2022-2023学年天津市东丽区九年级上学期数学期中考试卷及答案

这是一份2022-2023学年天津市东丽区九年级上学期数学期中考试卷及答案，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列给出的方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A. x（x﹣1）＝6B. x2+＝0C. （x﹣3）（x﹣2）＝x2D. ax2+bx+c＝0
【答案】A
【解析】
【分析】一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】A. 该方程化简为选x2-x-6=0符合一元二次方程的定义，所以它是一元二次方程，故本选项正确；
B. 该方程不是整式方程，故本选项错误；
C. 该方程中化简未知数x的最高次数是1，所以它不是一元二次方程，故本选项错误；
D. 该方程中要规定a≠0，所以它不是一元二次方程，故本选项错误；
故答案选：A.
【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的定义，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的定义.
2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义，进行判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、中心对称图形，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查中心对称图形的识别．熟练掌握中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转，与自身完全重合，是解题的关键．
3. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平移的规律进行求解即可得答案.
【详解】将二次函数的图象向右平移2个单位，可得：
再向下平移3个单位，可得：
故答案为：C.
【点睛】本题考查了平移的规律：上加下减，最加右减，注意上下平移动括号外的，左右平移动括号里的.
4. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把代入方程，得出，然后解关于a的方程后利用一元二次方程的定义确定满足条件的a的值．
【详解】解：把代入方程
得，解得，，
而，
所以．
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
5. 抛物线的顶点坐标是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】∵y=2x2+1=2（x-0）2+1，
∴抛物线的顶点坐标为（0，1），
故选B．
6. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转度得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为（ ）
A. 1.6B. 1.8C. 2D. 2.6
【答案】A
【解析】
【分析】由将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上，可得AD=AB，又由∠B=60°，可证得△ABD是等边三角形，继而可得BD=AB=2，则可求得答案．
【详解】由旋转性质可知，，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】此题考查旋转的性质，解题关键在于利用旋转的性质得出AD=AB
7. 二次函数y=2x2－8x+1的最小值是( )
A. 7B. －7C. 9D. －9
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用配方法求出二次函数最值进而得出答案．
【详解】
∴当x=2时，y有最小值-7
故选B
8. 受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从元月份的300万元，连续两个月降至260万元，设平均降低率为x，则可列方程（ ）
A. 300(1-x)2＝260 B. 300(1-x2)＝260 C. 300(1-2x)＝260 D. 300(1＋x)2＝260
【答案】A
【解析】
【分析】根据该企业元月份及经过两个月降低后的生产总值，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：由题意可得，元月份为300万元，2月份为300（1-x），3月份为300（1-x）2=260．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9. 一元二次方程配方后可化为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先把-1移到方程的右边，然后方程两边都加4，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式．
【详解】解：
故选C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成(n≥0)的形式，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
10. 如图，以某网格线所在直线建立平面直角坐标系，将△ABC绕点P旋转180°得到△DEF，已知点A（2，-1），点P的坐标为（ ）
A. （-2，2）B. （2，-2）C. （1，-3）D. （-3，1）
【答案】C
【解析】
【分析】先根据点A作标，利用平移找到坐标原点，建立平面直角坐标系，确定点D的坐标，然后根据旋转性质，点P为AD的中点，利用中点坐标公式求解即可．
【详解】根据点A（2，-1）先作平移两个单位，再向上平移一个单位得坐标原点，建立如图平面直角坐标系，点D（0，-5），
点P是旋转中心，
∴P是AD连线中点，
∴P点的横坐标为，纵坐标为，
∴点P坐标为（1，-3）．
故选择C．
【点睛】本题考查图形与坐标，平移性质，旋转性质，掌握图形与坐标，平移性质，旋转性质是解题关键，本题难度不大是常考题．
11. 若，，为二次函数的图像上的三点，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先计算抛物线的对称轴，在计算各点与对称轴的水平距离，根据抛物线开口向上，距离越大，函数值也越大比较即可．
【详解】解：∵，
∴对称轴为直线，且，
∵，，，
∴点A到对称轴直线的距离为，
点B到对称轴直线的距离为，
点C到对称轴直线的距离为，
∵，
∴，
根据抛物线开口向上，离对称轴越近，函数值越小，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线的增减性，熟练掌握抛物线开口向上，离对称轴越近，函数值越小是解题的关键．
12. 如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点．下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论个数为（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，进而判断①；根据对称轴0，
∵对称轴在y轴右边，
∴，即b0，故③正确；
当x=-1时，抛物线过x轴，即a-b+c=0，
∴b=a+c，
又2a+b>0，
∴2a+a+c>0，即3a+c>0，故④正确；
故答案选：B．
【点睛】此题考查二次函数图像位置与系数的关系，数形结合是关键．
二、填空题（本大题共6小题，共18．0分）
13. 方程x2＝4的解是_____．
【答案】
【解析】
【分析】直接运用开平方法解答即可．
【详解】解：∵x2＝4
∴x＝=．
故答案为x=．
【点睛】本题主要考查了运用开平方法求解一元二次方程，牢记运用开平方法求的平方根而不是算术平方根是解答本题的关键，也是解答本题的易错点．
14. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+3x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是_____．
【答案】且
【解析】
【详解】试题解析：由题意知，
∵方程有实数根，

∴且
故答案为且
15. 有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了______个人．
【答案】12
【解析】
【分析】设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，列方程求解
【详解】解：设平均一人传染了x人，
x+1+（x+1）x=169
解得：x=12或x=-14（舍去）．
∴平均一人传染12人．
故答案为：12．
【点睛】本题考查理解题意的能力，关键是看到两轮传染，从而可列方程求解．
16. 如图，抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（4，0），则点Q的坐标为__________．
【答案】（，0）
【解析】
【详解】∵抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，
∴点P和点Q关于直线对称，
又∵点P的坐标为（4，0），
∴点Q的坐标为（-2，0）．
故答案为（-2，0）．
17. 如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，，将绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点的坐标是______
【答案】
【解析】
【分析】作轴于H，由题可得，即可求出和，由第二象限点的特征横坐标为负数纵坐标为正数即可
【详解】解：如图，作轴于H．
由题意：，
∴，
∴， ，
∴，
∴ ．
【点睛】本题考查旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
18. 如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据点O与点A的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出点P的坐标，过点P作PM⊥y轴于点M，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于四边形NPMO的面积，然后求解即可．
【详解】过点P作PM⊥y轴于点M，设PQ交x轴于点N，
∵抛物线平移后经过原点O和点A（﹣6，0），
∴平移后的抛物线对称轴为x=﹣3．
∴平移后的二次函数解析式为：y=（x+3）2+h，
将（﹣6，0）代入得出：0=（﹣6+3）2+h，解得：h=﹣．
∴点P的坐标是（－3，﹣）．
根据抛物线对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，
∴S=，
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数的问题，根据二次函数的性质求出平移后的抛物线的对称轴的解析式，并对阴影部分的面积进行转换是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 解下列方程：
（1）x2+2x﹣4＝0（配方法）；
（2）3x2﹣6x﹣2＝0（公式法）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）先把常数项移到等号的另一边，配方后利用直接开平方法求解；
（2）先确定二次项、一次项系数及常数项，代入求根公式即可．
【小问1详解】
解：移项，得x2+2x＝4，
配方，得x2+2x+1＝5，
∴（x+1）2=5，
∴，
∴，．
【小问2详解】
解：∵a＝3，b＝﹣6，c＝﹣2，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟记求根公式及配方法的技巧，掌握配方法及公式法解一元二次方程的步骤是解题关键．
20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为1个单位长度）
（1）将平移，使点A移动到点，请画出；
（2）作出关于O点成中心对称的，并直接写出，，的坐标．
【答案】（1）作图见解析部分;
（2）作图见解析部分;
【解析】
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出B，C的对应点，即可；
（2）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，， ，便可得坐标．
【小问1详解】
如图，为所作．
【小问2详解】
如图，为所作，
【点睛】本题考查作图-平移变换，中心对称变换等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，中心对称变换的性质．
21. 已知关于的方程．
（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；
（2）若该方程有一个根-1，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）1或-2
【解析】
【分析】（1）根据根的判别式即可证明；
（2）把方程的根代入原方程即可求解．
【详解】（1）证明：

所以方程有两个不相等的实数根．
（2）把代入原方程，得
解得．
【点睛】此题主要考查根的判别式与方程的根，解题的关键是熟知一元二次方程根的判别式特点及应用．
22. 已知二次函数的图象经过点（0，﹣3），且顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设该二次函数的图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，求△ABC的面积．
【答案】（1）y=（x+1）2﹣4或y=x2+2x﹣3；（2）
【解析】
【分析】（1）先设所求函数解析式是y=a（x+1）2﹣4，再把（0，﹣3）代入，即可求a，进而可得函数解析式；
（2）令函数等于0，解关于x一元二次方程，即可求A、B两点的坐标；从而可得△ABC的面积等于AB×OC的一半．
【详解】解：（1）设y=a（x+1）2﹣4，把点（0，﹣3）代入得：a=1，
∴函数解析式y=（x+1）2﹣4或y=x2+2x﹣3；
（2）∵x2+2x﹣3=0，
解得x1=1，x2=﹣3，
∴A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3），
∴△ABC面积=．
23. 如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园ABCD，
（1）在墙的长度不限的条件下，当AB边长为多少米时，菜园的面积最大为多少？
（2）在墙的长度为14米的条件下，当AB边长为多少米时，菜园的面积最大为多少？
【答案】（1）当AB边长为15米时，菜园的面积最大为平方米；（2）当AB边长为14米时，菜园的面积最大为112平方米
【解析】
【分析】（1）设AB边的长为x米，菜园的面积为y平方米，则BC边的长为（30−x）米，根据矩形的面积公式即可找出y关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；
（2）根据（1）的结论结合二次函数的性质可得出，在0≤x≤14中，y值随x值的增大而增大，代入x＝14即可求出y的最大值．
【详解】解：（1）设AB边的长为x米，菜园的面积为y平方米，则BC边的长为（30－x）米，
根据题意得：y＝（30－x）x＝－x2＋15x＝－（x－15）2＋，
∵a＝－＜0，
∴当x＝15时，y取最大值，最大值为．
答：当AB边长为15米时，菜园的面积最大为平方米．
（2）∵在0≤x≤14中，y值随x值的增大而增大，
∴当x＝14时，y取最大值，最大值为112．
答：当AB边长为14米时，菜园的面积最大为112平方米．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及矩形的面积，解题的关键是：（1）根据矩形的面积公式找出y关于x的函数关系式；（2）根据二次函数的性质找出：在0≤x≤14中，y值随x值的增大而增大．
24. 如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，得到△ADC，连接OD，OA．
（1）求∠ODC的度数；
（2）试判断AD与OD的位置关系，并说明理由；
（3）若OB＝2，OC＝3，求AO的长（直接写出结果）．
【答案】（1）60° （2），见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质得到三角形ODC为等边三角形即可求解；
（2）将△BOC绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，得到△ADC，可知∠ADC=∠BOC=150°，即得∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°，故AD⊥OD；
（3）在Rt△AOD中，由勾股定理即可求得AO的长．
【小问1详解】
由旋转的性质得：，．
∴，即．
∵为等边三角形，∴．
∴．∴为等边三角形，．
【小问2详解】
．
由旋转的性质得，．
∵，∴．
即．
【小问3详解】
由旋转的性质得，AD=OB=2，
∵△OCD为等边三角形，
∴OD=OC=3，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：
AO=
=
=
【点睛】本题考查等边三角形中的旋转变换，涉及直角三角形判定、勾股定理等知识，解题的关键是掌握旋转的性质，旋转不改变图形的大小和形状．
25. 已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧，点的坐标为，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点横坐标为，且是抛物线上的点，求四边形面积；
（3）若点在轴上，点在抛物线上，是否存在以，，，为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在
【解析】
【分析】（1）根据，，求出点坐标，把点，的坐标代入，待定系数法求解析式即可求解；
（2）过点作轴分别交线段于点．根据题意得出的坐标，把分解为，分别进行计算即可求解；
（3）①过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形．②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，由题意可知点的纵坐标为，从而可求得其横坐标．
小问1详解】
解：的坐标为，
．
，点在轴下方，
．
将，代入抛物线的解析式得：
，解得：，
抛物线的解析式为．
【小问2详解】
解：如图1所示：过点D作，交AC于点E．
，，
．
．
．
设的解析式为．
将、代入得：
，解得：，
直线的解析式为．
的横坐标为，则
的面积．
，
四边形的面积的为．
【小问3详解】
解：存在．
①如图2，过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形．
，令，
．
．
②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，
当时，四边形为平行四边形，
当时，四边形为平行四边形．
，
的纵坐标均为．
令得： ，
解得； ， ．
．
综上所述，存在个点符合题意，坐标分别是：．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式，二次函数求最值，平行四边形的判定与性质等知识，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键，在解答（3）要注意进行分类讨论．