2023-2024学年江西省宜春市宜丰中学高二（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省宜春市宜丰中学高二（上）月考数学试卷（12月份）（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.命题“∃x0∈R,x02−2x0+3<0”的否定是( )
A. ∃x0∈R,x02−2x0+3≥0B. ∀x∈R，x2−2x+3≥0
C. ∃x0∈R,x02−2x0+3≤0D. ∀x∈R，x2−2x+3≤0
2.已知全集U=R，集合A={x|lg2(x−1)<0}，B={x|2x≥1}，则( )
A. ∁UA=[2,+∞)B. B⊆A
C. A∩(∁UB)=⌀D. A∪B=(−∞,2]
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4+a8=a5+4，则S13=( )
A. 26B. 32C. 52D. 64
4.函数f(x)=(x−1x)csx(−π≤x≤π且x≠0)的图象可能为( )
A. B. C. D.
5.设a=90.7,b=270.5,c=(38)−1.4，则( )
A. a6.已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x−4)=−f(x)且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A. f(−25)C. f(11)7.已知a>1，b>1，a3b=100，则lga10+3lgb10的最小值为( )
A. 4B. 6C. 8D. 12
8.已知函数fx=x−e2+lnexe−x，若fe2020+f2e2020+⋯+f2018e2020+f2019e2020=20192a+b，其中b>0，则12|a|+|a|b的最小值为( )
A. 34B. 54C. 2D. 22
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现代函数的概念，是解析数论的创始人，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为D(x)=1,x是有理数,0,x是无理数,狄利克雷函数的发现改变了数学家们对“函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，关于函数D(x)有以下四个命题，其中真命题是( )
A. 函数D(x)是奇函数
B. ∃x，y∈R，D(xy)=D(x)+D(y)
C. 函数D(D(x))是偶函数
D. ∀x∈R，a∈Q，D(a+x)=D(a−x)
10.已知集合A={x∈R|x2−3x−18<0}，B={x∈R|x2+ax+a2−27<0}，则下列命题中正确的是( )
A. 若A=B，则a=−3
B. 若A⊆B，则a=−3
C. 若B=⌀，则a≤−6或a≥6
D. 若B⫋A时，则−611.若3a+lg7a=3b+lg7(7b)，则( )
A. abD. a>7b
12.已知函数f(x)=2x+2x+1x+1，则下列有关结论正确的是( )
A. f(x)在其定义域内是单调递增的B. f(x)有且仅有两个零点
C. f(x)<2的解集是(−1,0)D. f(sinx)的值域是(−∞,72]
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数f(x)=(x2−x+2)ex，则函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为______ ．
14.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=13，且a5=a4+6a3，则满足Sn<123的n的最大值为______ ．
15.已知函数f(x)=lg2x,x>1x2−1,x≤1，则f(x)16.定义在实数集R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=3− 6f(x)−f2(x)，则f(2023)= ______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知关于x的不等式cx2+x+b<0的解集为(−1,12),p：不等式bx2+x+c>0的解集．
(1)设不等式等式bx2+x+c>0的解集为M，求M；
(2)若q：x2+x18.(本小题12分)
新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺的压力、在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车越来越受到消费者的青睐．某车企随机调查了今年某月份购买本车企生产的20n(n∈N+)台汽车车主，统计得到以下2×2列联表，经过计算可得x2≈5.556．
(1)完成表格并求出n值，并判断有多大的把握认为购车消费者对新能源车的喜欢情况与性别有关：
(2)用样本估计总体，用本车企售出汽车样本的频率代替售出汽车的概率．从该车企今年某月份售出的汽车中，随机抽取4辆汽车，设被抽取的4辆汽车中属于不喜欢新能源购车者的辆数为X，求X的分布列及数学期望．
附：K²=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
19.(本小题12分)
已知数列{an}满足a1=1，an+1−an+3an+1an=0，n∈N*．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{anan+1}的前n项和为Tn，若Tk>33101(k∈N*)，求k的最小值．
20.(本小题12分)
已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AD//BC，∠BAD=π4，AD=2BC=4，PB⊥平面ABCD．
(1)求证：AP⊥CD；
(2)若四棱锥P−ABCD的体积为2，求平面PCD与平面PCB夹角的余弦值．
21.(本小题12分)
设0(1)当t=−1时，求不等式f(x)≤g(x)的解集；
(2)设函数F(x)=af(x)+tx2−2t+1，若方程F(x)=0在区间(−1,2]上有实数根，求1t的取值范围．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=x+mex．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若x1≠x2，且f(x1)=f(x2)=2，证明：0答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：命题“∃x0∈R,x02−2x0+3<0”的否定是：∀x∈R，x2−2x+3≥0．
故选：B．
直接写出特称命题的否定得答案．
本题考查命题的否定，关键是注意特称命题的否定是全称命题，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由lg2(x−1)<0⇒02x≥1⇒2−xx≥0⇒0所以A⫋B，B错误；
又∁UB=(−∞,0]∪(2，+∞)，
所以A∩(∁UB)=⌀，C正确；
A∪B=B=(0,2]，D错误．
故选：C．
求得集合A=(1,2)，B=(0,2]，再进行集合的交、并、补集的混合运算可得答案．
本题考查对数不等式、分式不等式的运用，考查集合的交、并、补集的混合运算，属于中档题．
3.【答案】C
【解析】解：由等差数列的性质可得a4+a8=a5+a7=a5+4.则a7=4．
故S13=13a7=52．
故选：C．
根据等差数列的性质计算即可．
本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查函数图象的识别以及函数的奇偶性的判断，属于基础题．
由条件可得函数f(x)为奇函数，故它的图象关于原点对称；再根据x=π时，f(π)<0，得出结论．
【解答】
解：对于函数f(x)=(x−1x)csx(−π≤x≤π且x≠0)，由于它的定义域关于原点对称，
且满足f(−x)=(1x−x)csx=−f(x)，故函数f(x)为奇函数，故它的图象关于原点对称．
故排除A、B．
当x=π，f(π)<0，故排除C，
故选：D．
5.【答案】D
【解析】解：∵a=90.7=31.4，b=270.5=31.5，
∴a∴c故选：D．
根据指数函数的单调性求解．
本题主要考查了指数函数的性质，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：∵f(x−4)=−f(x)，
∴f(x−8)=−f(x−4)=f(x)，
即函数的周期是8，
则f(11)=f(3)=−f(3−4)=−f(−1)=f(1)，
f(80)=f(0)，
f(−25)=f(−1)，
∵f(x)是奇函数，且在区间[0,2]上是增函数，
∴f(x)在区间[−2,2]上是增函数，
∴f(−1)即f(−25)故选：A．
根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化求解即可．
本题主要考查函数值的大小比较，根据函数的奇偶性和单调性之间的关系进行转化是解决本题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：因为a3b=100，所以lga3b=2，即3lga+lgb=2，
所以lga10+3lgb10=1lga+3lgb=12(1lga+3lgb)⋅(3lga+lgb)=12(6+lgblga+9lgalgb)≥12(6+2 lgblga⋅9lgalgb)=6，
当且仅当lgb=3lga，即a=1013，b=10时等号成立，
所以lga10+3lgb10的最小值为6．
故选：B．
条件等式两边取对数后，得3lga+lgb=2，再结合换底公式，以及基本不等式“1”的妙用，即可求解．
本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查倒序相加法求和，考查利用基本不等式求最值，属难题．
先推得fx+fe−x=2，再利用倒序相加法求得fe2020+f2e2020+⋯+f2018e2020+f2019e2020，得到a+b的值，然后对a分类讨论利用基本不等式求最值，则答案可求．
【解答】
解：∵fx=x−e2+lnexe−x，
∴fx+fe−x=x−e2+lnexe−x+e−x−e2+lne(e−x)x
=lnexe−x+lnee−xx
=ln[exe−x⋅e(e−x)x]
=lne2=2
令S=fe2020+f2e2020+⋯+f2018e2020+f2019e2020，
则S=f2019e2020+f2018e2020+⋯+f2e2020+fe2020，
∴2S=fe2020+f2019e2020+f2e2020+f2018e2020+⋯+f2019e2020+fe2020=2×2019，
即S=2019，
∴20192a+b=2019，得a+b=2，其中b>0，则a=2−b．
当a>0时，12|a|+|a|b=12a+2−bb
=12a+2b−1
=12(12a+2b)(a+b)−1
=12(52+b2a+2ab)−1≥12(52+2 b2a⋅2ab)−1=54，
当且仅当b2a=2ab，即a=23，b=43时等号成立；
当a<0时，12|a|+|a|b=1−2a+−ab=1−2a+b−2b
=1−2a+−2b+1
=12(1−2a+−2b)(a+b)+1
=12(−52+b−2a+−2ab)+1
≥12(−52+2 b−2a⋅−2ab)+1=34，
当且仅当b−2a=−2ab，即a=−2,b=4时等号成立．
∵34<54，
∴12|a|+|a|b的最小值为34．
故选：A．
9.【答案】BCD
【解析】解：若x是有理数，则−x也是有理数，可得D(x)+D(−x)=1+1=2，则D(x)不是奇函数，故A错误；
当x= 2，y= 3时，D(xy)=D( 2× 3)=D( 6)=0，D(x)=D( 2)=0，
D(y)=D( 3)=0，此时D(xy)=D(x)+D(y)，故B正确；
若x是有理数，则D(x)=1，D(D(x))=D(1)=1；若x是无理数，D(x)=0，D(D(x))=D(0)=1，
因此D(D(−x))=D(D(x))，所以函数D(D(x))是偶函数，故C正确；
若x是有理数，a∈Q，则a+x，a−x均是有理数，故D(a+x)=D(a−x)=1；
若x是无理数，a∈Q，则a+x，a−x均是无理数，故D(a+x)=D(a−x)=0，
所以∀x∈R，a∈Q，D(a+x)=D(a−x)，故D正确．
故选：BCD．
对于A，若x是有理数，可得D(x)+D(−x)=2，可知D(x)不是奇函数；
对于B，取x= 2，y= 3验证即可；
对于C，分两种情况讨论得D(D(−x))=D(D(x))，由偶函数的定义判断；
选项D：分两种情况讨论，若x是有理数，得D(a+x)=D(a−x)=1；若x是无理数，得D(a+x)=D(a−x)=0，从而即可判断．
本题属于新概念题，考查了函数的奇偶性、分类讨论思想，属于中档题．
10.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查了集合间的包含关系的应用，考查了一元二次不等式的解集的问题，属于基础题．
由已知求出集合A，再对应各个选项逐个求出满足选项的集合B的a的范围即可．
【解答】
解：由已知可得A={x|−3若A=B，则a=−3，且a2−27=−18，解得a=−3，故A正确，
当a=−3时，A=B，故D错误，
若A⊆B，则(−3)2+a⋅(−3)+a2−27≤0且62+6a+a2−27≤0，解得a=−3，故B正确，
当B=⌀时，a2−4(a2−27)≤0，解得a≤−6或a≥6，故C正确．
故选：ABC．
11.【答案】BC
【解析】解：由题意可知a>0，b>0，
令g(x)=3x+lg7x，显然函数g(x)在(0,+∞)是增函数，
由于3a+lg7a=3b+lg7(7b)=3b+lg7b+1，所以(3a+lg7a)−(3b+lg7b)=1，
又函数g(x)在(0,+∞)是增函数，所以a>b，即C正确；
令h(x)=3x，显然函数h(x)在(0,+∞)是增函数，
又7b>b>0，
所以3a+lg7a=3b+lg7(7b)<37b+lg7(7b)，
由于函数g(x)在(0,+∞)是增函数，
所以a<7b，即B正确．
故选：BC．
令h(x)=3x，g(x)=3x+lg7x，显然函数h(x)，g(x)是增函数，而后结合函数的增减性即可判断a，b大小．
本题主要考查函数增减性，属中档题．
12.【答案】CD
【解析】解：根据题意，函数f(x)=2x+2x+1x+1，其定义域为(−∞,−1)∪(−1,+∞)，
依次分析选项：
对于A，f(x)=2x+2x+1x+1=2x−1x+1+2，
指数函数y=2x为增函数，函数y=−1x+1在(−∞,−1)和(−1,+∞)上是增函数，
所以函数f(x)=2x+2x+1x+1在(−∞,−1)和(−1,+∞)上是增函数，
又f(−2)=134,f(0)=2对于B，当x∈(−∞,−1)时，2x>0,−1x+1>0，
所以f(x)=2x+2x+1x+1=2x−1x+1+2>2，则函数在区间(−∞,−1)上无零点，
当x∈(−1,+∞)时，因为函数f(x)=2x+2x+1x+1在(−1,+∞)上是增函数，
所以函数在(−1,+∞)上最多一个零点，故B错误；
对于C，当x∈(−∞,−1)时，f(x)<2无解，当x∈(−1,+∞)时，f(x)<2=f(0)，
因为函数f(x)=2x+2x+1x+1在(−1,+∞)上是增函数，所以−1对于D，对于函数f(sinx)，设t=sinx，则−1≤t≤1，
而函数的定义域为(−∞,−1)∪(−1,+∞)，
故t=sinx∈(−1,1]，
当x→−1时，2x→12,1x+1→+∞，所以f(x)→−∞，
又f(1)=72，函数f(x)=2x+2x+1x+1在(−1,+∞)上是增函数，
所以f(sinx)的值域是(−∞,72]，故D正确．
故选：CD．
根据题意，由函数单调性的定义可得A错误，由函数零点判定定理可得B错误，结合函数的单调性分析可得C正确，利用换元法分析可得D正确，综合可得答案．
本题考查函数的单调性和零点的判断，涉及函数的值域，属于基础题．
13.【答案】3ex−y−e=0
【解析】解：由f(x)=(x2−x+2)ex，得f′(x)=(2x−1)ex+(x2−x+2)ex=(x2+x+1)ex，
∴f(x)的图象在x=1处的切线斜率为k=f′(1)=3e，
又f(1)=2e，∴切点为(1,2e)，
∴f(x)的图象在x=1处的切线方程为：y−2e=3e(x−1)，
即3ex−y−e=0．
故答案为：3ex−y−e=0．
对f(x)求导，求出切线的斜率，然后利用点斜式求解即可．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．
14.【答案】5
【解析】解：根据题意，设等比数列{an}公比为q，因为a5=a4+6a3，
所以q2−q−6=0，解得q=−2，或q=3．
由数列为正项等比数列，则q>0，所以q=3．
又由S3=13，即a1+a2+a3=a1+3a1+9a1=13，解得a1=1，
因为Sn=a1(1−qn)1−q=3n−12，
所以3n−12<123，得3n<247，解得n因为lg3243即lg3247∈(5,6)，又n∈N*，
所以n的最大值为5．
故答案为：5．
根据题意，利用等比数列的性质与求和公式求解基本量，再由Sn<123解关于n的不等式．
本题考查等比数列的求和，涉及等比数列的性质，属于基础题．
15.【答案】(−12,+∞)
【解析】解：∵函数f(x)=lg2x,x>1x2−1,x≤1，且有f(x)∴当x≤0时，x+1≤1，则不等式f(x)即x2−1<(x+1)2−1，解得−12当01，则不等式f(x)又当00，
此时x2−1当x>1时，不等式f(x)1．
综上所述，f(x)故答案为：(−12,+∞)．
由题意利用函数的单调性，分类讨论求得x的范围．
本题主要考查二次函数、对数函数的单调性应用，指数、对数不等式的解法，属于中档题．
16.【答案】3−3 22
【解析】解：由f(x+2)=3− 6f(x)−f2(x)，
可得3−f(x+2)= 6f(x)−f2(x)，
则[3−f(x+2)]2=( 6f(x)−f2(x))2，
即f2(x+2)−6f(x+2)+f2(x)−6f(x)+9=0，
令g(x)=f2(x)−6f(x)，则g(x+2)+g(x)+9=0，
即g(x+2)=−g(x)−9，
则g(x+4)=−g(x+2)−9=−[−g(x)−9]−9=g(x)，
则g(x)=f2(x)−6f(x)的周期为4，
则g(2023)=g(4×505+3)=g(3)，
由f(x)为偶函数，可得g(x)=f2(x)−6f(x)为偶函数，
又由g(x+2)=−g(x)−9，可得g(1)=−g(−1)−9，
则g(−1)=−g(−1)−9，则g(−1)=−92，
又g(x)的周期为4，则g(3)=g(−1)=−92，
则g(2023)=g(3)=−92，
则g(2023)=f2(2023)−6f(2023)=−92，
解之得，f(2023)=3±32 2，
又f(x+2)=3− 6f(x)−f2(x)≤3，则f(2023)≤3，
故f(2023)=3−32 2．
故答案为：3−32 2．
构造新函数g(x)=f2(x)−6f(x)，求得g(x)的周期为4，依据题给条件求得g(2023)的值，进而求得f(2023)的值．
本题主要考查抽象函数的函数值的计算，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由不等式cx2+x+b<0的解集为(−1,12)，
得c>0−1+12=−1c−1⋅12=bc，
解得c=2，b=−1，
则bx2+x+c>0，即−x2+x+2>0，
解得−1则M=(−1,2)；
(2)由p是q的一个必要不充分条件，即N⫋M，
由x2+x则当−a=a−1时，即a=12时，N=⌀，符合题意；
当a>12时，N=(−a,a−1)，由N⫋M，
则a>12−1≤−aa−1≤2(等号不能同时取)，解得12当a<12时，N=(a−1,−a)，由N⫋M，
则a<12−1≤a−1−a≤2(等号不能同时取)，解得0≤a<12，
综上，实数a的取值范围是[0,1]．
【解析】(1)根据二次不等式的解集求出c，b，解二次不等式即可求解；
(2)化简q，p是q的一个必要不充分条件，即NM，结合两根大小关系，分类讨论出N即可求解．
本题主要考查了“三个二次”的关系，考查了韦达定理的应用，以及充分条件和必要条件的定义，属于中档题．
18.【答案】解：(1)补充表格数据如下：
根据数表可得x2=20n(3n×10n−5n×2n)215n×5n×12n×8n≈5.556，又n∈N*，得n=5；
由题意，x2≈5.556∈(5.024,6.635)，
故有975%的把握认为购车消费者对新能源车的喜欢情况与性别有关；
(2)随机抽取1辆汽车属于不喜欢新能源购车者的概率为25100=14，
被抽取的4辆汽车中属于不喜欢新能源购车者的辆数为X，X的可能值为：0，1，2，3，4
依题意，X～B(4,14)，
P(X=0)=(34)4=81256，P(X=1)=C41×14×(34)3=3764，
P(X=2)=C42×(14)2×(34)2=54256，P(X=3)=C43×(14)3×34=364，
P(X=4)=(14)4=1256．
所以X的分布列为：
X的数学期望E(X)=0×81256+1×2764+2×54256+3×364+4×1256=1．
所以X的数学期望为1．
【解析】(1)根据列联表算出x2，利用独立性检验即可判断；(2)利用二项分布即可列出分布列，从而求期望．
考查独立性检验，考查离散型随机变量的分布列及期望，是中档题．
19.【答案】解：(1)∵an+1−an+3an+1an=0，a1=1，∴an≠0，1an+1=1an+3，
又1a1=1，∴数列{1an}是以1为首项，3为公差的等差数列，
∴1an=1+3(n−1)=3n−2，则an=13n−2，n∈N*．
(2)由(1)知anan+1=1(3n−2)(3n+1)=13(13n−2−13n+1)，
∴Tn=13(1−14+14−17+17−110+⋯+13n−5−13n−2+13n−2−13n+1)=13(1−13n+1)=n3n+1．
由Tk>33101得k3k+1>33101，解得k>332，又k∈N*，∴k的最小值为17．
【解析】(1)通过变形得1an+1=1an+3，则数列{1an}是以1为首项，3为公差的等差数列，则得到其通项．
(2)anan+1=13(13n−2−13n+1)，再通过裂项法得到k的最小值．
本题考查数列通项公式的求解，数列前n项和的求解，属中档题．
20.【答案】(1)证明：∵PB⊥平面ABCD，且CD⊂平面ABCD，
∴PB⊥CD，
过点B作BH//CD，
∵ABCD为等腰梯形，且∠BAD=π4，
∴∠BHA=∠BAD=π4，∠ABH=π2，即AB⊥BH，
∴AB⊥CD，
又PB∩AB=B，PB、AB⊂平面PAB，
∴CD⊥平面PAB，
而AP⊂平面PAB，∴AP⊥CD．
(2)解：在等腰梯形ABCD中，∠BAD=π4，AD=2BC=4，
∴梯形的高为1，面积S=12×(2+4)×1=3，
∵四棱锥P−ABCD的体积为2，
∴VP−ABCD=13S⋅PB=2，∴PB=2，
由(1)可知BH，BA，BP两两垂直，
故以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则B(0,0,0)，C( 2,− 2,0)，D(2 2,− 2,0)，P(0,0,2)，
∴PC=( 2,− 2,−2)，DC=(− 2,0,0)，BP=(0,0,2)，
设平面PCD的法向量为m=(x,y,z)，则m⋅PC=0m⋅DC=0，即 2x− 2y−2z=0− 2x=0，
令z=−1，则x=0，y= 2，∴m=(0, 2,−1)，
设平面PCB的法向量为n=(a,b,c)，则n⋅PC=0n⋅BP=0，即 2a− 2b−2c=02c=0，
令a=1，则b=1，c=0，∴n=(1,1,0)，
设平面PCD与平面PCB夹角为θ，则csθ=|cs|=|m⋅n||m|⋅|n|= 2 3× 2= 33，
故平面PCD与平面PCB夹角的余弦值为 33．
【解析】(1)过点B作BH//CD，可得AB⊥BH，从而知AB⊥CD，由PB⊥平面ABCD，得PB⊥CD，再利用线面垂直的判定定理与性质定理，即可得证；
(2)根据四棱锥P−ABCD的体积为2，求得PB=2，再以B为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求平面PCD与平面PCB夹角，即可得解．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理，利用向量法求平面与平面的夹角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)当t=−1时，不等式f(x)≤g(x)可化为lga(x+1)≤2lga(2x−1)，
因为00，解得12所以不等式f(x)≤g(x)的解集为(12,54].
(2)函数F(x)=af(x)+tx2−2t+1=x+1+tx2−2t+1=tx2+x−2t+2，
令tx2+x−2t+2=0，即t(x2−2)=−(x+2)，
因为x∈(−1,2]，所以x+2∈(1,4]，
所以t≠0，且x2−2≠0，
所以1t=−x2−2x+2=−[(x+2)+2x+2]+4，
设m=x+2∈(1,4]，则有1t=−(m+2m)+4，
因为412≥m+2m≥2 2，所以−412≤−(m+2m)≤−2 2；
所以−12≤1t≤4−2 2，且1t≠0，
所以1t的取值范围是[−12,0)∪(0,4−2 2].
【解析】(1)t=−1时，不等式f(x)≤g(x)化为lga(x+1)≤2lga(2x−1)，由0(2)化简函数F(x)，令F(x)=0求出1t的解析式，再求1t的取值范围．
本题考查了函数的零点与方程的根应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
22.【答案】解：(1)f(x)的定义域为R，
由题意，得f′(x)=1−mex=ex−mex，x∈R，
当m≤0时，f′(x)>0恒成立，f(x)在R上单调递增；
当m>0，且当x∈(−∞,lnm)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(lnm,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
综上，当m≤0时，f(x)在R上单调递增；
当m>0时，f(x)在区间(−∞,lnm)上单调递减，在区间(lnm,+∞)上单调递增．
(2)证明：由f(x1)=f(x2)=2，得x1，x2是方程x+mex=2的两个实数根，
即x1，x2是方程m=ex(2−x)的两个实数根．
令g(x)=ex(2−x)，则g′(x)=ex(1−x)，
所以当x∈(−∞,1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；
当x∈(1,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
所以g(x)max=g(1)=e．
因为当x→−∞时，g(x)→0；当x→+∞时，g(x)→−∞，g(2)=0，所以0不妨设x1要证x1+x2<2，只需证x1<2−x2．
因为x1<1，2−x2<1，
所以只需证g(x1)因为g(x1)=g(x2)，
所以只需证g(x2)令h(x)=g(x)−g(2−x)，1则h′(x)=g′(x)+g′(2−x)=ex(1−x)+e2−x(x−1)=(1−x)(ex−e2−x)
=(1−x)⋅e2x−e2ex<0在(1,2)恒成立．
所以h(x)在区间(1,2)上单调递减，
所以h(x)即当1所以g(x2)即x1+x2<2成立．
【解析】(1)求定义域，求导，分m≤0和m>0两种情况，得到函数的单调性；
(2)变形为x1，x2是方程m=ex(2−x)的两个实数根，构造函数g(x)=ex(2−x)，得到其单调性和极值最值情况，结合图象得到0本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．喜欢
不喜欢
总计
男性
10n
12n
女性
3n
总计
15n
a=P(x2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
喜欢
不喜欢
总计
男性
10n
2n
12n
女性
5n
3n
8n
总计
15n
5n
20n
X
0
1
2
3
4
P
81256
2764
54256
364
1256