专题06 对角互补模型-2023-2024学年七年级数学下册全等三角形的七大模型全攻略（北师大版，成都专用）

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例题精讲
例1．（基本模型）在等边中，点D为的中点，点F在延长线上，点E在射线上，．
（1）如图1，当点E与点B重合时，则与的数量关系是_________；
（2）当点E在线段上时，（1）中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；
（3）如图3，当点E在的延长线上时，，请直接写出的长．
例2．（基本模型2）已知：如图，在等边△ABC中，点O是BC的中点，∠DOE＝120°，∠DOE绕着点O旋转，角的两边与AB相交于点D，与AC相交于点E．
(1)若OD，OE都在BC的上方，如图1，求证：OD＝OE．
(2)在图1中，BD，CE与BC的数量关系是 ．
(3)若点D在AB的延长线上，点E在线段AC上，如图2，直接写出BD，CE与BC的数量关系是 ．
例3．（培优综合）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，且与点B，C不重合，连接AD．作以∠FAD为直角的等腰直角△ADF．
(1)若AB＝AC，∠BAC＝90°
①当点D在线段BC上时，试探讨CF与BD的数量关系和位置关系；
②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由；
(2)若AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC．上，且CF⊥BD时，如图3，试求∠BCA的度数．
【变式训练1】问题发现：如图1，已知为线段上一点，分别以线段，为直角边作等腰直角三角形，，，，连接，，线段，之间的数量关系为______；位置关系为_______．
拓展探究：如图2，把绕点逆时针旋转，线段，交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由．
【变式训练2】已知：，，．
(1)如图1当点在上，______．
(2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的）
【变式训练3】在Rt△ABC中，，，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．
(1)操作发现
如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为______；线段BD、AB、EB的数量关系为______；
(2)猜想论证
当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；
(3)拓展延伸
若，，请你直接写出△ADE的面积．
【变式训练4】在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系．
(1)如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ；
(2)如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（1）问的结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．
(3)如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．
课后训练
1．在中，，且E为边的中点，连接，以为边向上作等边三角形，连接，则的长为_______．
2．如图在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交CB、DC延长线于E、F点且∠EAF＝45°，如果BE＝1，DF＝7，则EF＝__．
3．已知四边形 中，，，，，，将绕点旋转．
(1)当旋转到如图的位置，此时的两边分别交，于，，且，求证：；
(2)当旋转到如图的位置，此时的两边分别交，于，，且时，小颖猜想中的仍然成立，并尝试作出了延长至点，使，连接，请你证明小颖的猜想；
(3)当旋转到如图的位置，此时的两边分别交，于，，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想．
4．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．
(1)当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；
(2)将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），如图②，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
5．已知：在中，于点，．
(1)如图1，的度数为________度．
(2)如图2，点、分别在、上，且，连接、，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，交于点，过点作于点，连接，点在延长线上，连接、，若，判断线段与的数量和位置关系，并证明你的结论．
6.（1）如图1，正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点，EF＝BE+DF，请你直接写出∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系： ．
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，，点E、F分别是边BC、CD上的点，EF＝BE+FD，请问：（1）中结论是否成立？若成立，请证明结论．
（3）若（2）中的点E、点F分别在边CB、CD的延长线上（如图3所示），其他条件不变，则下列两个关于∠EAF与∠BAD的关系式，哪个是正确的？请证明结论．
①∠EAF＝∠BAD；
②2∠EAF+∠BAD＝360°．
7．已知点D是△ABC外一点，连接AD，BD，CD，．
(1)【特例体验】
如图1，AB＝BC，α＝60°，则∠ADB的度数为 ；
(2)【类比探究】
如图2，AB＝BC，求证：∠ADB＝∠BDC；
(3)【拓展迁移】
如图3，α＝60°，∠ACB+∠BCD＝180°，CE⊥BD于点E，AC＝kDE，直接写出的值（用k的代数式表示）．
8．如图1，等边与等边的顶点，，三点在一条直线上，连接交于点，连．
(1)求证：；
(2)求证：平分；
(3)设，若，直接写出a，b，c之间满足的数量关系．
9．四边形是由等边和顶角为的等腰排成，将一个角顶点放在处，将角绕点旋转，该交两边分别交直线、于、，交直线于、两点．
（1）当、都在线段上时（如图1），请证明：；
（2）当点在边的延长线上时（如图2），请你写出线段，和之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）在（1）的条件下，若，，请直接写出的长为 ．