44抛物线 专项训练—2024届艺术班高考数学一轮复习（文字版 含答案）

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A．y2＝4eq \r(13)xB．y2＝－4eq \r(13)x
C．y2＝8x D．y2＝－8x
答案：D
2．(2023·大连模拟)过抛物线C：y2＝2px焦点F的直线与C交于A，B两点，过点B向抛物线C的准线作垂线，垂足为Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－1))，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝( )
A．eq \f(17,4) B．eq \f(25,4)
C．18 D．20
解析：选B 依题意抛物线的准线为x＝－1，即－eq \f(p,2)＝－1，解得p＝2，
所以抛物线方程为y2＝4x，则焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0))，又yB＝－1，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1))eq \s\up12(2)＝4xB，解得xB＝eq \f(1,4)，所以Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，－1))，
所以kBF＝eq \f(－1,\f(1,4)－1)＝eq \f(4,3)，所以直线AB的方程为y＝eq \f(4,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1))，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝4x,y＝\f(4,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1))))，消去y整理得4x2－17x＋4＝0，解得x1＝eq \f(1,4)，x2＝4，
即xA＝4，
所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝xA＋xB＋p＝eq \f(1,4)＋4＋2＝eq \f(25,4)．
3．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若eq \(FP,\s\up6(→))＝3eq \(FQ,\s\up6(→))，则|QF|＝( )
A．eq \f(7,2)B．2
C．eq \f(5,2)D．eq \f(8,3)
解析：选D F(2，0)，设P(－2，t)，Q(x0，y0)，
eq \(FP,\s\up6(→))＝3eq \(FQ,\s\up6(→))，则－4＝3(x0－2)，得x0＝eq \f(2,3)，
由抛物线定义得|QF|＝eq \f(2,3)＋2＝eq \f(8,3)，故选D．
4．(2023·陕西咸阳模拟)若F是抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，P是抛物线C上任意一点，PF的最小值为1，且A，B是抛物线C上两点，线段AB的中点到y轴的距离为2, 则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF))＝( )
A．3B．4
C．5 D．6
解析：选D
由条件可得Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，设P(x0，y0)(x0≥0)，
则PF2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－\f(p,2)))eq \s\up12(2)＋2px0＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0＋\f(p,2)))eq \s\up12(2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)))eq \s\up12(2)，当x0＝0时取得等号，
所以(eq \f(p,2))＝1，解得：p＝2，
所以抛物线C方程为y2＝4x．
如图所示，
设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，y1))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2，y2))，
因为AB的中点到y轴的距离为2，
所以x1＋x2＝4，
所以由抛物线的定义可知eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF))＝p＋x1＋x2＝6．故选：D．
5．已知抛物线y2＝2px(p＜0)交双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线于A，B两点(异于坐标原点)，双曲线的离心率为eq \r(2)，△AOB的面积为64，则抛物线的焦点坐标为( )
A．(2，0)B．(－2，0)
C．(4，0) D．(－4，0)
解析：选B 因为双曲线的离心率为eq \r(2)，故eq \f(c,a)＝eq \r(2)，其中c为半焦距，故eq \f(a2＋b2,a2)＝2即a＝b，故渐近线的方程为：y＝±x，由抛物线、双曲线的对称性可设A(m，－m)，B(m，m)(m＜0)，故S△OAB＝eq \f(1,2)|2m|×|m|＝m2＝64，故m＝－8，所以A(－8，8)，所以82＝－16p，故p＝－4，即抛物线的方程为y2＝－8x，故焦点坐标为(－2，0)．故选B．
6．(2023·石家庄模拟)已知P(x0，2)为抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，点P到抛物线C的焦点的距离与它到y轴的距离之比为3∶2，则p＝( )
A．eq \r(2)B．2
C．2eq \r(2) D．3
解析：选A 由题意知：抛物线的准线为x＝－eq \f(p,2)，则P到抛物线C的焦点的距离为x0＋eq \f(p,2)，P到y轴的距离为x0，故eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0＋\f(p,2)))∶x0＝3∶2，又4＝2px0，解得p＝eq \r(2)．故选A．
7．(2023·西安期末)设经过点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，0))的直线与抛物线y2＝12x相交于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为9，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝( )
A．18B．24
C．30 D．36
解析：选B 因为经过点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，0))的直线与抛物线y2＝12x相交于A，B两点，
所以该直线的斜率不等于0，所以可假设直线方程为x＝ty＋3，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝12x，,x＝ty＋3，))整理得y2－12ty－36＝0，
所以y1＋y2＝12t，y1y2＝－36，
所以x1＋x2＝teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y1＋y2))＋6＝12t2＋6，
因为线段AB中点的横坐标为9，
所以x1＋x2＝12t2＋6＝18，所以t＝±1，
所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝eq \r(1＋t2)·eq \r(（y1＋y2）2－4y1y2)＝eq \r(2)×12eq \r(2)＝24，故选：B．
8．(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，斜率为eq \r(3)且经过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝4，则以下结论正确的是( )
A．p＝2B．F为AD的中点
C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝2
解析：选ABC 如图，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，直线l的斜率为eq \r(3)，则直线l的方程为y＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝2px，,y＝\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，))
得12x2－20px＋3p2＝0．
解得xA＝eq \f(3,2)p，xB＝eq \f(1,6)p，
由|AF|＝eq \f(3,2)p＋eq \f(p,2)＝2p＝4，得p＝2．
∴抛物线方程为y2＝4x．
xB＝eq \f(1,6)p＝eq \f(1,3)，则|BF|＝eq \f(1,3)＋1＝eq \f(4,3)．
|BD|＝eq \f(|BF|,cs 60°)＝eq \f(\f(4,3),\f(1,2))＝eq \f(8,3)，
∴|BD|＝2|BF|，
|BD|＋|BF|＝eq \f(8,3)＋eq \f(4,3)＝4，则F为AD的中点．故选ABC．
9．设F为抛物线y2＝8x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(FA))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(FB))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(FC))＝_________．
解析：设三角形的三个顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
由条件可知，p＝4，F(2，0)，
根据三角形的重心坐标公式，可得eq \f(x1＋x2＋x3,3)＝2，所以x1＋x2＋x3＝6，
根据抛物线的定义，可得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(FA))＝x1＋eq \f(p,2)，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(FB))＝x2＋eq \f(p,2)，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(FC))＝x3＋eq \f(p,2)，
所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(FA))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(FB))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(FC))＝x1＋x2＋x3＋eq \f(3p,2)＝12．
答案：12
10．抛物线有一条重要的光学性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线C：y2＝2x，一条光线从点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，2))沿平行于x轴的方向射出，与抛物线相交于点M，经点M反射后与C交于另一点N，则△MON的面积为________．
解析：如图，依题意，由抛物线的光学性质知直线MN过焦点．而Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，2))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，
则lMN：4x－3y－2＝0．
设Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0，y0))，y0<0．
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x－3y－2＝0，,y2＝2x，))得2y2－3y－2＝0．
所以y0＝－eq \f(1,2)，x0＝eq \f(1,8)．
则S△MON＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(OF))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2－y0))＝eq \f(5,8)．
答案：eq \f(5,8)
11．在平面直角坐标系xOy中，点M(0，1)，记动点P到直线l：y＝－2的距离为d，且d＝|PM|＋1，设点P的轨迹为曲线E．
(1)求曲线E的方程；
(2)直线m交曲线E于A，B两点，曲线E在点A及点B处的切线相交于点C．设点C到直线l的距离为h，若△ABC的面积为4，求证：存在定点T，使得eq \f(|CT|,h)恒为定值．
解：(1)由题意可知P到定点M的距离与P到直线y＝－1的距离相等，
∴P的轨迹是抛物线且eq \f(p,2)＝1，p＝2，曲线E的方程为x2＝4y．
(2)设直线m的方程为y＝kx＋m，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，\f(xeq \\al(2,1),4)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2，\f(yeq \\al(2,2),4)))，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,x2＝4y))⇒x2－4kx－4m＝0，Δ＝16k2＋16m＞0．
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝4k，,x1x2＝－4m.))由y＝eq \f(1,4)x2，得y′＝eq \f(1,2)x，
∴切线AC的方程为
y＝eq \f(x1,2)(x－x1)＋eq \f(xeq \\al(2,1),4)＝eq \f(x1,2)x－eq \f(xeq \\al(2,1),4)， ①
BC的方程为y＝eq \f(x2,2)x－eq \f(xeq \\al(2,2),4)． ②
联立①②得
eq \f(x1－x2,2)x＝eq \f(（x1＋x2）（x1－x2）,4)，
∴xC＝eq \f(x1＋x2,2)＝2k，yC＝eq \f(x1,2)·eq \f(x1＋x2,2)－eq \f(xeq \\al(2,1),4)＝eq \f(x1·x2,4)＝－m，即C(2k，－m)．
设AB的中点为N(x0，y0)，
∴x0＝eq \f(x1＋x2,2)＝2k，
∴CN⊥x轴
N(2k，2k2＋m)，C(2k，－m)，CN＝2k2＋2m，|x1－x2|＝4 eq \r(k2＋m)，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)·2(k2＋m)·4 eq \r(k2＋m)＝4，(k2＋m)eq \s\up6(\f(3,2))＝1⇒k2＋m＝1，
∴h＝2－m，存在定点T(0，0)使得eq \f(|CT|,h)＝eq \f(\r(4k2＋m2),2－m)＝eq \f(\r(4（1－m）＋m2),2－m)＝eq \f(2－m,2－m)＝1．
12．(2023·盐城期末)已知直线l与抛物线C：x2＝4y交于A，B两点．
(1)若直线l过抛物线C的焦点，线段AB中点的纵坐标为2，求AB的长；
(2)若直线l经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，2))，求eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))的值．
解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB中点设为(x0，2)，则y1＋y2＝4，
由题意，抛物线C的焦点为(0，1)，p＝2，
根据抛物线的定义得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝y1＋eq \f(p,2)＋y2＋eq \f(p,2)＝y1＋y2＋p＝4＋2＝6．
(2)当直线l斜率不存在时，l：x＝0，与抛物线只有一个交点，不符合题意．
所以直线l斜率必存在，设为y＝kx＋2，
与抛物线联立得：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＝4y，,y＝kx＋2，))x2－4kx－8＝0，得x1x2＝－8，
所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋eq \f(xeq \\al(2,1)xeq \\al(2,2),16)＝－8＋eq \f(64,16)＝－4．