2022-2023学年天津市武清区九年级上学期数学10月月考试卷及答案

这是一份2022-2023学年天津市武清区九年级上学期数学10月月考试卷及答案，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且最高次项的次数是2次，并且得是整式方程，即可判断．
【详解】．符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；
．整理后可得，是一元一次方程，故本选项不合题意；
．是分式方程，故本选项不合题意；
．是一元三次方程，故本选项不合题意；
故选：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的概念是解题的关键.
2. 下列函数中，是二次函数的有（ ）
①；②；③；④；⑤.
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【详解】①不是整式，不符合二次函数的定义；
②符合二次函数的定义；
③整理后x的最高次数为3，不符合二次函数的定义；
④不是整式，不符合二次函数的定义；
⑤符合二次函数的定义；
所以是二次函数的共有2个，
故选B.
3. 已知函数为二次函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. ，且D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数定义可知二次项系数m2+m≠0，解不等式，即可得到答案.
【详解】∵函数y=(m2+m)x2+mx+4为二次函数，
∴二次项系数m2+m≠0，
即m(m+1)≠0，
解得m≠0且m≠-1.
故选C.
【点睛】本题考查二次函数的定义，利用二次函数的定义得到关于m的不等式是解题的关键.
4. 已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为，则关于x的一元二次方程的两实数根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先把代入得到，则方程化为，然后利用因式分解法解方程即可．
【详解】∵二次函数（m为常数）的图象与轴的一个交点为，
∴，
解得，
当时，方程化为，解得，
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（，，是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．
5. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将向左平移1个单位所得直线解析式为：；
再向下平移3个单位为：．
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，解题的关键是熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
6. 某机械厂七月份生产零件50万个，九月份生产零件72万个．设该厂八九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A. 500（1+x）2=72B. 50（1+x）=72
C. 50（1+x）2=72D. 50（1+2x）=72
【答案】C
【解析】
【分析】一次增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，如果该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示八、九月份的产量，然后根据题意可得方程.
【详解】设该厂七、八九月份平均每月的增长率为x，则九月份的产量是50（1+x）2，故可列方程为：
50（1+x）2=72.
故选C
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用---增长率问题；本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a(1+x)n =b，其中n为共增长了几次，a为第一年的原始数据，b是增长后的数据，x是增长率．
7. 已知m，n是关于x的一元二次方程x2-3x+a=0的两个解，若mn-(m+n)=-7，则a的值为 ( )
A. -10B. 4C. -4D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】先根据根与系数的关系得到m＋n＝3，mn＝a，然后利用mn−（m＋n）＝−7可得到关于a的方程，再解此方程即可．
【详解】根据题意得m＋n＝3，mn＝a，
而mn−（m＋n）＝−7，
则a−3＝−7，
所以a＝−4．
故选C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝−，x1x2＝.
8. 二次函数y=﹣x2+1的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，下列说法错误的是（ ）.
A. 点C的坐标是（0，1）B. 线段AB的长为2
C. △ABC是等腰直角三角形D. 当x＞0时，y随x增大而增大
【答案】D
【解析】
【分析】点C的坐标可以令x＝0，得到的y值即为点C的纵坐标；令y＝0，得到的两个x值即为与x轴的交点A、B的横坐标，且AB的长也有两点横坐标求得；分别求出AC、BC的长，根据勾股定理的逆定理即可判断△ABC的形状；a= -1＜0，抛物线开口向下，对称轴为x=0,对函数的增减性进行判断．
【详解】A．根据题意可知：当x=0时，y=1，
∴点C的坐标为（0，1），
故选项正确，不合题意；
B．当y=0时，x= -1或x=1，
∴AB=2，
故选项正确, 不合题意；
C．∵OA=1，OB=1，OC=1，
∴AC==，BC= =，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
故选项正确，不合题意；
D．由y= -x2+1可知：a= -1＜0，抛物线开口向下，对称轴为x=0，
∴当x＞0时，y随x增大而减小，
故选项错误，符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查了二次函数的性质、勾股定理、函数图像与坐标轴的交点、判定函数的增减性等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
9. 方程x2﹣9x＋18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）
A. 12B. 15C. 12或15D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】先解一元二次方程，再根据腰长、底长进行分情况讨论，从而得到其周长．
【详解】解：方程变形得：，
解得：，，
当3为腰，6为底时，三角形三边为3，3，6，不能构成三角形，舍去；
当3为底，6为腰时，三角形三边为6，6，3，周长为6＋6＋3＝15，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法、等腰三角形的性质，注意分类讨论．
10. 关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A. k＞﹣1B. k＜1C. k＞﹣1且k≠0D. k＜1且k≠0
【答案】C
【解析】
【分析】利用一元二次方程定义和判别式的意义得到k≠0且Δ=（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且Δ＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，
解得k＞﹣1且k≠0．
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
11. 已知0≤x≤，那么函数y=﹣2x2+8x﹣6的最大值是（ ）
A. ﹣10.5B. 2C. ﹣2.5D. ﹣6
【答案】C
【解析】
【详解】解：∵y=﹣2x2+8x﹣6=﹣2（x﹣2）2+2．
∴该抛物线的对称轴是x=2，且在x＜2上y随x的增大而增大．
又∵0≤x≤，
∴当x=时，y取最大值，y最大=﹣2（﹣2）2+2=﹣2.5．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的最值．
12. 二次函数的图象如图所示，则下
列结论：①，②，③，④，⑤中正确的是（ ）
②④⑤B. ①②④
C. ①③④D. ①③④⑤
【答案】C
【解析】
【详解】①由图象可知：a<0，b>0，c>0，abc<0，故此选项正确；②当x=−1时，y=a−b+c<0，即b>a+c，错误；③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c>0，故此选项正确；④当x=3时函数值小于0,y=9a+3b+c<0,且x=−=1，即a=−b,代入得9(−b)+3b+c<0，得2c<3b，故此选项正确；⑤当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，而当x=m时,y=am2+bm+c，所以a+b+c>am²+bm+c，故a+b>am²+bm,即a+b>m(am+b)，故此选项错误．故①③④正确．故选C.
点睛：本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 若x2=5，则x=_________．
【答案】±
【解析】
【详解】解：x=±．
故答案为：±．
14. 参加足球联赛的每两个队之间都进行两次比赛，共要比赛72场，共有_____个队参加比赛．
【答案】9
【解析】
【分析】每个队都要与其余队比赛一场，2队之间要赛2场，等量关系为：队的个数×（队的个数-1）=72；接下来设有x队参加比赛，根据等量关系列方程求解即可.
【详解】设有x队参加比赛.
x(x-1)=72，
(x-9)(x+8)=0，
解得x1=9，x2=-8（不合题意，舍去）.
即共有9个队参加比赛.
故答案为9.
【点睛】本题是有关一元二次方程应用的题目，关键是找到题中的等量关系列出方程.
15. 拋物线的顶点为（2，﹣3），与y轴交于点（0，﹣7），则该抛物线的解析式为_____．
【答案】y=﹣（x﹣2）2﹣3
【解析】
【分析】因知道了顶点坐标，所以可设顶点式求解，即设y=a(x-2)2 -3，然后把（0，﹣7）代入即可求出a的值．
【详解】设y=a(x-2)2 -3，然后把（0，﹣7）代入，得
-7=a(0-2)2 -3，
解之得，a=-1．
∴y=-(x-2)2 -3．
故答案为y=-(x-2)2 -3．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，正确利用顶点式设出函数解析式是解答本题的关键．
16. 已知点（﹣2，y1），（﹣5，y2），（1，y3）在函数y=2x2+8x+7的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为_____．
【答案】y2＞y3＞y1
【解析】
【分析】先求出二次函数y=2x2+8x+7的图象的对称轴，然后判断出（﹣2，y1），（﹣5，y2），（1，y3）在抛物线上的位置，再求解．
【详解】∵二次函数y=2x2+8x+7中a=2＞0，
∴开口向上，对称轴为x=﹣2，
∵（﹣2，y1）中x=﹣2，y1最小.
∵-2-（﹣5）=3，1-（-2）=3，
∴y2＞y3，
∴y2＞y3＞y1.
（1，y3），点B关于对称轴的对称点B′横坐标是2×（﹣2）﹣1=﹣5，则有B′（﹣5，y3），因为在对称轴得右侧，y随x得增大而增大，故y3＞y2．
∴y3＞y2＞y1．
故答案为y3＞y2＞y1．
【点睛】本题考察了二次函数的图像和性质，对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），当a>0时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当a<0时，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小.
17. 已知抛物线的顶点在坐标轴上，则k的值为_____．
【答案】4，，
【解析】
【分析】由于抛物线的顶点在坐标轴上，故应分在x轴上与y轴上两种情况进行讨论．
【详解】当抛物线的顶点在轴上时，，
即，
解得或，
当抛物线的顶点在轴上时，，
解得，
故答案为：4，，．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
18. 如图，点P是等边三角形ABC内一点，且，，，则这个等边三角形ABC的边长为________．
【答案】
【解析】
【分析】将三角形BCP绕点B逆时针旋转60°得三角形BDA，过B作BH⊥直线AP于H，先证明三角形BDP为等边三角形，利用勾股定理逆定理得∠DPA=90°，进而得∠BPH=30°，利用勾股定理解直角三角形即可得答案．
【详解】解：将三角形BCP绕点B逆时针旋转60°，得三角形BDA，BC边落在AB上，过B作BH⊥直线AP于H，如图所示，
由旋转知，△BDP为等边三角形，AD=PC=，
∴BP=PD=BD=，∠BPD=60°，
∵PA=，
∴，
∴∠APD=90°，
∴∠BPH=30°，
∴BH=，PH=，
由勾股定理得：AB=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、勾股定理逆定理、旋转变换的应用等知识点，解题关键是作旋转变换，将分散的条件集中在同一三角形中．
三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答题写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. 解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），；
（2），．
【解析】
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【小问1详解】
解：，
，
则，
解得，，
【小问2详解】
，
∴，
则或，
解得，．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
20. 二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题
（1）方程的两个根是______．
（2）不等式的解集是______．
（3）y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是______．
（4）若方程无实根，则k取值范围是______．
【答案】（1），；（2）或；（3） ；（4）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程的根即为抛物线与x轴的交点横坐标解答；
（2）根据二次函数图象y<0解答
（3）根据二次函数的性质解答；
（4）当y=k时无实数根即为直线y=k与抛物线没有交点，由此得到答案．
【详解】解：（1）由图象可知：二次函数的图象与x轴的两个交点为（0,0）、（2,0），
∴方程的两个根是，；
（2）由图象可知：二次函数的图象或时y<0，
∴不等式的解集是或；
（3）由图象可知：二次函数的图象与x轴的两个交点为（0,0）、（2,0），开口向下，
∴二次函数的对称轴为直线x=1，
∴当时y随x的增大而减小，
故答案为：；
（4）方程无实根，即为直线y=k与抛物线没有交点，
由图象可知：抛物线的顶点纵坐标为2，
∴方程无实根，则k的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】此题考查二次函数的图象，对称轴，顶点坐标，增减性，利用抛物线判定方程的根及不等式的解集，直线与抛物线的交点，熟练掌握二次函数的知识点是解题的关键．
21. 用m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积为m2？（设窗框宽为m ）
【答案】长为1.8m、宽为0.8m或长和宽均为1.2m时，能使做成的窗框的透光面积为1.44m2
【解析】
【分析】设窗框的宽为xm，则窗框的长为m，利用面积公式列方程求解即可．
【详解】解：设窗框的宽为xm，则窗框的长为m，
由题意得
整理得
解得，
当宽为0.8m时，长为m；
当宽为1.2m时，长为m；
∴长为1.8m、宽为0.8m或长和宽均为1.2m时，能使做成的窗框的透光面积为1.44m2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于正确的列方程求解．
22. 中，，，，点P从点A开始沿边向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以2cm/s的速度移动．如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
（1）填空：________，________（用含t的代数式表示）；
（2）是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）存在，当时，的面积等于
【解析】
【分析】（1）根据“路程=速度×时间”可表示出BQ、AP．再用AB-AP就可以求出PB即可；
（2）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立方程求出t的值即可．
【小问1详解】
（1）由题意得：BQ=2t，AP=t，则BP=5-AP=5-t．
故答案为：2t，5-t．
【小问2详解】
（3）存在．
由题意可得：的面积为，
∵的面积等于，
∴=4，解得：t1=1，t2=4（不符合题意，舍去），
∴当t=1时，△PBQ的面积等于4cm2．
【点睛】本题考查了行程问题的运用、一元二次方程的解法、三角形面积公式的运用等知识点．在解答时要注意所求的解的实际问题有意义成为解答本题的关键．
23. 某商店经营一种小商品，进价是每件40元．据市场调查，销售价是60元时，平均每星期的销售量是300件．而销售价每降价1元，平均每星期的期就多售出30件．
（1）假定每件商品降价x元，商店每星期的销售量是y件，请写出y与x之间的函数关系式（请直接写出结果）；
（2）每件小商品销售价是多少元时，商店每星期销售这种小商品的利润吸最大？最大利润是多少？
【答案】（1）y=﹣30x2+300x+6000；（2）每件小商品销售价是55元时，商店每天销售这种小商品的利润最大，最大利润是6750元．
【解析】
【分析】(1)根据总利润=(实际售价-进价) ×销售量，即可得函数解析式;
(2)将(1)中函数解析式配方即可得最值情况.
【详解】（1）依题意有：y=（60﹣x﹣40）（300+30x）=﹣30x2+300x+6000；
（2）∵y=﹣30x2+300x+6000=﹣30（x﹣5）2+6750；
∵a=﹣30＜0，
∴当x=5时y取最大值，最大值是6750，即降价5元时利润最大，
∴每件小商品销售价是55元时，商店每天销售这种小商品的利润最大，最大利润是6750元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据总利润=(实际售价-进价) ×销售量列出函数关系式是解答本题的关键.
24. 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为．
（1）如图1，当时，求点D的坐标；
（2）如图2，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标；
（3）当点D落在线段上时，求点E的坐标．
【答案】（1），；（2），；（3）
【解析】
【分析】（1）过点作轴于，由旋转的性质得出，，，由直角三角形的性质得出，，得出，即可得出点的坐标为，；
（2）过点作轴于，于，则，，由勾股定理得出，由面积法求出，得出，由勾股定理得出，即可得出点的坐标为，；
（3）连接，作轴于，由旋转的性质得出，，由等腰三角形的性质得出，得出，证出，由平行线的性质的，证出，证明，得出，，得出，即可得出答案．
【详解】解：（1）过点作轴于，如图所示：
点，点．
，，
以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，
，，，
在中，，，
，
点的坐标为，；
（2）过点作轴于，于，如图所示：
则，，
，，
，
，
，
，，
点的坐标为，；
（3）连接，作轴于，如图所示：
由旋转的性质得：，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
点的坐标为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线，属于中考压轴题．
25. 如图，抛物线与轴交于，两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交轴于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值．若没有，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为：
（2）存在，点的坐标为
（3）存在，最大值
【解析】
【分析】（1）根据题意可知，将点、的坐标代入函数解析式，列出方程组即可求得、的值，求得函数解析式；
（2）根据题意可知，边的长是定值，要想的周长最小，即是最小，所以此题的关键是确定点的位置，找到点的对称点，求得直线的解析式，求得与对称轴的交点即是所求；
（3）设，过点作轴交于点，连接、、，根据，将表示成二次函数，再根据二次函数的性质，即可求得的最大值．
【小问1详解】
解：将，代入中，
可得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
解：存在，理由如下：
如图，
∵、两点关于抛物线的对称轴对称，
∴直线与的交点即为点，此时周长最小，连接、，
∵点是抛物线与轴的交点，
∴的坐标为，
又∵，
∴直线解析式为：，
∴点坐标即为，
解得：，
∴；
【小问3详解】
解：存在，理由如下：
如图，设，过点作轴交于点，连接、、，
∵，
若有最大值，则就最大，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数综合应用，要注意距离最短问题的求解关键是点的确定，还要注意面积的求解可以借助于图形的分割与拼凑，特别是要注意数形结合思想的应用．