天津市第一百中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份天津市第一百中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．直线的倾斜角是( )
A.B.C.D.
2．设x,,向量,,,且,,则( )
A.B.C.3D.4
3．是直线与平行的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
4．如图,在棱长为1的正方体中,M,N分别为和的中点,那么直线AM与CN夹角的余弦值为( )
A.B.C.D.
5．已知焦点在x轴上的椭圆的焦距为4,则C的离心率( )
A.B.C.D.
6．圆与圆的位置关系是( )
A.内切B.外切C.相交D.外离
7．已知椭圆上一点M到左焦点的距离为,N是的中点,则( ).
A.1B.2C.3D.4
8．已知点在圆外,则直线与圆O的位置关系是( ).
A.相切B.相交C.相离D.不确定
9．若直线与曲线恰有两个交点,则实数k的取值范围是( )
A.B.C.D.
10．已知,是椭圆的左,右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,为等腰三角形,,则C的离心率为( )
A.B.C.D.
二、填空题
11．已知椭圆的一个焦点坐标为,则______.
12．已知点,到直线的距离相等,则实数a的值为___________.
13．若椭圆C:的右焦点为F,且与直线交于P,Q两点,则的周长为_______________.
14．已知三角形的三个顶点,,,则的高CD所在的直线方程是______.
15．如图,在平行六面体中,,,,则的长为______.
16．在棱长为1的正方体中,E为的中点,则点到直线CE的距离为______.
17．已知椭圆的方程为,左,右焦点分别为,,经过点的一条直线与椭圆交于A,B两点.若直线AB的倾斜角为,则弦长AB为______.
18．直线分别与x,y交于A,B两点,点P圆上,则面积的取值范围是________.
三、解答题
19．求满足下列条件的直线方程.
（1）经过点,且斜率等于直线的斜率的2倍;
（2）过点,且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程.
（3）经过点,并且与圆相切的直线方程.
20．如图,四棱锥中,,,E,F分别是SC,SA的中点,O是底面正方形ABCD的中心,.
（1）求证:平面SAD;
（2）求异面直线EO与BF所成角的余弦值.
（3）求点E平面BCF的距离.
21．已知圆心为C的圆经过点和,且圆心在直线,求:
（1）求圆心为C的圆的标准方程:
（2）设点在圆C内,过点P的最长弦和最短弦分别为AC和BD,求四边形ABCD的面积:
（3）若过点的直线被圆C所截得弦长为8,求该直线的方程.
22．如图,在四棱锥中,平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,其中,,,,E为棱BC上的点,且.
（1）求证:平面PAC;
（2）求二面角的正弦值;
（3）设Q为棱CP上的点(不与C,P重合),且直线QE与平面PAC所成角的正弦值为,求的值.
参考答案
1．答案：C
解析:已知直线的斜率为,因此倾斜角为.
故选:C.
2．答案：C
解析:由题意,向量,,,
因为,可得,解得,即,
又因,可得,解得,即,
可得,所以.
故选:C.
3．答案：A
解析:因直线与平行,
由题得,
所以或,经检验均满足题意,
所以或.
当时,直线与平行,
所以是直线与平行的充分条件;
当直线与平行时,不一定成立,
所以是直线与平行的非必要条件.
故选:A
4．答案：D
解析:建立如图所示空间直角坐标系:
则,,,,
所以,,
所以,
故选:D
5．答案：C
解析:由题得,,.
所以椭圆的离心率为.
故选:C
6．答案：A
解析:由,得,
所以圆的圆心,半径,
由,得,
所以圆的圆心,半径,
所以,
所以两圆内切,
故选:A
7．答案：A
解析:由椭圆方程得,,,即,,,
因为由椭圆的定义得,,
所以,
因为N是的中点,O是的中点,
所以.
故选:A
8．答案：B
解析:点在圆外,,
圆心O到直线距离,
直线与圆O相交.
故选B.
9．答案：A
解析:如图,直线恒过点,曲线表示出以为圆心,2为半径的右半圆,
设直线与半圆相切于点C,则
,解得(舍去)或,
所以,
因为,,所以,
因为直线与曲线恰有两个交点,
所以,
所以,
故选:A
10．答案：D
解析:分析:先根据条件得,再利用正弦定理得a,c关系,即得离心率.
解析:因为为等腰三角形,,所以,
由AP斜率为得,,,,
由正弦定理得,
所以,
,,
故选D.
11．答案：1
解析:由已知知椭圆的焦点在y轴上,且半焦距,则,解得.
故答案为:1.
12．答案：或
解析:,到直线的距离相等,
,
解得或.
故答案为:或.
13．答案：
解析:由题得椭圆C的左焦点,
所以直线经过左焦点,
的周长,
故答案为:.
14．答案：
解析:因为,,故,
故AB边上的高CD所在的直线的斜率为,所以该直线的方程为,即
故答案为:.
15．答案：2
解析:,
又:,,,
.
故答案为:2.
16．答案：
解析:正方体中,平面ABCD,,
又,,则到直线CE的距离为.
故答案为:
17．答案：
解析:由椭圆的方程可知左焦点,若直线的倾斜角为,则直线的斜率,
故直线AB的方程为,
联立方程组,消去x整理得,设,,
由韦达定理可知,,则由弦长公式得
,
弦长.
故答案为:
18．答案：
解析:由题意得:,
由圆知:圆心,半径
圆心到直线距离
到直线距离,即
故答案为:
19．答案：（1）;
（2）或;
（3）或
解析:（1）直线的斜率为,故所求直线为;
（2）i.当截距都为0时,所求直线为.
ii.当截距不为0时,设为,代入得,故所求直线为;
（3）圆方程配方为,圆心为,半径,代入易得该点不在圆上,
i.当切线斜率不存在时,即,与圆相切,符合题意;
ii.当切线斜率存在时,设为,由相切得,故所求切线为
20．答案：（1）证明见解析.
（2）.
（3）.
解析:（1）因为底面ABCD是正方形,所以O是AC中点,
又因为E是SC中点,所以,
因为平面SAD,平面SAD,所以平面SAD.
（2）因为,,且正方形,,
所以DS,DA,DC两两垂直,以D为坐标原点,DA为x轴,DC为y轴,DS为z轴建立如图所示空间直角坐标系,
则,,,,,,
所以,,
所以,
故异面直线EO与BF所成角的余弦值为.
（3）设平面的法向量,由（2）得,,,
由解得,
所以,
所以点E平面BCF的距离.
21．答案：（1）;
（2）;
（3）或
解析:（1）圆心在直线l上,则,则有,解得,
故圆心为,半径,故圆心为C的圆的标准方程为;
（2）由圆的性质,过点P的最长弦过圆心,即为直径,.
最短弦BD垂直于AC,,由垂径定理得,
故四边形ABCD的面积为;
（3）i.过点的直线斜率不存在,为,此时被圆C所截得弦长为,符合题意;
ii.过点的直线斜率存在,设为,直线被圆C所截得弦长为8,故圆心到直线的距离为,即,
故该直线的方程为.
综上,直线的方程为或
22．答案：（1）证明见解析;
（2）;
（3）.
解析:（1）因为平面ABCD,平面ABCD,平面ABCD,
所以,,又因为,
则以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
由已知可得,,,,,,
所以,,,
因为,,所以,,
又,平面PAC,平面PAC,
所以平面PAC.
（2）由（1）可知平面PAC,
可作为平面PAC的法向量,
设平面PCD的法向量
因为,.
所以,即,
不妨设,得.
,
又由图示知二面角为锐角,
所以二面角的正弦值为.
（3）设,即,,
所以,即,
因为直线QE与平面PAC所成角的正弦值为,
所以,
即,解得,即.