重难点2 数列的求和方法（导与练）-2024-2025学年高二数学同步精品导与练（人教A版选择性必修第二册）

这是一份重难点2 数列的求和方法（导与练）-2024-2025学年高二数学同步精品导与练（人教A版选择性必修第二册），文件包含重难点2数列的求和方法精讲原卷版docx、重难点2数列的求和方法精讲解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共41页， 欢迎下载使用。
重难点2 数列的求和方法（精讲）考点一 公式法求和【例1】（2023·广东佛山）已知数列是等差数列，，．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【解析】（1），故，故.（2），.【一隅三反】1．（2023·四川攀枝花市）在公差不为零的等差数列中，，且成等比数列.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为，由已知得，则，将代入并化简得，解得或(舍去).所以.（2）由（1）知，所以，所以，即数列是首项为，公比为的等比数列.所以.2．（2023春·广东佛山·高二佛山市荣山中学校考期中）设等比数列的前项和为，公比，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和为.【答案】(1)；(2).【解析】1）解：，解得，；（2）                                                         .3．（2023春·广东广州·高二统考期末）已知数列的首项，且满足．(1)求数列的通项公式；(2)若，求满足条件的最大整数．【答案】(1)(2)99【解析】（1）因为，，所以易知，取倒数得，，即，因为，所以，所以，所以为常数，所以是以为首项，为公比的等比数列；所以，则，所以，即数列的通项公式为.（2）因为，所以，令，显然，单调递增，因为，，所以，所以满足条件的最大整数为.考点二 裂项相消求和【例2-1】（2023秋·广东江门 ）已知数列是以3为首项，公差不为0的等差数列，且，，成等比数列．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【解析】（1）设的公差为，因为，，成等比数列，所以，即，又，所以，故．（2）由（1）可得，，则．【例2-2】（2023秋·广东 ）在等比数列中，，且成等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)记，数列的前项和为，求不等式的解集．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：设数列的公比为，因为成等差数列，所以，即，又因为，则，即，解得，所以数列的通项公式为．（2）解：由，可得，所以又由，可得，即，即，所以，所以不等式的解集为．【例2-3】（2023春·广东佛山·高二统考期中）在单调递增的等差数列中，，，成等比数列，.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）设等差数列的公差为，由已知得， 即，即化简得，又，解得，又，所以，，所以．（2）结合（1）得， 则， 所以.【例2-4】．（2023·广东广州 ）已知数列的前项和为，且，，．(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和，求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）因为，所以，因为，所以，即，所以．即，又，所以数列是首项为，公比为的等比数列．所以.（2），故数列的前项和，因为，所以，所以．【一隅三反】1．（2023秋·广东珠海 ）已知数列满足.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【解析】（1）由，得当时， 即，当时，，则，即，当时，也满足上式，综上所述，；（2）由（1）得，则，所以.2．（2023春·广东茂名·高二统考期末）已知等差数列的公差不为0，其前项和为，且成等比数列.(1)求的通项公式；(2)设，记数列的前项和为，若对任意恒成立，求的取值范围.【答案】(1)(2)或.【解析】（1）设数列的公差为，且，依题意得：，，解得，.（2），，，或.3．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，，，.(1)求，及的通项公式；(2)设，数列的前项和为，若对任意的恒成立，求的最小值.【答案】(1)，，(2)【解析】（1）由题意，在数列中，，，当时，，当时上式也符合，∴，，.∴当时，；当时，上式也符合.∴的通项公式为.（2）由题意及（1）得，,在数列中，，数列中，,∴.∵，∴.∵.∴的最大值为，.∴的最小值为.4（2024秋·广东 ）已知数列满足，，设．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：由得，所以，，又因为，所以，，且，所以，数列是以为首项，为公比的等比数列．则．（2）解：由（1）得，则，所以，.考点三 错位相减求和法【例3】（2023春·广东揭阳·高二惠来县第一中学校考阶段练习）已知正项数列和，数列的前项和为，若，，.(1)求数列与的通项公式；(2)令，求数列的前项和.【答案】(1)，(2)【解析】（1）当时，，解得：或，又，；当且时，，整理可得：，又，，，数列是以为首项，为公差的等差数列，.，，则，.（2）由（1）得：，，，，.【一隅三反】1.（2023春·广东佛山·高二校联考阶段练习）在数列中，．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【解析】（1）当时，，当时，则，得，两式相减得，，所以，因为满足上式，所以（2）由（1）得，所以所以，所以，所以2 ．（2023秋·广东深圳 ） 已知数列是正项等比数列，且.(1)求的通项公式;(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【解析】（1）由等比数列的性质可得，由题意可得，解得，所以等比数列的公比为，所以.（2）由（1）得.所以，①则，②①②得，因此；3．（2023·广东东莞 ）已知数列和，，，.(1)求证数列是等比数列；(2)求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）由，，得，整理得，而，所以数列是以为首项，公比为的等比数列（2）由（1）知，∴，∴，设，则，两式相减得，从而∴.考点四 分组转化求和【例4-1】（2023秋·广东深圳 ）已知数列为正项等差数列，数列为递增的正项等比数列，，.(1)求数列，的通项公式；(2)数列满足，求数列的前2n项的和.【答案】(1)，(2)【解析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，因为，，所以得，解得或，因为数列为正项数列，为正项递增数列，所以解得，，所以，（2）由（1）得，所以数列的前2项和为 .【例4-2】（2023春·广东佛山·高二佛山市荣山中学校考期中）已知数列满足，.(1)记，写出、，并求数列的通项公式；(2)求的前项和.【答案】(1)，，(2)【解析】（1）解：因为数列满足，，所以，，， ，即，                             所以，数列是公差为，首项为的等差数列，因此，.（2）当为偶数时，设，则，，所以，，此时，；当为奇数时，设，则，则.综上所述，.【一隅三反】1．（2023·广东深圳 ）已知等差数列满足，．(1)求；(2)数列满足，为数列的前项和，求．【答案】(1)(2)【解析】（1）设等差数列的公差为d，因为，．则，解得，所以．（2）由（1）可得，则 ，所以.2．（2022·河北唐山·二模）已知等比数列满足，，．(1)求的通项公式；(2)记，，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【解析】(1)解：因为等比数列满足，，设公比为，所以，解得，所以；(2)解：由（1）知，，所以数列的前n项和.3（2022·福建三明·模拟预测）设数列的前项和为，，，．(1)求证：是等比数列；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)证明：对任意的，，当时，则有，解得，当时，由可得，上述两个等式作差得，所以，，则，所以，且，所以，数列是等比数列，且首项和公比均为.(2)解：由（1）可知，所以，，所以，.考点五 奇偶并项求和【例5】（2023春·广东佛山·高二校联考阶段练习）设数列的前项和为，数列是公差为的等差数列，且(1)求的通项公式；(2)求数列的前20项和．【答案】(1)(2)【解析】（1）因为数列是公差为的等差数列，且，所以，即，当时，，当时，，经检验，当时，依然成立，故.（2）因为，所以，故.【一隅三反】1．（2023春·广东佛山·高二佛山市第四中学校考阶段练习）已知在数列中，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【解析】（1）由题意得，即数列为常数列，因为，所以.（2）由（1）可得，2．（2023秋·广东深圳）已知等差数列的前n项和为，且满足，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【解析】（1）设公差为d，依题意得,解得,所以，．（2）因为， ，所以．3．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等比数列，满足，是与的等差中项.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)当n为偶数时，；当n为奇数时，.【解析】(1是正项等比数列，故，所以，又，设公比为q（q>0），即，即，解得：，则数列的通项公式为(2)则当n为偶数时，；当n为奇数时，.