2022-2023学年江苏省无锡市惠山区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2022-2023学年江苏省无锡市惠山区九年级上学期数学期中试题及答案，共38页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意利用特殊角的三角函数的值，求出结果即可．
【详解】解：，
故选C．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数的值，熟记各特殊角的三角函数的值是解题的关键．
2. 一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得，解不等式即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴,
解得．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
3. 如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠BDC＝130°，则∠BOC的度数为（ ）
A. 130°B. 120°C. 110°D. 100°
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆内接四边形的性质得出，再根据圆周角定理即可求出的度数．
【详解】∵四边形内接于，
∴，而，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质的应用，关键是熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质．
4. 下列命题：①邻边之比相等的两个平行四边形相似；②对角线所夹锐角相等的两个矩形相等；③边长相等的两个菱形相似；④任意两个正方形相似．其中真命题个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据相似多边形的定义（如果两个边数相同的多边形对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形）进行证明判断即可．
【详解】解：①邻边之比相等，但是角度不确定，不能证明两个平行四边形相似，是假命题，不符合题意；
②对角线所夹锐角相等的两个矩形相等相似，如图所示：矩形矩形，，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
∵矩形的四个角均为直角，
∴矩形矩形，该命题是真命题，符合题意；
③边长相等的两个菱形，由于角度不确定，不能判断两个菱形相似，是假命题，不符合题意；
④任意两个正方形相似，四个角均为直角，对应边对应成比例，是真命题，符合题意；
故选：B．
【点睛】题目主要考查相似多边形的定义及证明，熟练掌握相似多边形的定义是解题关键．
5. 小明沿斜坡AB上行40m，其上升的垂直高度CB为20米，则斜坡AB的坡度为（ ）
A. 30°B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求斜坡的坡度，关键是斜坡的铅垂直高度和水平长度，根据已知条件，由勾股定理可求出AC的长即可得出结果．
【详解】解:
又
∴斜坡AB的坡度
故选：C．
【点睛】本题主要考查了坡度的概念，涉及到构造直角三角形，用勾股定理求出相应的边长．
6. 如图，已知中，点E是边的中点，连接，交于点F，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质对选项进行判断即可．
【详解】解：连接于交于点，
∵，
故A错误；
∵，
∴，
∵点E是边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
故B错误；
∵，，
∴，即，
故C错误；
∵，
∴，
，
∴，
故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
7. 关于下列一元二次方程，说法正确的是（ ）
A. 的两根之和等于5B. 的两根之积等于1
C. 两根不可能互为倒数D. 中m=0时，两根互为相反数
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系进行判断即可求解．
【详解】A. 的两根之和等于，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，即方程的两根之积等于，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，
∵，，
解得，
∵，两根之积为，
∴方程两根之积不可能互为倒数，故该选项正确，符合题意；
D. 中时，即，此方程无实根，故该选项不正确，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，．一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
8. 如图，是的直径，是的切线，切点是点D，过点A的直线与交于点C，则下列结论错误的是（ ）
A.
B. 如果平分，那么
C. 如果，那么也是的切线
D. 如果，那么
【答案】D
【解析】
【分析】利用圆的半径相等得到，根据切线的性质得，即可判断选项A；由角平分线定义得到，得到，进而推出，故选项B正确；连接，由，，得到，证明，得到，由此判断选项C正确；若，时，，此时，求出，证得，但不垂直，故选项D错误．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的切线，切点是点D，
∴，
∴，
故选项A正确；
如果平分，那么，
∴，
∵，
∴，故选项B正确；
连接，
∵，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵点在上，
∴也是的切线，故选项C正确；
若，时，，
此时，
∴，
∵，
∴，
但不垂直，故选项D错误；
故选：D．
【点睛】此题考查了圆的切线的性质定理，圆的半径相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理的计算，熟练掌握各知识点是解题的关键．
9. 一艘货轮从小岛A正南方向的点B处向西航行到达点C处，然后沿北偏西60°方向航行到达点D处，此时观测到小岛A在北偏东60°方向，则小岛A与出发点B之间的距离为（ ）
A. 20B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】延长 和 交于点，过点的垂线交于点，设，根据，可得关于的方程，可得的值；根据，可得关于的等式，从而可得的值．
【详解】解： 延长 和 交于点 ，过点的垂线交于点，延长过点的垂线交 于点，如图 ：
根据题意可得， ，，，
，，
，可得，，，
，，
， 为等边三角形，
则，
设，
，，，
，
，
根据得 ，即，得 ，即 ，
根据 ，即，
得，得，
故选：B
【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，同时考查直角三角形边长关系，正确作出辅助线是解题的关键．
10. 是的弦，点C在过点B的切线上，且，交于点P．若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先说明，再根据可得，设圆的半径为r，，则， ；然后由勾股定理可得，进而得到，，最后根据余弦的定义即可解答．
【详解】解：∵
∴
∵，
∴，
∴
∵点C在过点B的切线上
∴，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
设圆的半径为r，，则，
在中， ,即，整理得：
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了切线的性质、正切、余弦的定义等知识点，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解答本题的关键．
二、填空题：（本大题共8小题，每题3分，共24分）
11. 若关于x的一元二次方程的一个根是3，则a的值为______．
【答案】6
【解析】
【分析】根据一元二次方程解的定义，即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是3，
∴，
解得：．
故答案：6
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．
12. 如图，已知AB是⊙O的直径，弦于H，若，则图中阴影部分的面积为_______．
【答案】20
【解析】
【分析】根据垂径定理可知，可得出进而得出图中阴影部分面积为的面积，即可得出结果．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，弦于H，
又∵，
∴阴影部分面积
∴阴影部分面积
故答案为：20．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理是解此题的关键．
13. 在平坦的操场上，某一时刻阳光照射下，身高的小明影长，同一时刻附近旗杆影长为，则旗杆高度为_______m．
【答案】15
【解析】
【分析】根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解．
【详解】解：设旗杆高度为，
由题意得，，
解得，
即旗杆高度为，
故答案为：15．
【点睛】本题考查了平行投影，熟记同时同地的物高与影长成正比是解题的关键．
14. 如图，中，，，，若，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】先利用等腰三角形等边对等角证明，进而证明，推出，再根据等腰三角形“三线合一”得出，等量代换即可得出．
【详解】解：，
，即，．
又，，
．
，
．
，，
，
，
，
即．
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是证明．
15. 如图，中，，，已知，，则______．
【答案】10
【解析】
【分析】根据题意得出，则，设，则，根据三角形面积求出，，进而得出，运用三角形面积公式计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴设，则，
∵，即，
∴，即，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形，读懂题意，根据锐角三角函数求出三角形的各边长是解本题的关键．
16. 某型号电动汽车，第一年充满电可行驶500km，第三年充满电可行驶405km，则该型号电动汽车续航里程平均每年衰减的百分比为_______．
【答案】10%
【解析】
【分析】设该型号电动汽车续航里程平均每年衰减的百分比为为x,根据题意列出方程式即可求解．
【详解】设该型号电动汽车续航里程平均每年衰减的百分比为x，根据题意可得：，
解得：或（不符合题意，舍去）
∵
故答案为：10%．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出电动汽车续航里程衰减的方程，解方程即可求解．
17. 如图，AB、DE是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC=20°，点D从点C出发沿顺时针方向绕圆心O旋转α°（0＜α＜180），当α=______时，直径DE在△ABC中截得的三角形与△ABC相似．
【答案】50、70或160
【解析】
【分析】分三种情况，当，，时，直径DE在△ABC中截得的三角形都与△ABC相似，既如图1，2，3，数形结合即可得出结果．
【详解】解：如图1所示：当点D从点C出发沿顺时针方向绕圆心O旋转到时，DE交BC于点F，连接OC，
是的直径，
故当时， 直径DE在△ABC中截得的三角形与△ABC相似．
如图2所示：当点D从点C出发沿顺时针方向绕圆心O旋转到时，DE与BC交于点F，连接OC，
是的直径，
故当时， 直径DE在△ABC中截得的三角形与△ABC相似．
如图3所示：当点D从点C出发沿顺时针方向绕圆心O旋转到时，DE与AC交于点F，连接OC，
是的直径，
故当时， 直径DE在△ABC中截得的三角形与△ABC相似．
故答案为：50、70或160．
【点睛】本题主要考查了三角形相似的知识，涉及到图形的旋转，分三种情况讨论，数形结合是解此题的关键．
18. 如图，中，，中,，，直线与直线交于点F．现将绕点C旋转1周，在旋转过程中， ______°，线段长度的最大值是______cm．
【答案】 ①. 90 ②.
【解析】
【分析】先证明 ，推出，再结合以及即可解答；由，点F在的外接圆上运动且直径为，当F与点B重合时，有最大值，求出的长即可．
【详解】解：∵，
∴,即
在 和中
,,
∴
∴
∵
∴
如图，∵
∴点F在的外接圆上运动且直径为
当F与点B重合时，有最大值
∵中，
∴
∴的最大值为．
故答案为90，．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆的内接四边形的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解答本题的关键．
三、解答题：（本大题共有10小题，共96分）
19. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将，，代入，再计算乘法与加法；
（2）将，，代入，然后根据二次根式的性质，非0数的0指数幂等于1，乘积等于1的两个数互为倒数化简，最后有理数无理数分别合并．
小问1详解】
；
【小问2详解】
．
【点睛】本题主要考查了特殊角锐角三角函数，实数的运算．解决问题的关键是熟练掌握特殊角的锐角三角函数值，实数混合运算的顺序，二次根式的性质，0指数幂定义，倒数的定义．
20. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）根据配方法解一元二次方程；
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【小问1详解】
，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，；
【小问2详解】
，
∴，
∴，
解得：，
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
21. 如图，四边形中，在边上，，，．
（1）求证：；
（2）已知面积为3，求四边形的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）四边形 面积为21
【解析】
【分析】（1）利用，，得到，，即可证明；
（2）已知，，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得到，再根据平行线间距离相等，得到，三个面积相加即可得到四边形的面积·
【小问1详解】
证明：，
，，
，
，
，
在和中，
，
；
【小问2详解】
，，
，
，
，
，
，
中边上的高和中边上的高相等，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线间距离相等，熟练掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题关键．
22. 如图，中，，点O在线段上，与相切于点E．
（1）求证：与相切；
（2）已知，当与也相切时，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）过点O作于点F，连接，根据等腰三角形的性质可得平分，再由切线的性质可得，然后根据角平分线的性质定理，可得，即可求证；
（2）根据切线长定理可得，再由勾股定理可得，从而得到，在中，由勾股定理，即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，过点O作于点F，连接，
∵，
∴平分，
∵与相切于点E，
∴，
∵，
∴，
即为的半径，
∴与相切；
【小问2详解】
解：如图，
根据题意得：与相切于点D，
∵与相切于点E，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
设的半径为r，则，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
解得：，
即的半径为．
【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，切线长定理，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定和性质，切线长定理，勾股定理，等腰三角形的性质是解题的关键．
23. 如图，格点图形中每一个最小正方形的边长为1单位长度，的顶点都在格点上．
（1）在图中建立平面直角坐标系，使得原点为点O，点坐标分别为；
（2）以点O为位似中心，画出△ABC的位似三角形，使得与相似比为；
（3）在边上求作两点，使得将△ABC面积三等分．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据点坐标得出其对称轴的位置即可；
（2）根据位似的性质以及相似比为画出图形即可；
（3）以点为位似中心，位似比分别为作的位似图形，然后找出的三等分点，连接点与两个三等分点与交于两点，连接，则即为所作．
【小问1详解】
解：如图，坐标轴即为所作；
【小问2详解】
如图：即为所作；
【小问3详解】
如图，即为所作．
【点睛】本题考查了坐标与图形，作图－位似变换，相似三角形的性质，位似图形的性质，熟练掌握位似的性质是解本题的关键．
24. （1）如图1，直线，点A、B在直线a上．运用无刻度的直尺和圆规在图1中作，使得经过点A、B，并且与直线b相切于点C；
（2）点M是直线b上异于点C的任意点，则 （横线上填“”或“”）．
（3）如图2，在平面直角坐标系中，点C坐标为，点D坐标为，点N在x轴上.当最大时，点N的坐标是 ．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）由经过点A、B可知圆心在的垂直平分线上，作线段的垂直平分线，交直线b于点C，可得切点C的位置，然后作的垂直平分线交的垂直平分线于点O，可得圆心O的位置，进而作出即可；
（2）如图，连接与交于点D，连接，，根据圆周角定理和三角形外角的性质可得，，然后可得答案；
（3）如图2，过点C、D作，且与x轴相切，由（2）可知，当点N运动到切点的位置时，最大，此时轴，求出直线、的解析式，可设，然后根据得出方程，求出x的值即可得到点N的坐标．
【详解】解：（1）如图，作线段的垂直平分线，交直线b于点C，连接，，作的垂直平分线交线段的垂直平分线于点O，然后以点O为圆心，长为半径作圆，则即为所求；
理由：根据线段垂直平分线的性质可得，，
∴点A、B、C在同一个圆上，
∵，，
∴垂直于直线b，
∵是半径，
∴与直线b相切于点C；
（2）如图1，连接与交于点D，连接，，
∵，，
∴，
故答案为：；
（3）如图2，过点C、D作，且与x轴相切，
由（2）可知，当点N运动到切点的位置时，最大，此时轴，
∵，
∴圆心O在的垂直平分线上，
设的中点为E，即垂直平分，
∵点C坐标为，点D坐标为，
∴点E坐标为，
设直线的解析式为，
代入C，D得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，
∴设直线的解析式为，
代入E 得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∵，，
∴，
整理得：，
∴或（舍去），
∴点O的横坐标为，
∵轴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，尺规作圆，圆周角定理，切线的性质，一次函数的应用，勾股定理的应用等知识，熟练掌握圆周角定理和切线的性质是解题的关键．
25. 某商店销售一种服装，经市场调研发现，该服装销量y（件）与售价x（元/件）之间存在如图像中折线A-B-C所示的函数关系．已知该服装进货价为42元/件，x的取值范围为55≤x≤65．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式及相应取值范围；
（2）若以相同价格销售一批服装获得利润12000元，求每件服装的售价．
【答案】（1）
（2）每件服装的售价57元或62元
【解析】
【分析】（1）由图象可知；当时，；当时，设,将和代入解方程组即可求解；
（2）根据题意列方程，解方程即可求得结论．
【小问1详解】
由图象可知；当时，；
当时，设,
将和代入上式可得：
解得：
∴y与x之间的函数关系式，
综上所述：y与x之间的函数关系式：
【小问2详解】
当时，，
解得：，
当时，，
解得：或（舍去）
答：每件服装的售价57元或62元．
【点睛】本题考查一次函数和一元二次方程的应用，得到服装销量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系式是解题的关键．
26. 如图是某小区地下停车场入口处栏杆的示意图，、分别表示地面和墙壁的位置，表示垂直于地面的栏杆立柱，、是两段式栏杆，其中段可绕点O旋转，段可绕点A旋转.图1表示栏杆处于关闭状态，此时O、A、B在与地面平行的一直线上，并且点B接触到墙壁；图2表示栏杆处于打开状态，此时，段与竖直方向夹角为．已知立柱宽度为，点O在立柱的正中间，，，．
（1）求栏杆打开时，点A到地面的距离；
（2）为确保通行安全，要求汽车通过该入口时，车身与墙壁间需至少保留的安全距离，问一辆最宽处为，最高处为的货车能否安全通过该入口？（本小题中 取）
【答案】（1）点A到地面的距离为
（2）货车不能安全通过该入口
【解析】
【分析】（1）过点作,垂足为点，利用三角函数求得，的长度即为点A到地面的距离；
（2）作,交于点,使，利用三角函数求出，，在高度正好的情况下，求得货车靠墙行驶需要宽度超过了的长度，说明不能安全通过．
【小问1详解】
解：如图，过点作,垂足为点
则点A到地面的距离为
【小问2详解】
解：如图，作,交于点,使
若货车靠墙行驶需要宽度为
则货车不能安全通过该入口.
【点睛】本题考查了与解直角三角形相关的应用题，掌握三角函数并能解决实际问题是解题关键．
27. 如图，矩形中，，，点是边中点，将沿翻折得，与边交于点，点在边上，将沿翻折得，点恰好在边上．
（1）求的长；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）过作于，可得四边形为矩形，则，，由折叠性质和矩形的性质可得，，进而得到，利用勾股定理求得和即可解答；
（2）过点作于，利用等面积法求得，再利用正弦定义求解即可．
【小问1详解】
解：过作于，则，
∵四边形是矩形，
∴， ，
∴四边形是矩形， ，
∴，，
∵点是的中点，，
∴，
由折叠性质得：，，
∴，
在中，，
设，则，
在中，，
解得：，即，
∴；
【小问2详解】
解：过点作于，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、折叠性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正弦，熟练掌握矩形的判定与性质，（1）中证得是关键；（2）中利用等面积法求得是解答的关键．
28. 在Rt△ABC中，AC＝BC，将线段CA绕点C旋转α（0°＜α＜90°），得到线段CD，连接AD、BD．
（1）如图1，将线段CA绕点C逆时针旋转α，则∠ADB的度数为 ；
（2）将线段CA绕点C顺时针旋转α时
①在图2中依题意补全图形，并求∠ADB度数；
②若∠BCD的平分线CE交BD于点F，交DA的延长线于点E，连结BE．用等式表示线段AD、CE、BE之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）135°
（2）（2）①补全图形见解析；∠ADB=45°；②2BE-AD=CE．理由见解析
【解析】
【分析】（1）由题意得点A、D、B都在以C为圆心，CA为半径的⊙C上，利用圆内接四边形的性质即可求解；
（2）①根据题意补全图形即可；同（1），利用圆周角定理即可求解；
②过点C作CH⊥EC于点C，交ED的延长线于点H，证明BE=DE，△CEH是等腰直角三角形，推出EH=2BE-AD，利用等腰直角三角形的性质即可证明结论．
【小问1详解】
解：由题意得：CA=CD=CB，
∴点A、D、B都在以C为圆心，CA为半径的⊙C上，如图，
在优弧上取点G，连接AG，BG，
∵Rt△ABC中，∠BCA=90°，
∴∠BGA=45°，
∵四边形ADBG是圆内接四边形，
∴∠ADB=180°-45°=135°，
故答案为：135°；
【小问2详解】
①补全图形，如图：
由题意得：CA=CD=CB，
∴点A、D、B都在以C为圆心，CA为半径的⊙C上，如图，
∵Rt△ABC中，∠BCA=90°，
∴∠ADB=45°；
②2BE-AD=CE．理由如下：
过点C作CH⊥EC于点C，交ED的延长线于点H，如图：
∵CD=CB，CE是∠BCD的平分线，
∴CE是线段BD的垂直平分线，
∴BE=DE，∠EFD=90°，
由①知∠ADB=45°，
∴∠DEF=45°，
∴△CEH是等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠H=45°，CE=CH，
∵CD=CA，
∴∠CAD=∠CDA，则∠CAE=∠CDH，
∴△AEC≌△DHC，
∴AE=DH，
∴EH=2ED-AD=2BE-AD，
∵△CEH是等腰直角三角形，
∴2BE-AD=CE．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和等腰直角三角形解决问题．