47变量间的相关关系 专项训练—2024届艺术班高考数学一轮复习（文字版 含答案）

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A．k越大，“X与Y有关系”可信程度越小
B．k越小，“X与Y有关系”可信程度越小
C．k越接近于0，“X与Y无关”程度越小
D．k越大，“X与Y无关”程度越大
答案：B
2．下对于两个变量x和y进行回归分析，得到一组样本数据：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，y1))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2，y2))，…，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xn，yn))，则下列说法正确的是( )
①由样本数据得到的回归直线eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))必经过样本点中心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(x,\s\up6(－))，\(y,\s\up6(－))))；
②用R2来刻画回归效果，R2的值越小，说明模型的拟合效果越好；
③残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；
④用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱时，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(r))越接近于1，相关性越弱．
A．①② B．①③④
C．①②③ D．①③
解析：选D 由题意得：
样本中心点在回归直线上，故①正确；
R2越大拟合效果越好，故②不正确；
残差平方和越小的模型，拟合效果越好，故③正确；
用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱时，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(r))越接近于1，相关性越强，故④不正确．故选：D．
3．(2023·云南二测)下表提供了某工厂节能降耗技术改造后，一种产品的产量x(单位：吨)与相应的生产能耗y(单位：吨)的几组对应数据：
根据上表提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝0．7x＋0．35，那么表格中t的值为( )
A．3．5B．3．25
C．3．15 D．3
解析：选D ∵线性回归方程过点(x，y)，
又由题中表格可知x＝4．5，
∴y＝0．7×4．5＋0．35＝3．5．
又∵y＝eq \f(2.5＋t＋4＋4.5,4)＝eq \f(11＋t,4)＝3．5，
∴t＝3．故选D．
4．根据一组样本数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，x6)的散点图判断，变量y关于变量x的回归方程为y＝bx2－eq \f(1,3)，经计算i=16xi=11，i=16yi=13，i=16xi2=21，则b的值为( )
A．eq \f(5,6) B．eq \f(5,7)
C．eq \f(15,11)D．eq \f(90,121)
解析：选B 记ti＝xeq \\al(2,i)，则＝21，
回归方程式y＝bt－eq \f(1,3)，则eq \f(13,6)＝eq \f(7,2)b－eq \f(1,3)，解得b＝eq \f(5,7)．故选B．
5．(2023·内蒙古赤峰阶段测试)某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验．经计算K2＝6．058，则所得到的统计学结论是：有______的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”．( )
A．0．025%B．1%
C．97．5% D．99%
解析：选C 因为K2＝6．058，对照表格：5．024<6．058<6．635，
因为1－0．025＝0．975＝97．5%，
所以有把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”．故选：C．
6．某产品的研发投入费用x(单位：万元)与销售量y(单位：万件)之间的对应数据如下表所示：
根据表中的数据可得回归直线方程eq \(y,\s\up6(^))＝2．27x－eq \(a,\s\up6(^))，相关系数R2≈0．96，以下说法正确的是( )
A．第四个样本点对应的残差eq \(e,\s\up6(^))4＝－1，回归模型的拟合效果一般
B．第四个样本点对应的残差eq \(e,\s\up6(^))4＝1，回归模型的拟合效果较好
C．销售量y的多少有96%是由研发投入费用引起的
D．销售量y的多少有4%是由研发投入费用引起的
解析：选C 因为x＝eq \f(2.2＋2.6＋4.3＋5＋5.9,5)＝4，y＝eq \f(3.8＋5.4＋7＋10.35＋12.2,5)＝7．75，
所以2．27×4－eq \(a,\s\up6(^))＝7．75，解得eq \(a,\s\up6(^))＝1．33，
所以eq \(y,\s\up6(^))＝2．27x－1．33，eq \(e,\s\up6(^))4＝10．35－(2．27×5－1．33)＝－0．33，故A，B错误；因为R2≈0．96，所以销售量的多少有96%是由研发投入费用引起的，C正确，D错误．故选C．
7．(多选)(2023·汕头模拟)5G技术的运营不仅提高了网络传输速度，更拓宽了网络资源的服务范围．目前，我国加速了5G技术的融合与创新，前景美好．某手机商城统计了5个月的5G手机销量，如表所示：
若y与x线性相关，由上表数据求得线性回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝44x＋10，则下列说法正确的是( )
A．5G手机的销量逐月增加，平均每个月增加约10台
B．a＝142
C．y与x正相关
D．预计12月份该手机商城的5G手机销量约为318部
解析：选CD 线性回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝44x＋10，5G手机的销量逐月增加，平均每个月增加约44台，所以A不正确；根据表中数据，可得eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3, ∴eq \(y,\s\up6(－))＝44×3＋10＝142．于是，52＋95＋a＋185＋227＝142×5＝710，即a＝151，故B不正确；由回归方程中x的系数大于0，可知y与x正相关，且相关系数r>0，故C正确；12月份时，x＝7，eq \(y,\s\up6(^))＝44×7＋5＝318部，故D正确．
8．(2023·榆林三模)若由一个2×2列联表中的数据计算得χ2＝3eq \r(2)，则( )
A．能有95%的把握认为这两个变量有关系
B．能有95%的把握认为这两个变量没有关系
C．能有97．5%的把握认为这两个变量有关系
D．能有97．5%的把握认为这两个变量没有关系
解析：选A 因为3．841<3eq \r(2)<5．024，所以能有95%的把握认为这两个变量有关系．
故选：A．
9．某驾驶员培训学校为对比了解“科目二”的培训过程采用大密度集中培训与周末分散培训两种方式的效果，调查了105名学员，统计结果为：接受大密度集中培训的55个学员中有45名学员一次考试通过，接受周末分散培训的学员一次考试通过的有30个．根据统计结果，认为“能否一次考试通过与是否集中培训有关”犯错误的概率不超过________．
附：χ2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)．
解析：2×2列联表如下：
∴χ2＝eq \f(105×（45×20－30×10）2,75×30×50×55)＝6．109＞5．024，
∴认为“能否一次考试通过与是否集中培训有关”犯错误的概率不超过0．025．
答案：0．025
10．(2023·江西景德镇期中)为了判断某高中学生选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如图所示的2×2列联表：已知Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(χ2≥3.841))≈0．05，P(χ2≥6．635)≈0．01．则认为选修文科与性别有关系出错的概率约为______．
解析：因为χ2＝eq \f(50×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(13×20－10×7))\s\up12(2),20×30×23×27)≈4．844，则Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(χ2≥3.841))≈0．05，
所以，认为选修文科与性别有关系出错的概率约为0．05．
答案：0．05
11．已知一组成对数据(18，24) ，(13，34) ，(10，38) ，(－1，m)的回归方程为y＝－2x＋59．5，则该组数据的相关系数r＝__________(精确到0．001)．
解析：由条件可得，
eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(18＋13＋10－1,4)＝10，
eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(24＋34＋38＋m,4)＝eq \f(96＋m,4)，
(eq \(x,\s\up6(－))，eq \(y,\s\up6(－)))一定在回归方程y＝－2x＋59．5上，代入解得m＝62，
eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(96＋62,4)＝eq \f(79,2)，
＝eq \f(1192－4×10×\f(79,2),\r(（594－4×100）×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(7020－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(79,2)))\s\up12(2)))))
≈－0．998．
答案：－0．998
12．(2023·榆林三模)根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量 (百千克)与某种液体肥料每亩使用量 (千克)之间的对应数据的散点图，如图所示．
(1)依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数r并加以说明(若r>0．75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)；
(2)求y关于x的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少？
附：相关系数公式
r=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1n(xi−x)2i=1n(yi−y)2=i=1nxiyi−nx yi=1nxi2−nx2i=1nyi2−ny2
，回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
解：(1)因为x＝eq \f(2＋4＋5＋6＋8,5)＝5，
y＝eq \f(3＋4＋5＋6＋7,5)＝5．
∵r＝eq \f(14,\r(20)×\r(10))＝eq \f(7\r(2),10)>0．75．
∴可用线性回归模型拟合y与x的关系；
当x＝12时，eq \(y,\s\up6(^))＝0．7×12＋1．5＝9．9．
∴预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为9．9百千克．x
3
4
5
6
y
2．5
t
4
4．5
Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(K2≥k0))
0．100
0．050
0．025
0．010
0．001
k0
2．706
3．841
5．024
6．635
10．828
研发投入费用x
2．2
2．6
4．3
5．0
5．9
销售量
3．8
5．4
7．0
10．35
12．2
月份
2020年6月
2020年7月
2020年8月
2020年9月
2020年10月
月份编号x
1
2
3
4
5
销量y/部
52
95
a
185
227
α
0．10
0．05
0．025
0．010
0．005
0．001
xα
2．706
3．841
5．024
6．635
7．879
10．828
α
0．05
0．025
0．010
0．001
xα
3．841
5．024
6．635
10．828
通过
未通过
总计
集中培训
45
10
55
分散培训
30
20
50
总计
75
30
105
理科
文科
男
13
10
女
7
20