2023-2024学年江苏省泰州市兴化市高三（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省泰州市兴化市高三（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若集合A={x||x−1|≤2,x∈N}，B={x|lnx≤0}，则A∩B的元素的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.欧拉公式：eiθ=csθ+isinθ将复指数函数与三角函数联系起来，在复变函数中占有非常重要的地位，根据欧拉公式，复数e3i在复平面内对应的点所在的象限为( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边ABCDEFGH，其中|OA|=1给出下列结论，其中正确的结论为
( )
A. OA与OH的夹角为π3
B. OD+OF=OE
C. |OA−OC|= 22|DH|
D. OA在OD上的投影向量为 22e(其中e为与OD同向的单位向量)
4.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去二个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为( )
A. 26B. 28C. 30D. 32
5.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位：m/s)可以表示为v=12lg3O100，其中O表示鱼的耗氧量的单位数.某条鲑鱼想把游速提高2m/s，则它的耗氧量的单位数与原来的耗氧量的单位数之比是( )
A. 3B. 9C. 27D. 81
6.已知函数f(x)=aex−lnx在(1,2)上是单调递增函数，则实数a的取值范围是( )
A. (1e,+∞)B. (12e2,+∞)C. [1e,+∞)D. [12e2,+∞)
7.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作直线交抛物线于A(x1, 2p)，B(x2,−2 2p)两点，则p=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
8.函数f(x)=2lnxx,x>0sin(ωx+π6),−π≤x≤0，若2f2(x)−3f(x)+1=0恰有6个不同实数解，正实数ω的范围为( )
A. (103,4]B. [103,4)C. (2,103]D. [2,103)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某校1500名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的竞赛成绩(单位：分)，成绩的频率分布直方图如图所示，则( )
A. 频率分布直方图中a的值为0.005
B. 估计这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为75
C. 估计这40名学生的竞赛成绩的众数为80
D. 估计总体中成绩落在[60,70)内的学生人数为225
10.已知数列{an}中，a1=1，an+1=an+2n(n∈N∗)，则下列结论正确的是( )
A. a4=13B. {an}是递增数列C. a100,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，倾斜角为π3的直线PF2与双曲线C在第一象限交于点P，若∠PF1F2≥∠F2PF1，则双曲线C的离心率的取值范围为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcsinA= 3(a2+c2−b2)．
(1)求B的大小；
(2)若csA=13，b=2，求c．
18.(本小题12分)
已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，且2a2+a4=13，S7=49．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn=an+2an，求数列{bn}的前n项和Tn．
19.(本小题12分)
为了了解高中学生课后自主学习数学时间(x分钟/每天)和他们的数学成绩(y分)的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据(表一)．
表一
(1)请根据所给数据求出x，y的经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩：(参考数据：i=15xiyi=22820，i=15yi=435，xi的方差为200)
(2)基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到2×2列联表(表二).依据表中数据及小概率值α=0.001的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关．
表二
附：b​=i=1n(xi−x−)⋅(yi−y−)i=1n(xi−x−)2，a​=y−−b​x−，χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．
20.(本小题12分)
如图，在三棱锥P−ABC中，AB是△ABC外接圆的直径，PC垂直于圆所在的平面，D、E分别是棱PB、PC的中点．
(1)求证：DE⊥平面PAC；
(2)若二面角A−DE−C为π3，AB=PC=4，求AE与平面ACD所成角的正弦值．
21.(本小题12分)
已知A1(−2,0)是椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点，且M经过点( 72,3 34).
(1)求M的方程；
(2)若直线l：y=k(x−1)与M交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，且1x1+1x2=−1，求弦AB的长．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=sinx−ln(1+x)，f′x为f(x)的导数．证明：
(1)f′x在区间(−1,π2)存在唯一极大值点；
(2)f(x)有且仅有2个零点．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意得A={x||x−1|≤2,x∈N}={x|−1≤x≤3,x∈N}={0,1,2,3}，
B={x|lnx≤0}={x|00，f(x)单调递增，x∈(e,+∞)时，f′(x)1000，故C错误；
选项D，an+1=2n+1−1，2an+1=2⋅2n−2+1=2n+1−1，
所以an+1=2an+1，故D正确．
故选：BD．
根据题意，化简得到an+12n+1−1=12(an2n−1)，得到{an2n−1}为等比数列，进而求得数列的通项公式an=2n−1，结合选项，逐项判定即可．
本题考查由数列递推式求数列通项，属中档题．
11.【答案】BC
【解析】解：sinB= 3sinC，则b= 3c，
对选项A：取c=1，则b= 3，a=2，故a2=b2+c2，△ABC是直角三角形，错误；
对选项B：设c=x，则b= 3x，csB=x2+4−3x24x=1x−x2，sinB>0，
S=12×2xsinB=x 1−cs2B=x 1−1x2−x24+1= −14x4+2x2−1
= −14(x2−4)2+3，当x=2时，S最大为 3，正确；
对选项C：A=C时，a=c=2，b=2 3，csB=a2+c2−b22ac=−12，
B∈(0,π)，故B=23π，设内切圆的半径为r，
则12×2×2×sin2π3=12r×(2+2+2 3)，解得r=2 3−3，正确；
对选项D：△ABC为锐角三角形，则b2