC≌△EDB.
（2）有三角形中线时，可过中点所在的边的两端点向中线作垂线，构造全等三角形，例：
如图，AF为△ABC的中线，作BD⊥AF交AF延长线于点D，作CE⊥AF于点E，则△BDN≌△CEN.
例题精讲
例1．（基本模型）如图，在中，是上一点，连接，已知，，是的中线．求证：．（提示：延长至，使，连接）
【答案】见解析
【详解】证明：如图，延长至，使，连接．
∵是的中线，
∴．
在与中，
，
∴．
∴，．
∵，
∴．
∵，，
，
∴．
在与中，
，
∴．
∴．
∵，
∴．
例2．（培优综合）（1）阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是___________，中线的取值范围是___________；
（2）问题解决：如图2，在中，点是的中点，．交于点，交于点．求证：；
（3）问题拓展：如图3，在中，点是的中点，分别以为直角边向外作和，其中，，，连接，请你探索与的数量与位置关系，并直接写出与的关系．
【答案】（1），；（2）见解析；（3），
【详解】（1）解：如图1，延长至，使，连接，
为边上的中线，
，
在和中，
，
，
，
在中，根据三角形三边关系可得：，
即，
，
，
，
故答案为：，；
（2）证明：如图2中，延长至点，使，连接，
点是的中点，
，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，由三角形的三边关系得：，
∴；
（3）解：结论：，，
如图3，延长于，使得，连接，延长交于，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
即．
例3．（分类讨论）在中，点为边中点，直线绕顶点旋转，直线于点．直线于点，连接，．
（1）如图1，若点，在直线的异侧，延长交于点．求证：．
（2）若直线绕点旋转到图2的位置时，点，在直线的同侧，其它条件不变，此时，，，求的长度．
（3）若过点作直线于点．试探究线段、和的关系．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）线段、和的位置关系为，数量关系为或或
【详解】（1）证明：如图1，
直线于点，直线于点，
，
，
，
又为边中点，
，
在和中，
，
，
．
（2）解：如图2，延长与的延长线相交于点，
直线于点，直线于点，
，
，
，
，
又为中点，
，
又，
∴在和中，
，
，
，，，
∵，，
，
，
，
，
，
．
（3）位置关系：，
数量关系：分四种情况讨论
∵直线于点．直线于点，直线于点，
∴，
①如图3，当直线与线段交于一点时，
由（1）可知，
，
即，
，
，
，
∵，
．
②当直线与线段交于一点时，
如图，延长交的延长线于点．
直线于点，直线于点，
，
，
，
又为边中点，
，
在和中，
，
，
．
，
即，
，
，
，
∵，
．
③如图4，当直线与线段的延长线交于一点时．
由（2）得：，
，，
∴，
即，
．
④当直线与线段的延长线交于一点时，
如图，延长交的延长线于点．
直线于点，直线于点，
，
，
，
，
又为中点，
，
又，
∴在和中，
，
，
，，∴，
即，．
综上所述，线段、和的位置关系为，数量关系为或或．
【变式训练1】如图，在中，，是的中线，点D在的延长线上，连接，平分．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见详解(2)见详解
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：延长到点F，使得，连接，如图所示：
∵是的中线，
∴，
∵，
∴（SAS），
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴（AAS），
∴，
∴．
【变式训练2】某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．
【探究与发现】
如图1，延长△ABC的边BC到D，使DC＝BC，过D作DE∥AB交AC延长线于点E，求证：△ABC≌△EDC．
【理解与应用】
如图2，已知在△ABC中，点E在边BC上且∠CAE＝∠B，点E是CD的中点，若AD平分∠BAE．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范围．
【答案】[探究与发现]见解析；[理解与应用]（1）见解析；（2）1＜x＜4
【详解】解：[探究与发现]
证明：∵DE∥AB，
∴∠B=∠D，
又∵BC=DC，∠ACB=∠ECD，
∴△ABC≌△EDC（ASA）；
[理解与应用]
（1）证明：如图2中，延长AE到F，使EF=EA，连接DF，
∵点E是CD的中点，
∴ED=EC，
在△DEF与△CEA中，
，
∴△DEF≌△CEA（SAS），
∴AC=FD，∴∠AFD=∠CAE，
∵∠CAE=∠B，∴∠AFD=∠B，
∵AD平分∠BAE，∴∠BAD=∠FAD，
在△ABD与△AFD中，
，∴△ABD≌△AFD（AAS），
∴BD=FD，
∴AC=BD；
（2）解：由（1）得：AF=2AE=2x，△ABD≌△AFD，
∴AB=AF=2x，
∵BD=3，AD=5，
在△ABD中，由三角形的三边关系得：AD-BD＜AB＜AD+BD，
即5-3＜2x＜5+3，
解得：1＜x＜4，
即x的取值范围是1＜x＜4．
【变式训练3】如图1，在中，是边的中线，交延长线于点，．

（1）求证；
（2）如图2，平分交于点，交于点，若，，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）如图1所示，延长至点，使，
在与中，
，
，
，
，
，
在与中，
,
，
，
；

（2）如图所示，，
，
平分，，
，
，，
，作，
在与中，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，，
，
设，，，．

【变式训练4】（1）如图1，△ABC中，AD为中线，求证：AB+AC＞2AD；
（2）如图2，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF交AB、AC于E、F．求证：BE+CF＞EF．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【详解】（1）如图，延长至点E，使．
∵AD为中线，
∴．
∴在和中， ，
∴，
∴．
∵在中，，
∴．
（2）如图，延长至点G，使，连接CG，EG．
∵AD为中线，
∴．
∴在和中， ，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴在和中，，
∴，
∴．
∵在中，，
∴．
课后训练
1．如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，，，则的长为____________．
【答案】2.4
【详解】如解图，延长到点，使，
∵为边的中线，
∴
∵，
∴
∴，
∵
∴
∴
∵，
∴
∴．
故答案为：2.4．
2．在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC内一点，点E是CD的中点，连接AE，作EF⊥AE，若点F在BD的垂直平分线上，∠BAC＝α，则∠BFD＝_________．（用α含的式子表示）
【答案】180°﹣α．
【详解】解：延长AE至M，使EM＝AE，
连接AF，FM，DM，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△AEC与△MED中，
，
∴△AEC≌△MED（SAS），
∴∠EAC＝∠EMD，AC＝DM，
∵EF⊥AE，
∴AF＝FM，
∵点F在BD的垂直平分线上，
∴FB＝FD，
在△MDF与△ABF中，
，
∴△MDF≌△ABF（SSS），
∴∠AFB＝∠MFD，∠DMF＝∠BAF，
∴∠BFD+∠DFA＝∠DFA+∠AFM，
∴∠BFD＝∠AFM
＝180°﹣2（∠DMF+∠EMD）
＝180°﹣（∠FAM+∠BAF+∠EAC）
＝180°﹣∠BAC
＝180°﹣α，
故答案为：180°﹣α．
3．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线．
（1）如图1，是的中线，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，易证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是 ；
（2）如图2，是的中线，点在边上，交于点且，求证：；
（3）如图3，在四边形中，，点是的中点，连接，且，试猜想线段之间满足的数量关系，并予以证明．
【答案】（1）；（2）见解析；（3），证明见解析
【详解】（1）延长到点，使，连接，
∵是的中线，
∴，
在和中，
，，，
∴，
∴，
在中，
，
∴，即，
∴；
（2）证明:延长到点使,连接，
由（1）知，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
（3），
延长到，使，连接，
，
，
，
，
，
点在一条直线上，
，
∴，
∴在和中，
，，，
∴≌，
，
∵，
．
4．已知，在中，，点为边的中点，分别交，于点，．
（1）如图1，①若，请直接写出______；
②连接，若，求证：；
（2）如图2，连接，若，试探究线段和之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①45°；②见解析；（2），理由见解析
【详解】（1）①∵，
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
故答案为．
②如图，延长至点，使得，连接，
∵点为的中点，
∴，
又∵，
∴≌，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
（2）．
如图，延长至点，使得，连接，
∵，，
∴≌，
∴，，
∵．
∴≌，
∴．
5．如图，在中，,,分别为,边上的高，连接,过点作与点，为中点，连接，．
（1）如图，若点与点重合，求证：；
（2）如图，请写出与之间的关系并证明．
【答案】(1)详见解析;(2)AF=2DG,且AF⊥DG,证明详见解析.
【详解】解:（1）证明:设BE与AD交于点H..如图，
∵AD,BE分别为BC,AC边上的高,
∴∠BEA=∠ADB=90°.
∵∠ABC=45°,
∴△ABD是等腰直角三角形.
∴AD=BD.
∵∠AHE=∠BHD,
∴∠DAC=∠DBH.
∵∠ADB=∠FDE=90°,
∴∠ADE=∠BDF.
∴△DAE≌△DBF.
∴BF=AE,DF=DE.
∴△FDE是等腰直角三角形.
∴∠DFE=45°.
∵G为BE中点,
∴BF=EF.∴AE=EF.
∴△AEF是等腰直角三角形.
∴∠AFE=45°.
∴∠AFD=90°,即AF⊥DF.
（2）AF=2DG,且AF⊥DG.理由:延长DG至点M,使GM=DG,交AF于点H,连接BM,
∵点G为BE的中点,BG=GE.
∵∠BGM∠EGD,
∴△BGM≌△EGD.
∴∠MBE=∠FED=45°,BM=DE.
∴∠MBE=∠EFD,BM=DF.
∵∠DAC=∠DBE,
∴∠MBD=∠MBE+∠DBE=45°+∠DBE.
∵∠EFD=45°=∠DBE+∠BDF,
∴∠BDF=45°-∠DBE.
∵∠ADE=∠BDF,
∴∠ADF=90°-∠BDF=45°+∠DBE=∠MBD.
∵BD=AD,
∴△BDM≌△DAF.
∴DM=AF=2DG,∠FAD=∠BDM.
∵∠BDM+∠MDA=90°,
∴∠MDA+∠FAD=90°.
∴∠AHD=90°.
∴AF⊥DG.
∴AF=2DG,且AF⊥DG
【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质,关键在于灵活运用性质.
6．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在CB上，连接AD，EA⊥AD，∠ACE=∠ABD．
（1）求证：AD=AE；
（2）若点F为CD中点，AF交BE于点G，求∠AGE的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）90°．
【详解】（1）证明：∵∠BAC=90°，EA⊥AD，
∴∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
∴AD=AE；
（2）延长AF至M，使FM=AF，连接MC，
在△ADF与△MCF中，
，
∴△ADF≌△MCF（SAS），
∴AD=CM，∠DAF=∠M，
∴AD∥CM，
∴∠ACM+∠DAC=180°，
∵△ABD≌△ACE，
∴AD=AE，
∴AD=AE=CM，
∵∠BAC+∠DAE=180°，
∴∠BAC+∠DAC+∠CAE=180°，
∴∠BAE+∠DAC=180°，
∴∠BAE=∠ACM，
在△ABE和△CAM中，，
∴△ABE≌△CAM（SAS），∴∠ABG=∠CAF，
∵∠CAF+∠BAG=90°，
∴∠ABG+∠BAG=90°，
∴∠AGB=∠AGE=90°．
7．【观察发现】如图①，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围．
小明的解法如下：延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE．
在△ABD与△ECD中
∴△ABD≅△ECD（SAS）
∴AB＝ ．
又∵在△AEC中EC﹣AC＜AE＜EC+AC，而AB＝EC＝7，AC＝5，
∴ ＜AE＜ ．
又∵AE＝2AD．
∴ ＜AD＜ ．
【探索应用】如图②，ABCD，AB＝25，CD＝8，点E为BC的中点，∠DFE＝∠BAE，求DF的长为 ．（直接写答案）
【应用拓展】如图③，∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，AB＝AC，DC＝DE，连接BE，P为BE的中点，求证：AP⊥DP．
【答案】观察发现：EC，2，12，1，6；探索应用：17；应用拓展：见解析
【详解】观察发现
解：如图①，延长AD到点E，使DE=AD，连接CE，
在△ABD与△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB=EC，
在△AEC中，EC-AC＜AE＜EC+AC，而AB=EC=7，AC=5，
∴2＜AE＜12．
又∵AE=2AD，
∴1＜AD＜6，
故答案为：EC，2，12，1，6；
探索应用
解：如图2，延长AE，CD交于H，
∵点E是BC的中点，
∴BE=CE，
∵CD∥AB，
∴∠ABE=∠ECH，∠H=∠BAE，
∴△ABE≌△HCE（AAS），
∴AB=CH=25，
∴DH=CH-CD=17，
∵∠DFE=∠BAE，
∴∠H=∠DFE，
∴DF=DH=17，
故答案为：17；
应用拓展
证明：如图2，延长AP到点F，使PF=AP，连接DF，EF，AD，
在△BPA与△EPF中，
，
∴△BPA≌△EPF（SAS），
∴AB=FE，∠PBA=∠PEF，
∵AC=BC，
∴AC=FE，
在四边形BADE中，∠BAD+∠ADE+∠DEB+∠EBA=360°，
∵∠BAC=60°，∠CDE=120°，
∴∠CAD+∠ADC+∠DEB+∠EBA=180°．
∵∠CAD+∠ADC+∠ACD=180°，
∴∠ACD=∠DEB+∠EBA，
∴∠ACD=∠FED，
在△ACD与△FED中，
，
∴△ACD≌△FED（SAS），
∴AD=FD，
∵AP=FP，
∴AP⊥DP．
8．已知中，
（1）如图1，点E为的中点，连并延长到点F，使，则与的数量关系是________．
（2）如图2，若，点E为边一点，过点C作的垂线交的延长线于点D，连接，若，求证：．
（3）如图3，点D在内部，且满足，，点M在的延长线上，连交的延长线于点N，若点N为的中点，求证：．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析
【详解】证明：（1）
由题意可得：
在和中
∴
∴
（2）过点A引交于点F，如下图：
由题意可得：，且
则
又∵
∴平分，
∴
∴在和中
∴
∴
在和中
∴
∴
（3）证明：过点作交的延长线于点，，在上取一点，使得，连接，如下图：
∵
∴
∵，
∴
∴，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴