2022-2023学年江苏省无锡市江阴市九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2022-2023学年江苏省无锡市江阴市九年级上学期数学期末试题及答案，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列方程为一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，根据定义依次判断．
【详解】解：A、符合定义，符合题意，故选项正确；
B、含有两个未知数不符合定义，不符合题意，故选项错误；
C、未知数的最高次数是3不符合定义，不符合题意，故选项错误；
D、含有分式不符合定义，不符合题意，故选项错误；
故选：A．
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟记定义并正确判断是解题的关键．
2. 已知内接于⊙，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆周角定理可直接求解．
【详解】解：内接于⊙，
是所对的圆周角，是所对的圆心角，
，
故选B．
【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是掌握：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
3. 已知，相似比为，且的周长为，则的周长为（ ）
A. 9B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据相似比等于周长比即可得到答案；
【详解】解：∵，相似比为，且的周长为，
∴，
故选B．
【点睛】本题题考查相似图形的相似比：相似图形周长比等于相似比．
4. 某射击爱好者的5次射击成绩（单位：环）依次为：7，9，10，8，9，则下列结论正确的是（ ）
A. 平均数是9B. 中位数是8.5C. 众数是9D. 方差是1.2
【答案】C
【解析】
【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的定义逐项判断即可得出答案．
【详解】解：A，平均数为，故该选项错误；
B，该组数据从小到大排列为7，8，9，9，10，中间的数为9，即中位数是9，故该选项错误；
C，该组数据中9出现的次数最多，因此众数是9，故该选项正确；
D，，因此方差是1.04，故该选项错误；
故选C．
【点睛】本题考查平均数、中位数、众数、方差的计算，掌握各项的定义或计算方法是解题的关键．
5. 抛物线 的顶点坐标是（ ）
A. （−2,1）B. （2,1）C. （−2,−1）D. （2,−1）
【答案】B
【解析】
【分析】利用配方法化成顶点式求解即可．
【详解】∵ ,
∴顶点坐标为 ,
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质,化成顶点解析式是求抛物线的顶点坐标的一种方法,也可以直接代入顶点坐标公式．
6. 下列说法正确的是（ ）
A. 等弧所对的圆心角相等B. 相等的弦所对的弧相等
C. 过三点一定可以确定一个圆D. 垂直于半径的直线是圆的切线
【答案】A
【解析】
【分析】根据弧，弦，圆心角的关系，圆的确定以及切线的判定，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、等弧所对的圆心角相等，选项正确，符合题意；
B、弦对应的弧有优弧和劣弧，相等的弦所对的弧不一定相等，选项错误，不符合题意；
C、过不在直线上的三点可以确定一个圆，选项错误，不符合题意；
D、经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，选项错误，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查弧，弦，圆心角的关系，圆的确定方法以及切线的判定．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
7. 如图，等腰中，，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点作，交于点，利用三线合一，求出，再利用，求解即可．
【详解】解：过点作，交于点，
则：
∴；
故选B．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，以及求角的余弦值．熟练掌握等腰三角形三线合一，锐角三角函数的定义，是解题的关键．
8. 并联电路中两个电阻的阻值分别为、，电路的总电阻R和、满足，已知R和，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用，求出，再求出倒数即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查异分母的分式的加减运算．熟练异分母分式的加减法则，是解题的关键．
9. 已知关于x的一元二次方程，其中一根是另一根的4倍，则a的值为（ ）
A. 或5B. 或C. D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根据两根之和为，以及两根之间的数量关系，求出两个根，再根据两根之积等于，求出a的值即可．
【详解】解：设方程的两个根为，，
由根与系数的关系可得：，即：，
解得：，
∴，
∵，
∴；
故选D．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系．熟练掌握两根之和等于，两根之积等于，是解题的关键．
10. 如图，正方形中，E为边上一点，连接，，垂足为点G，交于点F，点E、H关于对称，延长交边于点M．以下结论：①；②；③；④的最大值为．正确的结论个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】证明，即可对结论①作出判断；过点B作的平行线交的延长线于N，首先证明，然后根据平行线分线段成比例定理得出，再根据，进行解答，即可对结论②作出判断；连接、交于点O，点P为的中点，连接、，根据正方形的性质可知，，，根据直角三角形斜边上的中线性质得出，，，可得，可证得点D、G、F、C四点在同一个圆上，根据圆周角定理得出，当点A、E两点重合时，点B、F两点重合，此时A、G两点重合，此时，即可对结论③作出判断；过点E作交于K，则，，根据的长不变，得当的长有最大值时，有最大值，当C、M两点重合时，的长有最大值， 此时，在中，，，，可得，设，由勾股定可得 ，由全等三角形的性质可得，，由结论②可知，，可求得的最大值为 ，的最大值为，据此即可对结论④作出判断；综合上述情况进行解答，即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
，，
，
于G，
，
，，即，
在和中，
，
，
，，故结论①正确；
过点B作的平行线交的延长线于N，如图：
∵点E、H关于对称，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，故结论②正确；
连接、交于点O，点P为的中点，连接、，如图：
根据正方形的性质可知，，，
于G，
，
在中，，点P为的中点，
，
在中，，点P为的中点，
，
，
以点P为圆心，以的长为半径画，则点D、G、F、C四点在同一个圆上，
，
即，
当点A、E两点重合时，点B、F两点重合，此时A、G两点重合，
∴此时，
，故结论③正确；
过点E作交于K，如图：
，，
，
的长不变，
∴当的长有最大值时，有最大值，
当C、M两点重合时，的长有最大值，如图：
此时，中，，，，
，
设，
在中，，，
，
，
，
，
由结论②可知，，
可得，，
，
的最大值为 ，
的最大值为，
∴此时，，
的最大值为，故结论④正确；
综上所述，结论正确的有4个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，圆周角定理，四点共圆，解答本题的关键是掌握利用全等三角形的性质证明线段相等的思路与方法．
二、填空题（本大题共8小题，不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11. 若，且，则的值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】将代入到即可求解．
【详解】解：若，且，
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式的化简求值，属于基础题，正确计算是解题的关键．
12. 直接写出一个二次函数表达式，使其图象开口向下，且对称轴是y轴：______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】对于二次函数，由图象开口向下可知，由对称轴是y轴可知，由此可解．
【详解】解：对于二次函数，
当图象开口向下时，
当对称轴是y轴时，
因此符合条件的二次函数表达式可以是：，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握：对于，时图象开口向下，时图象开口向上，对称轴为．
13. 一只蜘蛛爬到如图所示的一面墙上，停留位置是随机的，则停留在阴影区域上的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用阴影部分的面积比上总面积，即可得解．
【详解】解：由图可知：阴影部分的面积占到总面积的，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查概率的计算．熟练掌握概率公式，是解题的关键．
14. 已知圆锥的底面半径是1cm，母线长为3cm，则该圆锥的侧面积为_____cm2．
【答案】3π．
【解析】
【详解】试题分析：圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入，∴圆锥的侧面积=2π×1×3÷2=3π．
考点：圆锥侧面积的计算．
15. 在中，若，，都是锐角，则的度数是_______．
【答案】##度
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值求得，根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵ ，，都是锐角，
∴，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．
16. 如图，⊙是的内切圆，切点分别为D、F、G，，，则的度数是______°．
【答案】50
【解析】
【分析】连接，，由三角形内角和定理可求得，由切线的性质可知：，，从而得到，故可求得，由圆周角定理可求得．
详解】解：如图，连接，，
∵，，
∴，
∵是圆O的切线，
∴，
同理，
∴，
∴，
∴，
故答案为：50．
【点睛】本题主要考查的是切线的性质、三角形、四边形的内角和、圆周角定理，求得的度数是解题的关键．
17. 如图，中，，，，以C为圆心，为半径的圆弧分别交、于点D、E，则图中阴影部分面积之和为______．
【答案】
【解析】
【分析】连接，过点作，过点作，利用阴影部分的面积等于的面积加上扇形的面积减去再减去扇形的面积，即可得解．
【详解】解：∵，，，
∴，，
连接，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
∵以C为圆心，为半径的圆弧分别交、于点D、E，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
，，
∴图中阴影部分面积之和为；
故答案为：．
【点睛】本题考查求阴影部分的面积，同时考查了等边三角形的判定和性质，含的直角三角形，扇形的面积．利用割补法，求阴影部分的面积，是解题的关键．
18. 如图，已知等腰中，，，P为三角形内（含边）一点，过点P分别作、、的垂线，垂足分别为D、E、F．若，则长为______；若，则点P运动的路径长为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）如图，当时，连接，，可证四边形是正方形，再利用证明，，得出，，设，则，再结合，即可求出长；
（2）作的角平分线交于点M，过点M作交于点H，在上取一点P，过点P分别作、、的垂线，垂足分别为D、E、F，过点M作．首先证明，再证，得出点P运动的轨迹为线段，求出线段即可解决问题．
详解】解：（1）如图，当时，连接，．
，，，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
在和中，
，
，
，
同理可证．
设，则，，，
，，
．
又，
，
解得，即；
（2）如图，作的角平分线交于点M，过点M作交于点H，在上取一点P，过点P分别作、、的垂线，垂足分别为D、E、F，过点M作．
等腰中，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
四边形是矩形，
，
．
平分，，，
．
，，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，
点P运动的轨迹为．
设，则，，
，
，
，
，
．
即点P运动的路径长为．
故答案为：，．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理等，难度较大，解题的关键是通过添加辅助线找到点P的运动轨迹．
三、解答题（本大题共10小题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）计算：；
（2）求：中锐角的值．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）先化简各式，再进行加减计算即可；
（2）根据特殊角的三角函数值，进行计算即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2），
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值．熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键．
20. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）通过因式分解把化为，即可求解；
（2）先移项得，再提公因式化为，即可求出答案．
【小问1详解】
解：，
，
∴或，
∴，；
【小问2详解】
解：，
，
，
∴或，
∴，．
【点睛】本题考查解一元二次方程，根据题目选择合适的方法是解题的关键．
21. 已知二次函数的图像过点，．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）将此二次函数的图像沿对称轴方向平移，平移后的图像的顶点恰好在x轴上，求平移的距离．
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）根据平移后的图像的顶点恰好在x轴上，得到新的抛物线的顶点的纵坐标为0，进行计算即可．
【小问1详解】
解：∵二次函数的图像过点，，
∴，解得：；
∴抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵将此二次函数的图像沿对称轴方向平移，平移后的图像的顶点恰好在x轴上，
∴新的抛物线的解析式为：，即将原抛物线向下平移个单位，
∴平移的距离为：4．
【点睛】本题考查求二次函数解析式，以及二次函数图像的平移．熟练掌握待定系数法求解析式，以及抛物线的平移规则，是解题的关键．
22. 某市为了解初中生每天完成作业的时间，在全市范围内随机抽取部分学生进行抽样调查（时长用x表示，单位是小时，共分4组，A：，B：，C：，D：），统计结果如图所示：
（1）这次抽样共调查了______名学生，并补全条形统计图；
（2）所抽取的这部分学生每天完成作业时长的中位数应位于______组；
（3）计算扇形统计图中表示每天完成作业时长在B组的对应的扇形圆心角度数为______°；
（4）若全市共有40000名初中生，请据此估计全市范围内初中生每天完成作业时长不超过2小时的学生人数．
【答案】（1），图见解析
（2）
（3）
（4）估计全市范围内初中生每天完成作业时长不超过2小时的学生人数为人
【解析】
【分析】（1）利用组的人数除以所占的百分比，求出总人数，利用总人数乘以组所占的百分比，求出组人数，补全条形图即可；
（2）根据数据的个数，确定中间数据所在的位置，即可得出结论；
（3）组所占的百分比，求出圆心角的读数；
（4）利用样本中不超过2小时的学生的百分比，进行计算即可．
【小问1详解】
解：（名）；
故答案为：；
组人数为：（名）；补全条形图如下：
【小问2详解】
解：总共有120个数据，排序后，中位数是第60位和第61位两个数据的平均数，第60位和第61位两个数据都在组，故中位数位于组；
故答案为：；
【小问3详解】
解：；
故答案为：．
【小问4详解】
解：（人）；
答：估计全市范围内初中生每天完成作业时长不超过2小时的学生人数为人．
【点睛】本题考查条形图和扇形图的综合应用，中位数以及利用样本估计总体数量．从统计图中有效的获取信息，利用频数除以百分比求出总数，是解题的关键．
23. 某班级召开主题班会，准备从候选人中随机选主持人，候选人由甲、乙2名男生和丙、丁2名女生共4人组成．
（1）若选1名主持人，请直接写出甲被选中的概率______；
（2）若选2名主持人，求所选主持人恰好是1名男生和1名女生的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程，并求出结果）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据概率公式可直接得出答案；
（2）利用画树状图法列出所有等可能的结果，再从中找出1男1女的情况数，最后利用概率公式计算即可．
【小问1详解】
解：从4人中选1人，甲被选中的概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：由题意画树状图：
由图可知，共有12种等可能的情况，其中1男1女的情况有8种，
因此所选主持人恰好是1名男生和1名女生的概率为：．
【点睛】本题考查列表法或画树状图法求概率，能够通过列表或画树状图列出所有等可能的结果是解题的关键．
24. 如图，在中，，E为上一点，，点F为中点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一可得，，结合即可证明；
（2）先解求出，再根据勾股定理求出，进而可得，再解求出，即可求解．
【小问1详解】
证明：，点F为中点，
，
，
，
又，
；
【小问2详解】
解：在中，，，
，
，
点F为中点，
，
在中，，，
，
，
，
解得，
．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理等，难度一般，解题的关键是根据等腰三角形三线合一的性质得出．
25. 如图，是圆的内接三角形．
（1）请在图1中过点作的垂线，交圆于点，在上作点，使得；（作图使用没有刻度的直尺和圆规，不写作法，保留作图痕迹，并在图中标注字母、）
（2）在（1）中所作的图形中，若，，则圆的半径为______．（如需画草图，请使用图2）
【答案】（1）图见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）以点为圆心，的长为半径，画弧，交于点，分别以为圆心，以的长为半径，画弧，交于点，连接，交圆于点，以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，以点为圆心，的长为半径，画弧，与交前弧于点，连接交圆于点，点与点即为所求；
（2）连接，交于点，根据圆周角定理，可得，，进而得到，得到为圆的直径，根据等角对等弦，得到，利用勾股定理求出，即可得出结论．
【小问1详解】
解：如图所示，点，点即为所求；
【小问2详解】
解：连接，交于点，
则：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为圆的直径，
由勾股定理，得：，
∴圆的半径为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查作图—基本作图，圆周角定理．熟练掌握垂线和作角等于已知角的作图方法，以及同弧所对的圆周角相等，等弧对等弦，是解题的关键．
26. 某校为表彰“学生节”中表现优异的学生，计划购买古典诗词和散文两类图书作为奖品．已知古典诗词类图书每本60元，散文类图书每本40元．为弘扬中国传统文化，商家决定对古典诗词类图书推出销售优惠活动，但是散文类图书售价不变．若购买古典诗词类图书不超过40本时，均按每本60元价格销售；超过40本时，每增加2本，单价降低1元．
（1）如果购买古典诗词类图书46本，则每本古典诗词类图书的单价是______元；
（2）如果该校共购进图书100本，用去购书款4750元．求该校购进古典诗词类图书多少本？
【答案】（1）57 （2）该校购进古典诗词类图书50本
【解析】
【分析】（1）根据“超过40本时，每增加2本，单价降低1元”即可求解；
（2）该校购进古典诗词类图书x本，则购买散文类图书本，分和两种情况分别列方程，即可求解．
【小问1详解】
解：由题意知， 购买古典诗词类图书46本，则每本古典诗词类图书的单价是：（元），
故答案为：57；
【小问2详解】
解：该校购进古典诗词类图书x本，则购买散文类图书本．
若，则，
化简得，
解得或（舍去）；
若，则，
解得（舍去）；
综上可知，该校购进古典诗词类图书50本．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，根据题意列出方程是解题的关键，注意第二问需分情况讨论．
27. 已知：在矩形中，，．
（1）如图1，当时，以为直径的交于M、N两点，求此时的长；
（2）如图2，若经过A、B两点，且与相切，当其半径不大于时，求m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）过点作，交于点，连接，利用垂径定理进行求解即可；
（2）根据经过A、B两点，且与相切，得到圆心在的中垂线上，作的垂直平分线交于点，分两种情况讨论求解即可．
【小问1详解】
解：过点作，交于点，连接，
则：，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴；
【小问2详解】
∵过、两点，故点在的垂直平分线上，作的垂直平分线交于点，交于点，点在直线上，
①当半径等于时，连接，如图：
∵，
∴，
∴；
②当O在矩形外部，此时半径小于3，连接，如下图：
由图可知：，
∴．
【点睛】本题考查垂径定理和切线的性质．熟练掌握垂径定理，是解题的关键．
28. 如图，在平面直角坐标系中，，，点P为线段上一个动点，于点D，交于点E，以、为边作平行四边形，点O关于的对称点是．
（1）当点落在上时，求平行四边形的面积；
（2）若直线恰好将平行四边形的面积分成的两部分，求此时的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据，，易得为等腰直角三角形，进而得到均为等腰直角三角形，得到，当点落在上时，易得：点与点重合，根据对称，得到，设，得到，在中，利用勾股定理求出的值，求出的长，过点作，利用勾股定理求出的长，利用求出平行四边形的面积即可；
（2）根据直线恰好将平行四边形的面积分成的两部分，得到直线经过的中点，延长交于点，推出，过点作轴，交直线与点，过点作轴，垂足为，证明，利用相似比，求出的长，勾股定理求出的长，利用平行和对称得到，进而得到，利用即可得到的长．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵于点D，交于点E，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵点O关于的对称点是，，
∴当点落在上，，
∵，
∴点与点重合，如图所求：
设，则：，
在中，，即：，
解得：；
∴，
过点作，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵直线恰好将平行四边形的面积分成的两部分，
则：直线经过的中点，如图所示，设中边上的高为，
则：，，
∴四边形的面积等于，
即：直线将平行四边形面积分成的两部分；
延长交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
由（1）知：，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
过点作轴，交直线与点，过点作轴，垂足为，
则：，，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴，
∵点O关于的对称点是，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查坐标与对称，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．本题的综合性强，难度大，根据题意，确定动点和的位置，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．