2022-2023学年江苏省无锡市锡山区锡东片九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2022-2023学年江苏省无锡市锡山区锡东片九年级上学期数学期中试题及答案，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列方程为一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【详解】解：A．方程，当，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．是代数式，故本选项不符合题意；
C．是一元二次方程，故本选项符合题意；
D．含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键．
2. 如图，不能说明的一组条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，故选项A不符合题意；
∵，，
∴，故选项B不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，故选项C不符合题意；
不是已知的比例线段的夹角，故不能判定，故选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
3. 如图，中，，则以A为圆心，3为半径的与的位置关系是（ ）
A. 相离B. 相切C. 相交D. 不确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理求出的长度，再根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的关系进行判断即可．
【详解】解：，
∴，
∴圆心到直线的距离为：，等于圆的半径，
∴与相切．
故选B．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系．熟练掌握根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系确定直线与圆的位置关系是解题的关键．
4. 如图，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据，得出，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
5. 如果圆锥的母线长为5cm ，底面半径为3cm，那么圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面积公式：进行计算即可．
【详解】解：；
故选A．
【点睛】本题考查圆锥的侧面积．熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．
6. 如图，等边三角形内接于，将的逆时针旋转得到，则的度数为（ ）
A. 100°B. 105°C. 125°D. 120°
【答案】D
【解析】
【分析】利用圆的内接四边形对角互补可直接得解．
【详解】解：∵的逆时针旋转得到，
∴也是等边三角形，
∴，
在的内接四边形中，，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查圆的内接四边形的性质，掌握圆的内接四边形对角互补是解题的关键．
7. 下列说法：①圆中弦的垂直平分线一定经过圆心；②与半径垂直的直线是圆的切线；③相等的圆心角所对的弦也相等；④圆内接四边形有且只有一个．其中不正确的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆的相关概念和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：①圆中弦的垂直平分线一定经过圆心，说法正确，不符合题意；
②过半径的末端，且与半径垂直的直线是圆的切线，原说法错误，符合题意；
③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦也相等，原说法错误，符合题意；
④圆内接四边形有无数个，原说法错误，符合题意；
综上，②③④说法不正确．
故选C．
【点睛】本题考查垂径定理，切线的定义，等角对等弦，圆内接四边形．熟练掌握相关知识点是解题的关键．
8. 如图，在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点D（不与O重合），连接．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角求出，根据直角三角形两锐角互余求出，再根据翻折的性质得到所对的圆周角为，所对的圆周角为，，最后由三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】解：如图，连接，
∵是直径，
∴，
∵，
∴．
根据翻折的性质，所对的圆周角为，所对的圆周角为，
∴，
∵，
∴，
∴
故选：A．
【点睛】本题考查的是直径所对的圆周角是直角和翻折变换等知识，掌握相关定理是解答此题的关键．
9. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点，直线与交于B、C两点，则弦的长的最小值为（ ）
A. 22B. 24C. 10.5D. 12.5
【答案】B
【解析】
【分析】对于直线，无论为何值时，恒经过点，记为点,即过圆内定点的所有弦中，与垂直的弦最短，过点作于点,即可求出，再根据垂径定理及勾股定理即可求出答案．
【详解】对于直线，无论为何值时，恒经过点，记为点，
过点作于点，
则有，，
即，
由于过圆内定点的所有弦中，与垂直的弦最短，如图所示，
∴当时，取最小值，
∵过点，
∴
∴，
∵当时，有过圆内定点的弦最短，
∴根据垂径定理及勾股定理可得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理，一次函数以及勾股定理等知识，得出直线在无论为何值时，恒经过点，是解答本题的关键．
10. 如图，把某矩形纸片沿，折叠（点E、H在边上，点F，G在边上），使点B和点C落在边上同一点P处，A点的对称点为、D点的对称点为，若，的面积 为8，的面积为2，则矩形的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设AB=CD=x，由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，因为△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，推出D′H＝x，由S△D′PH=D′P·D′H=A′P·D′H，可解得x=2，分别求出PE和PH，从而得出AD的长.
【详解】解：∵四边形ABC是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，
设AB=CD=x，
由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，
∵△A′EP的面积为8，△D′PH的面积为2，
又∵，∠A′PF=∠D′PG=90°，
∴∠A′P D′=90°，则∠A′PE+∠D′PH=90°，
∴∠A′PE=∠D′HP，
∴△A′EP∽△D′PH，
∴A′P2：D′H2=8：2，
∴A′P：D′H=2：1，
∵A′P=x，
∴D′H=x，
∵S△D′PH=D′P·D′H=A′P·D′H，即，
∴x=2（负根舍弃），
∴AB=CD=2，D′H=DH=，D′P=A′P=CD=2，A′E=2D′P=4，
∴PE=，PH=，
∴AD==，
故选D.
【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 若是一元二次方程的一个根，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的定义，将代入方程，得出关于的一元一次方程，解方程即可求解．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根的定义是解题的关键．
12. 已知，相似比为，则与的周长比为___________．
【答案】
【解析】
【分析】相似三角形的周长比等于相似比，根据性质直接可得答案．
【详解】解：∵，相似比为，
∴与的周长比等于相似比．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握“相似三角形的周长之比等于相似比”是解本题的关键．
13. 如图，中，已知，则=___________°．
【答案】50
【解析】
【分析】根据内接四边形的性质可知，即可求解．
【详解】∵在的内接四边形中，有，
又∵，
∴，
故答案为：50．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补，是解答本题的关键．
14. 2022年10月16日上午，举世瞩目的中共二十大召开．非凡十年、沧桑巨变．我国人均从约万元增加到万元（新华网）．假如每一个年里人均增长率不变，则这个人均增长率约为多少？答：___________．
【答案】
【解析】
【分析】设每一个年里人均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】解：设每一个年里人均增长率为，根据题意得，
，
解得（舍去），
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
15. 对于任意实数a、b，定义一种运算：，若，则x的值为___________．
【答案】3或##或3
【解析】
【分析】根据，由，可得：，据此求出的值为多少即可．
【详解】解：，
，
，
解得．
故答案为：3或．
【点睛】此题主要考查了实数的新定义运算，解一元二次方程，解题的关键是要熟练掌握利用因式分解法求解一元二次方程．
16. 如图，在中，，，．以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留）．
【答案】
【解析】
【分析】连接，由扇形面积﹣三角形面积求解．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴阴影部分的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查扇形的面积与等边三角形的性质与判定，解题关键是判断出三角形CBE为等边三角形与扇形面积的计算．
17. P是边上的任一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截，如果截得的三角形与相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”．中，，，当点P是边上一个三等分点时（），过点P的的“相似线”最多有___________条．
【答案】4
【解析】
【分析】根据相似线的定义，可知截得的三角形与有一个公共角，分①公共角为时；②公共角为时；③公共角为时；三种情况进行讨论，即可得出答案．
【详解】解：①当公共角为时，不存在；
②公共角为时，过点作，交于点D，如图所示：
∵，，
∴；
过点P作于点D，如图所示：
∵，，
∴；
③公共角为时，
连接，如图所示：
∵，
∴，
设，则，
，
∵点P是边上一个三等分点，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴；
过点P作，交于点D，如图所示：
∵，
∴，，
∴；
综上分析可知，过点P的的“相似线”最多有4条．
故答案为：4.
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法．
18. 如图，在△ABC中，AC：BC：AB=5：12：13,⊙O在△ABC内自由移动，若⊙O的半径为1，且圆心O在△ABC内所能到达的区域的面积为，则△ABC的周长为______.
【答案】25
【解析】
【分析】如图，可知圆心O在△ABC内所能到达的区域为△DEF的边以及其内部，其中点D在∠BAC的角平分线上，且到AB、AC边的距离为1，点E在∠ACB的角平分线上，且到CA、CB边的距离为1，点F在∠ABC的角平分线上，且到BA、BC边的距离为1，DH、EP分别垂直于AC，EM、FQ分别垂直于BC，DK、FN分别垂直于AB，
则有AH=AK，CP=CM=EM=1，BN=BQ，四边形EDPH、EFQM、DFNK是矩形，△DEF是直角三角形且△DEF∽△ACB，继而根据已知可分别求出DE、EF、DF的长，再设AH=AK=x，BN=BQ=y，
则有AC =x+，BC=5+y，AB= x+y+，再根据AC：BC：AB=5：12：13列方程组可求出x、y的值，继而根据三角形的周长公式进行求解即可.
【详解】如图，可知圆心O在△ABC内所能到达的区域为△DEF的边以及其内部，其中点D在∠BAC的角平分线上，且到AB、AC边的距离为1，点E在∠ACB的角平分线上，且到CA、CB边的距离为1，点F在∠ABC的角平分线上，且到BA、BC边的距离为1，DH、EP分别垂直于AC，EM、FQ分别垂直于BC，DK、FN分别垂直于AB，
则有AH=AK，CP=CM=EM=1，BN=BQ，四边形EDPH、EFQM、DFNK是矩形，△DEF是直角三角形且△DEF∽△ACB，
又∵AC：BC：AB=5：12：13，
∴DE：EF：DF=5：12：13，
又∵S△DEF=DE•EF=，
∴DE=，EF=4，
∴DF=，
∴PH=DE=，MQ=EF=4，NK=DF=，
设AH=AK=x，BN=BQ=y，
则有AC=AH+HP+CP=x+，BC=CM+MQ+BQ=5+y，AB=AK+NK+BN=x+y+，
又∵AC：BC：AB=5：12：13，
∴，
解得：，
∴AC=+，BC=10，AB=++5，
∴AC+BC+AB=++10+++5=7+3+10+5=25，
故答案为25.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，切线长定理，三角形的面积等知识，难度很大，正确画出图形确定出点O的运动区域是解题的关键.
三、解答题（本大题共10小题，共96分．）
19 解方程
（1）
（2）
【答案】（1），；
（2），．
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用直接开平方法求解即可．
【小问1详解】
解：因式分解得：，
∴或，
∴，；
【小问2详解】
解：两边直接开平方得：或，
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题的关键．
20. 在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中，若关于x的方程有两个相等的实数根，求△ABC的周长．
【答案】10
【解析】
【分析】根据一元二次方程和三角形的性质，计算得，再根据三角形三边关系和等腰三角形的性质分析，即可得到答案.
【详解】∵关于x的方程有两个相等的实数根
∴
∴
∴
∴或（舍去）
∵
∴
根据题意，当时，的周长
当时，得
∴不成立
∴的周长.
【点睛】本题考查了一元二次方程、三角形三边关系、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程、等腰三角形的性质，从而完成求解.
21. 如图，在矩形中，是的中点，，垂足为．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】根据矩形的性质可得，，．再根据“两直线平行，内错角相等”可得，再由垂直的定义可得．从而得出，再根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”可得出结论；
根据中点的定义可求出BE=2，然后根据勾股定理求出AE= .再根据相似三角形的性质求解即可.
【详解】证明：（1）∵四边形是矩形，
∴，．
∴，
∵，
∴．
∴，
∴．
解：（2）∵，
∴．
∵，是的中点，
∴．
∴在中，．
又∵，
∴，
∴．
【点晴】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键.
22. 如图，已知是锐角三角形．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图；作直线，使上的各点到、两点的距离相等；设直线与、分别交于点、，作一个圆，使得圆心在线段上，且与边、相切；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，若，，则的半径为________．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）由题意知直线为线段BC的垂直平分线，若圆心在线段上，且与边、相切，则再作出的角平分线，与MN的交点即为圆心O；
（2）过点作，垂足为，根据即可求解．
【详解】解：（1）①先作的垂直平分线：分别以B，C为圆心，大于的长为半径画弧，连接两个交点即为直线l，分别交、于、；
②再作的角平分线：以点B为圆心，任意长为半径作圆弧，与的两条边分别有一个交点，再以这两个交点为圆心，相同长度为半径作弧，连接这两条弧的交点与点B，即为的角平分线，这条角平分线与线段MN的交点即为；
③以为圆心，为半径画圆，圆即为所求；
（2）过点作，垂足为，设
∵，，∴，∴
根据面积法，∴
∴，解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了尺规作图，切线的性质等内容，解题的关键是掌握线段垂直平分线、角平分线的尺规作图．
23. 阅读下面的例题：分解因式：．
解：令得到一个关于x的一元二次方程．∵，
∴．解得， ；
∴．
这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题：
（1）已知代数式对应的方程解为和5，则代数式分解后为___________；
（2）将代数式分解因式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据材料所给公式进行分解即可；
（2）利用求根法进行因式分解．
【小问1详解】
∵代数式对应的方程解为和5，
∴；
故答案为：；
【小问2详解】
解：令：，
，
∴，
解得， ；
∴．
【点睛】本题考查求根法因式分解．理解并掌握题目中的求根法因式分解的方法是解题的关键．
24. 如图，过的圆心O，交于点A、B，与相切于点C，已知，．
（1）求证：；
（2）求的周长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）求得，再用证明三角形相似即可；
（2）分别求出三边长再相加即可
【小问1详解】
解：∵是切线
∴，
又∵，
∴．
又∵OB=OC
∴
∵
∴；
【小问2详解】
在中，，，
∴；
∴，
∴，
又∵
，
∴的周长．
【点睛】本题考查切线的性质，含30度的直角三角形的性质，掌握这些定理是解题的关键．
25. 国庆期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，图中反映的是调查员小王与超市老李的对话：
根据他们的对话，解决下面所给问题：
老李透露：他每天租金、损耗等要开支240元；若超市每天还要获得3400元的销售利润，又要尽可能让顾客得到实惠，则这种水果的售价应定为多少元？
【答案】每千克29元
【解析】
【分析】设降价元，根据题意列出一元二次方程进行求解即可．
【详解】解：设每千克降x元．
由题意得：，
整理得：，
解得：或；
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴；
∴售价为：（元/千克）．
答：这种水果的售价应定为每千克元．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用．根据题意正确的列出方程是解题的关键．
26. 如图，为等边的外接圆，半径为2，点D在劣弧上运动（不与点A，B重合），连接，，．
（1）求证：是的平分线；
（2）设线段的长为x，请你通过计算用含x的代数式表示四边形的面积S；
（3）若点M，N分别在线段，上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，的周长有最小值，随着点D的运动，的周长的最小值也会发生变化，则在周长的所有最小值中的最大值为___________．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等即可证明；
（2）在DA延长线上截取，证明即可求解；
（3）作点D关于直线的对称点E，作点D关于直线的对称点F，根据对称性可得出当点E，点M，点N，点F四点共线时，的周长有最小值，连接，交于M，交于N，连接，，，，作于P，再证明，，即有，即可得，，进而有，则可知为直径时，有最大值4，此时有最大值，问题随之得解．
【小问1详解】
∵在等边中，有，
∴，
∴是的平分线；
【小问2详解】
在DA延长线上截取，如图，
在等边中，有，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴四边形的面积即是等边的面积，即，
下面推导等边三角形的面积公式：
正的边长为u，过顶点x作，V为垂足，如图，
在正中，有，，
∵，
∴，，
∴在中，有，
∴正的面积为：，
∵边长，
∴；
【小问3详解】
如图，作点D关于直线的对称点E，作点D关于直线的对称点F，
∵点D，点E关于直线对称，
∴，同理，
∴的周长：，
∴当点E，点M，点N，点F四点共线时，的周长有最小值，
则连接，交于M，交于N，连接，，，，作于P，
即的周长最小值为，
∵点D，点E关于直线对称，
∴，，
∵点D，点F关于直线对称，
∴，，
∴，，
∵，，，
∴，，
∴，，
∴，
∴当有最大值时，有最大值，
∵ 为的弦，半径为2，
∴ 为直径时，有最大值4，
∴最大值为．
即周长的所有最小值中的最大值为．
【点睛】点评：本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，等边三角形的性质，旋转的性质，轴对称的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
27. 已知：如图，在中，，P是斜边AB上的一个动点，，交边于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线上一点，且．设A、P两点的距离为x，的面积为y．
（1）求证：；
（2）y关于x的函数解析式___________；
（3）当与相似时，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）证明和，即可得证；
（2）作，垂足为点H，利用，求出，再利用面积公式进行计算即可；
（3）分或两种情况进行讨论，利用相似三角形的性质进行求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴；
【小问2详解】
解：由
得
∴，
∴，
作，垂足为点H，则：，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即：，
整理得：．
【小问3详解】
解：∵，
∴，，
∴，
∴，

当与相似时，只有两种情形：
或．
当时，，
．
解得：；；
当时，
同理可得：；；
∴当与相似时，的面积为：或．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．熟练掌握三角形的判定方法，证明三角形相似是解题的关键．
28. 在直角坐标系中，矩形的边、在坐标轴上，B点坐标是，M、N分别是边、上的点．将△沿着直线翻折，若点O的对应点是．
（1）①若N与C重合，M是的中点，则的坐标是___________；
②，若翻折后在AC上，求的解析式．
（2）已知M坐标是，若的外接圆与线段BC有公共点，求N的纵坐标n的取值范围．
【答案】（1）①，②
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据折叠的性质证明四边形为正方形，即可得到的坐标；②连接交于点D，证明，利用折叠的性质和相似比求出的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）先确定有一个公共点时，即的外接圆与线段BC相切时，的值，此时的值最小，再根据与点重合时，的值最大，确定范围即可．
小问1详解】
解：①如图1，
在直角坐标系中，矩形的边、在坐标轴上，B点坐标是（4，2），
∴，，
若N与C重合，M是的中点，，
则： ，
由折叠的性质得∶四边形 为正方形，
∴的坐标为；
故答案为：；
②连接交于点D，如图2所示：
∵，
∴，
∴
∵关于对称，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
设的解析式为：，
则： ，解得：，
∴的解析式为： ；
【小问2详解】
解：设的外接圆为⊙G，当⊙G与相切时，如图3所示：
设半径为r，则，
∵M坐标是，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
又∵N是边上的点，
∴．
【点睛】本题考查坐标与图形，折叠的性质，正方形的判定和性质，矩形的性质和三角形的外接圆，待定系数法求一次函数的解析式，是一道综合题．熟练掌握相关知识点，根据题意，正确的画出图形，是解题的关键．