34空间点、直线、平面之间的位置关系 专项训练—2024届艺术班高考数学一轮复习（文字版 含答案）

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A．点A B．点B
C．点C但不过点M D．点C和点M
答案：D
2．(2023·郑州模拟)如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且α∥β，则a与b的位置关系为( )
A．共面B．平行
C．异面 D．平行或异面
解析：选D 因为直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且α∥β，所以直线a与b的位置关系为：平行或异面，故选：D．
3．(2023·北京模拟)空间中有平面α和直线a，b，若a∥α，a∥b，则下列说法中一定错误的是( )
A．直线b平行于平面α
B．直线b在平面α内
C．直线b与平面α交于一点
D．直线a和b共面
解析：选C 因为a∥α，a∥b，所以b与平面α平行或直线b在平面α内，AB正确，C错误；因为a∥b，所以直线a和b共面，D正确．故选：C．
4．已知四个命题：
①三点确定一个平面；
②若点P不在平面α内，A、B、C三点都在平面α内，则P，A，B，C四点不在同一平面内；
③两两相交的三条直线在同一平面内；
④两组对边分别相等的四边形是平行四边形．其中正确命题的个数是( )
A．0B．1
C．2 D．3
答案：A
5．
(2023·山西晋中一模)如图所示，圆柱的轴截面是正方形ABCD，母线BC＝4，若点E是母线BC的中点，F是eq \(AB,\s\up8(︵))的中点，则下列说法正确的是( )
A．EF∥AC
B．点F到平面ABCD的距离为2
C．BF⊥AC
D．BF与平面ABCD所成的角的大小为eq \f(π,3)
解析：选B 如图所示，设O是AB的中点，连接OE，OF，在正方形ABCD中，BC＝4，可得OB＝2，在△ABC中，可得OE∥AC，则EF与AC不平行， A错误；
因为F是eq \(AB,\s\up8(︵))的中点，所以OF⊥平面ABCD，所以点F到平面ABCD的距离为2, B正确；
∠ABF是BF与平面ABCD所成的角，因为OF⊥OB，且OF＝OB，∠ABF＝eq \f(π,4)，D错误；BF与AB不垂直，因此也推不出BF⊥AC，C错误．故选B．
6．下列命题正确的个数为( )
①经过三点确定一个平面；
②梯形可以确定一个平面；
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
A．0B．1
C．2 D．3
解析：选C ①④错误，②③正确．
7．(多选)(2023·长沙模拟)若正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则下列命题正确的是( )
A．直线BC与平面ABC1D1所成的角为eq \f(π,4)
B．点C到平面ABC1D1的距离为eq \f(\r(2),2)
C．异面直线D1C和BC1所成的角为eq \f(π,4)
D．三棱柱AA1D1BB1C1外接球半径为eq \f(\r(3),2)
解析：选ABD 对选项A，如图所示：
连接B1C，交BC1于O点．
因为正方体ABCDA1B1C1D1，
所以四边形BCC1B1为正方形，CO⊥BC1．
又因为AB⊥平面BCC1B1，CO⊂平面BCC1B1，所以AB⊥CO．eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB⊥CO,CO⊥BC1,AB∩BC1＝B))⇒CO⊥平面ABC1D1．
所以∠CBO为直线BC与平面ABC1D1所成的角，
又因为∠CBO＝eq \f(π,4)，故选项A正确．
对选项B，由上知：CO⊥平面ABC1D1，
所以CO为点C到面ABC1D1的距离．
又因为正方体边长为1，所以CO＝eq \f(\r(2),2)，故选项B正确．
对选项C，如图所示：
连接D1C，A1B，A1C1．
因为D1C∥A1B，所以∠A1BC为异面直线D1C和BC1所成的角．又因为A1B＝BC1＝A1C1＝eq \r(2)，所以∠A1BC1＝eq \f(π,3)，故选项C错误．对选项D，因为三棱柱AA1D1BC1C1的外接球与正方体ABCDA1B1C1D1
的外接球相同，设外接球半径为R，R＝eq \f(\r(12＋12＋12),2)＝eq \f(\r(3),2)，故选项D正确．
8．(2023·杭州期中)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值是( )
A．0 B．eq \f(1,2)
C．eq \f(3\r(10),10)D．eq \f(\r(10),10)
解析：选D 取A1B1的中点F，连接A1C1，EF，DF，
因为AA1∥CC1，且AA1＝CC1，则AA1C1C为平行四边形，可得AC∥A1C1，
又因为E，F分别为C1D1，A1D1的中点，则EF∥A1C1，
所以EF∥AC，
故异面直线DE与AC所成角为∠DEF(或∠DEF的补角)．
设正方体的棱长为2，
则DE＝DF＝eq \r(5)，EF＝eq \r(2)，
在△DEF中，由余弦定理cs∠DEF＝eq \f(DE2＋EF2－DF2,2DE·DF)＝eq \f(5＋2－5,2×\r(5)×\r(2))＝eq \f(\r(10),10)，
所以异面直线DE与AC所成角的余弦值是eq \f(\r(10),10)．故选：D．
9．(2023·凉山三模)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是棱CC1的中点，则异面直线BM与AC所成角的余弦值为( )
A．eq \f(\r(10),10) B．eq \f(3\r(10),10)
C．eq \f(\r(10),5)D．eq \f(\r(15),5)
解析：选C 取DD1的中点N，连AN，MN，CN，
则MN∥AB，MN＝AB，所以四边形ABMN是平行四边形，
所以AN∥BM，所以∠NAC(或其补角)是异面直线BM与AC所成的角，
设正方体的棱长为1，则AC＝eq \r(2)，AN＝CN＝eq \f(\r(5),2)，
则cs∠NAC＝eq \f(\f(1,2)AC,AN)＝eq \f(\f(\r(2),2),\f(\r(5),2))＝eq \f(\r(10),5)．
所以异面直线BM与AC所成角的余弦值为eq \f(\r(10),5)．故选：C．
10．
如图，三棱锥ABCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．
解析：如图，连接DN，取DN中点P，连接PM，PC，
则可知∠PMC即为异面直线AN，CM所成角(或其补角)．易得PM＝eq \f(1,2)AN＝eq \r(2)，
PC＝eq \r(PN2＋CN2)＝eq \r(2＋1)＝eq \r(3)，CM＝eq \r(AC2－AM2)＝2eq \r(2)，
∴cs∠PMC＝eq \f(8＋2－3,2×2\r(2)×\r(2))＝eq \f(7,8)，即异面直线AN，CM所成角的余弦值为eq \f(7,8)．
答案：eq \f(7,8)
11．(2023·镇江调研)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱AA1，A1D1的中点分别为E，F，则异面直线EF与B1C所成角的度数为________．
解析：因为棱AA1，A1D1的中点分别为E，F，所以EF∥AD1，
因为AB∥CD∥C1D1且AB＝CD＝C1D1，所以四边形ABC1D1是平行四边形，
所以BC1∥AD1，则BC1∥EF．
因为四边形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥B1C，则EF⊥B1C．
所以异面直线EF与B1C所成角的度数为90°．
答案：90°
12．
如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．
解析：取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，
因为C是圆柱下底面弧AB的中点，
所以AD∥BC，
所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，
所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD，
因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，
所以C1D＝eq \r(2)AD，
所以直线AC1与AD所成角的正切值为eq \r(2)，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为eq \r(2)．
答案：eq \r(2)