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    39两条直线的位置关系 点到直线的距离 专项训练—2024届艺术班高考数学一轮复习(文字版 含答案)

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    A.平行 B.垂直
    C.相交但不垂直 D.不能确定
    解析:选C 直线2x+y+m=0的斜率k1=-2,直线x+2y+n=0的斜率k2=-eq \f(1,2),则k1≠k2,且k1k2≠-1.
    2.(2023·上海高三联考)已知直线l1:x+ay-2=0,l2:(a+1)x-ay+1=0,则a=-2是l1∥l2的( )
    A.充分不必要条件
    B.必要不充分条件
    C.充要条件
    D.既不充分也不必要条件
    解析:选A 当l1∥l2时,-a=aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a+1)),解得a=0或a=-2,
    当a=-2时,直线l1:x-2y-2=0,l2:-x+2y+1=0,此时两直线不重合,
    当a=0时,直线l1:x-2=0,l2:x+1=0,此时两直线不重合,
    即a=0或a=-2时,l1∥l2,
    故a=-2是l1∥l2的充分不必要条件.
    3.(2023·重庆模拟)两条平行线3x+4y-12=0与ax+8y+11=0之间的距离为( )
    A.eq \f(22,5) B.eq \f(23,10)
    C.7D.eq \f(7,2)
    解析:选D 因为3x+4y-12=0与ax+8y+11=0平行,所以eq \f(a,3)=eq \f(8,4)≠eq \f(11,-12),解得a=6,所以直线ax+8y+11=0
    即为6x+8y+11=0,又3x+4y-12=0为6x+8y-24=0,
    所以6x+8y+11=0与6x+8y-24=0的距离d=eq \f(|-24-11|,\r(62+82))=eq \f(7,2).故选:D.
    4.过两直线x-eq \r(3)y+1=0和eq \r(3)x+y-eq \r(3)=0的交点,并与原点的距离等于1的直线有( )
    A.0条B.1条
    C.2条 D.3条
    解析:选B 由题意得两直线的交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),\f(\r(3),2))),故该点与原点的距离为1,则符合题意的直线只有1条.
    5.(2023·北京海淀二模)已知直线l:x+ay+2=0,点A(-1,-1)和点B(2,2),若l∥AB,则实数a的值为( )
    A.1B.-1
    C.2 D.-2
    解析:选B kAB=eq \f(2+1,2+1)=1,由于l∥AB,则直线l的斜率为1,即-eq \f(1,a)=1,a=-1.
    故选B.
    6.已知直线l1的方程为:x+ay-2=0,直线l2的方程为:2x-y+1=0,若l1⊥l2,则直线l1与l2的交点坐标为( )
    A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(4,3),-\f(5,3)))B.(0,1)
    C.(2,5)D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4),\f(5,2)))
    解析:选B 因为直线l1的方程为:x+ay-2=0,直线l2的方程为:2x-y+1=0,且l1⊥l2,
    所以2-a=0,解得a=2
    所以直线l1的方程为x+2y-2=0,
    eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x+2y-2=0,,2x-y+1=0,))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x=0,,y=1,))
    所以直线l1与l2的交点坐标为(0,1),故选B.
    7.(2023·海口模拟)设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(1,8))),若函数y=ax2(a>0)图象上任意一点P(x0,y0)满足|PA|=y0+eq \f(1,8),则a=( )
    A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2)
    C.2 D.4
    解析:选C 因为点P(x0,y0)在函数y=ax2(a>0)图象上,则y0=axeq \\al(2,0)≥0,即xeq \\al(2,0)=eq \f(y0,a),
    又因为|PA|=eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0-0))\s\up12(2)+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y0-\f(1,8)))\s\up12(2))=y0+eq \f(1,8),则xeq \\al(2,0)+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y0-\f(1,8)))eq \s\up12(2)=eq \f(y0,a)+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y0-\f(1,8)))eq \s\up12(2)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y0+\f(1,8)))eq \s\up12(2),
    整理得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a-2))y0=0,
    由于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a-2))y0=0对y0恒成立,则a-2=0,解得a=2.故选:C.
    8.过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3,0))作一条直线l,它夹在两条直线l1:2x-y-2=0和l2:x+y+3=0之间的线段恰被点P平分,则直线l的方程为( )
    A.8x+y-24=0B.8x-y-24=0
    C.8x+y+24=0 D.x+8y+24=0
    解析:选B 如果直线斜率不存在时,直线方程为:x=3,不符合题意;
    所以直线斜率存在设为k,
    则直线l方程为y=keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-3)),
    联立直线l1得: eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y=k(x-3),,2x-y-2=0))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x=\f(3k-2,k-2),,y=\f(4k,k-2).))
    联立直线l2得:eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y=k(x-3),,x+y+3=0))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x=\f(3k-3,k+1),,y=\f(-6k,k+1).))
    所以直线l与直线l1,直线l2的交点为:
    eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3k-2,k-2),\f(4k,k-2))),eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3k-3,k+1),\f(-6k,k+1))),
    又直线l夹在两条直线l1和l2之间的线段恰被点P平分,
    所以eq \f(3k-2,k-2)+eq \f(3k-3,k+1)=6,eq \f(4k,k-2)+eq \f(-6k,k+1)=0,
    解得k=8,
    所以直线l的方程为8x-y-24=0,故选:B.
    9.点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为__________.
    解析:直线y=k(x+1)恒过点A(-1,0),
    则点(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离的最大值为点(-1,0)到点A的距离,
    ∴点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为:d=eq \r((0+1)2+(-1-0)2)=eq \r(2).
    答案:eq \r(2)
    10.(2023·保定质检)已知l1,l2是分别经过A(1,1),B(0,-1)两点的两条平行直线,当l1,l2间的距离最大时,直线l1的方程是________.
    解析:当直线AB与l1,l2垂直时,l1,l2间的距离最大.因为A(1,1),B(0,-1),所以kAB=eq \f(-1-1,0-1)=2,所以两平行直线的斜率为k=-eq \f(1,2),所以直线l1的方程是y-1=-eq \f(1,2)(x-1),即x+2y-3=0.
    答案:x+2y-3=0
    11.直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程是________.
    解析:设所求直线上任意一点P(x,y),
    则P关于x-y+2=0的对称点为P′(x0,y0),
    由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x+x0,2)-\f(y+y0,2)+2=0,,x-x0=-(y-y0),))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0=y-2,,y0=x+2))
    由点P′(x0,y0)在直线2x-y+3=0上,
    ∴2(y-2)-(x+2)+3=0,
    即x-2y+3=0.
    答案:x-2y+3=0
    12.若直线m被两平行线l1:eq \r(3)x-y+1=0与l2:eq \r(3)x-y+3=0所截得的线段的长为2,则直线m的倾斜角为______.
    解析:设直线m与两平行线l1,l2的交点分别为C,A,过A点作l1的垂线,垂足为B,如图,
    两平行线间的距离d=eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1-3)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\r(3)))\s\up12(2)+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-1))\s\up12(2)))=1,则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))=1,又eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AC))=2,
    所以直线m与两平行线的夹角θ满足sin θ=eq \f(1,2),则θ=30°,
    因为两平行线斜率为eq \r(3),所以倾斜角为60°,
    所以直线m的倾斜角为30°或90°.
    答案:30°或90°

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