2022-2023学年天津市宁河区九年级上学期数学期中试卷及答案

这是一份2022-2023学年天津市宁河区九年级上学期数学期中试卷及答案，共17页。试卷主要包含了 一元二次方程的根是， 抛物线的顶点坐标是， 二次函数y=ax2+bx﹣1等内容，欢迎下载使用。

1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的概念，对选项逐个判断即可．含有一个未知数并且未知数的最高次数为2的整式方程为一元二次方程．
【详解】解：A．分母含有未知数，不是整式方程，不符合题意；
B．是一元二次方程，符合题意；
C．含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
D．未知数的最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：B
【点睛】此题考查了一元二次方程的概念，解题的关键是掌握一元二次方程的概念．
2. 下列图形绕某点旋转180°后，不能与原来图形重合的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：根据中心对称图形与轴对称图形的概念可得，A、 C、D均是中心对称图形，B只是轴对称图形，故答案选B．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，熟练掌握此概念是解题的关键．
3. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的概念是关键．
4. 一元二次方程的根是( )
A. -1B. 1和3C. -1和3D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】此题应对方程进行变形，提取公因式x-3，将原式化分解为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，则至少有一式值为0”来解题.
【详解】解：x(x-3)=3-x
x(x-3)-(3-x)=0
(x-3)(x+1)=0
∴x-3=0或x+1=0
x1=3,x2=-1
故选C.
【点睛】解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法.
5. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数y=a(x-h)2+k的性质解答即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数y=a(x-h)2+k(a，h，k为常数，a≠0)的性质，熟练掌握二次函数y=a(x-h)2+k的性质是解答本题的关键． y=a(x-h)2+k是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是(h，k)，对称轴是x=h．
6. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先把常数项移项，然后在等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方即可．
【详解】解：利用配方法如下：
．
故选D．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的一般步骤是解题关键．
7. 二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则a+b+1的值是（ ）
A. ﹣3B. ﹣1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：把（1，1）代入y=ax2+bx﹣1可得到a+b-1=1，即可得a+b=3，故答案选D．．
考点：二次函数图象上点的坐标特征．
8. 抛物线y＝3x2＋2x－1向上平移4个单位长度后的函数解析式为( )
A. y＝3x2＋2x－5B. y＝3x2＋2x－4C. y＝3x2＋2x＋3D. y＝3x2＋2x＋4
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：利用平移规律“上加下减”，抛物线y=3x2+2x﹣1向上平移4个单位长度，解析式中常数项加4，所以是y=3x2+2x﹣1+4=3x2+2x+3，故选C．
考点：二次函数的图象与几何变换．
9. 用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】一边长为x米，则另外一边长为：5-x，根据它的面积为6平方米，即可列出方程式．
【详解】解：一边长为x米，则另外一边长为：5-x，
由题意得：x（5-x）=6，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽相出一元二次方程，难度适中，解答本题的关键读懂题意列出方程式．
10. 如图，P为正方形内一点，，将绕点C逆时针旋转得到，则的长是（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据旋转的性质，旋转后的三角形是等腰直角三角形，由勾股定理可求得
【详解】∵绕点C逆时针旋转得到，其旋转中心是点C，旋转角度是
∴,
∴是等腰直角三角形
∴
故选项是B．
【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正方形和旋转的性质，得出三角形是等腰直角三角形是解决问题的关键
11. 已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（ ）

A. ﹣1＜x＜4B. ﹣1＜x＜3C. x＜﹣1或x＞4D. x＜﹣1或x＞3
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出点（-1，0）关于对称轴x=1的对称点，进而结合图象可得当y＜0时x的取值范围．
【详解】解：根据图象可知，抛物线的对称轴为x=1，抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），
则（-1，0）关于x=1对称的点为（3，0），
即抛物线与x轴另一个交点为（3，0），
所以y＜0时，x的取值范围是-1＜x＜3．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点的知识，解答本题的关键是求出抛物线与x轴的另一个交点坐标．
12. 如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论：①abc＜0；②a+b＝0；③4ac﹣b2＝4a；④a+b+c＜0．其中正确的有（ ）个．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据开口方向、对称轴以及抛物线与y轴的交点可判断①，根据对称轴可判断②，根据顶点纵坐标可判断③，根据特殊点可判断④．
【详解】①∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为x＝﹣＝，
∴b＝﹣a＞0，
∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，①正确；
②∵b＝﹣a，
∴a+b＝0，②正确；
③∵抛物线的顶点坐标为（，1），
∴＝1，
∴4ac﹣b2＝4a，③正确；
④∵抛物线的对称轴为x＝，
∴x＝1与x＝0时y值相等，
∵当x＝0时，y＝c＞0，
∴当x＝1时，y＝a+b+c＞0，④错误．
综上所述：正确的结论为①②③．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，根据二次函数的图象分析出a、b、c之间的关系是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在题中横线上）
13. 已知一元二次方程有两个相等的实数根，则____________．
【答案】####2.25
【解析】
【分析】根据题意可得：判别式，求解即可．
【详解】解：根据题意可得：判别式，
解得
故答案为：
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
14. 若点关于轴的对称点是，则的值是____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于轴对称的点的坐标特征，“横坐标不变，纵坐标变为相反数”，求得，即可求解．
【详解】解：由题意可得：，
解得，
故答案为：
【点睛】此题考查了关于轴的对称点的坐标特征，解题的关键是掌握相关基础知识．
15. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是_______________．（用“”连接）
【答案】
【解析】
【分析】把二次函数的解析式化为顶点式可得二次函数图象的对称轴为直线，从而得到当时，y随x增大而增大，即可求解．
【详解】解：，
∴二次函数图象的对称轴为直线，
∵，
∴当时，y随x增大而增大，
∵，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
16. 已知抛物线与轴一个交点的生标为，则一元二次方程的根为_____．
【答案】，
【解析】
【分析】先求出抛物线的对称轴，再根据对称性可得出抛物线与轴的另一个交点的坐标为，从而可得出一元二次方程的根．
【详解】解：根据题意得：
抛物线的对称轴为直线，
抛物线与轴一个交点的生标为，
根据对称性可知抛物线与轴的另一个交点的坐标为，
一元二次方程的根为：，，
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点与一元二次方程的根，熟练掌握抛物线的对称性得出抛物线与轴的另一个交点的坐标为是解题的关键．
17. 如图，把绕点A逆时针旋转，得到，点恰好落在边AB上，连接，则 ______ ．
【答案】
【解析】
【分析】根据旋转的性质可得AB= AB'，∠BAB'=44°，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠ABB'，再利用直角三角形两锐角互余，列式计算即可求出答案．
【详解】解：∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转44°得到Rt△AB'C'，
∴AB= AB'，∠BAB'=44°，
∴△ABB'是等腰三角形，
∴∠ABB'=（180°-∠BAB'）=（180°-44°）=68°，
∵∠AC'B'=∠C=90°，
∴B'C'⊥AB，
∴∠BB'C'=90°-∠ABB'=90°-68°=22°．
故答案为22°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，比较简单，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状和大小得到等腰三角形是解题的关键．
18. 如图，用20 m长的铁丝网围成一个一面靠墙的矩形养殖场，其养殖场的最大面积________m2．
【答案】50
【解析】
【详解】设与墙平行的一边长为xm，则另一面为 ，
其面积=，
∴最大面积为 ；
即最大面积是50m2．
故答案是50．
【点睛】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=-x2-2x+5，y=3x2-6x+1等用配方法求解比较简单．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
19. 解下列方程
（1）
（2）
（3）
【答案】（1），；
（2），；
（3），；
【解析】
【分析】（1）利用开平方法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可；
（3）利用因式分解法解方程即可．
小问1详解】
解：
方程可变为，，
开平方得，，
即或，
解得，，；
【小问2详解】
由题意得，，
则，
∴，
即，；
【小问3详解】
可变为，
则或
解得，；
【点睛】此题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
20. 在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．画绕点顺时针旋转后的．
【答案】见解析
【解析】
【分析】将的顶点绕点顺时针旋转得到，顺次连接即可．
【详解】解：如图，将的顶点绕点顺时针旋转得到，顺次连接即可，
【点睛】本题考查了旋转作图，掌握旋转的性质是解题的关键．
21. 如图，在中以为边分别作正方形、，连接．证明：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】通过证明，即可求证．
【详解】证明：由题意可得：，，
∴
在和中
∴
∴
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，涉及了正方形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法与性质．
22. 向阳村2010年的人均收入为12000元，2012年的人均收入为14520元，求人均收入的年平均增长率．
【答案】10%．
【解析】
【分析】设这两年的平均增长率为x，根据等量关系“2010年的人均收入×（1+平均增长率）2=2012年人均收入”列方程即可．
【详解】解：设这两年的平均增长率为x，
由题意得：，
解得：（不合题意舍去），．
答：这两年的平均增长率为10%．
23. 如图，抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．
（1）求这条抛物线对应的函数解析式；
（2）求直线AB对应的函数解析式．
【答案】（1）y=x2+2x+1；（2）y=2x+2．
【解析】
【分析】（1）抛物线与x轴仅有1个交点可知=0时，即可得到4a2﹣4a=0，解方程即可求得a，即可得到抛物线解析式；
（2）先求得A的坐标，已知点C是线段AB的中点，可判定点A与点B的横坐标互为相反数，再确定B点坐标，最后利用待定系数法求直线AB的解析式．
【详解】（1）∵抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，
∴=4a2﹣4a=0，解得a1=0（舍去），a2=1，
∴抛物线解析式为y=x2+2x+1；
（2）∵y=（x+1）2，
∴顶点A的坐标为（-1，0），
∵点C是线段AB的中点，
即点A与点B关于C点对称，
∴B点的横坐标为1，
当x=1时，y=x2+2x+1=1+2+1=4，则B（1，4），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（-1，0），B（1，4）代入得，
解得，
∴直线AB的解析式为y=2x+2．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
24. 某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个．
（1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？
（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）y=-2x+220；（2）当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元；（3）当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．
【解析】
【分析】（1）根据题意中销售量y（个）与售价x（元）之间的关系即可得到结论；
（2）根据题意列出方程（-2x+220）（x-40）=2400，解方程即可求解；
（3）设每星期利润为w元，构建二次函数模型，利用二次函数性质即可解决问题．
【详解】（1）由题意可得，y=100-2（x-60）=-2x+220；
（2）由题意可得，
（-2x+220）（x-40）=2400，
解得，，，
∴当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元．
答：当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元．
（3）设该网店每星期的销售利润为w元，由题意可得
w=（-2x+220）（x-40）=，
当时，w有最大值，最大值为2450，
∴当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．
答：当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是构建二次函数模型，利用二次函数的性质解决最值问题．
25. 如图，已知抛物线经过、两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当时，求的取值范围；
（3）点为抛物线上一点，若，求出此时点坐标．
【答案】（1），顶点坐标为
（2）
（3）点坐标为或
【解析】
【分析】（1）把、分别代入中，利用待定系数法可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可求出抛物线的顶点坐标；
（2）结合图象、两点及顶点坐标即可得出答案；
（3）设，则，计算出的值，再代入抛物线解析式即可得出点的坐标．
【小问1详解】
解：把、分别代入中，
得： ，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
，
∴顶点坐标；
【小问2详解】
解：由图可得：
当时，；
【小问3详解】
解：∵、，
，
设，则，
∴，
，
①当时，，
解得：，
此时点坐标为或；
②当时，，方程无解；
综上所述，点坐标为或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，把二次函数化为顶点式，二次函数的图象与性质，二次函数综合—面积问题，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键．