2022-2023学年浙江省杭州市余杭区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2022-2023学年浙江省杭州市余杭区九年级上学期数学期末试题及答案，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 的值等于（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据特殊角的三角函数值作答即可．
【详解】，
故选B．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
2. 下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A. 从地面向上抛的硬币会落下B. 射击运动员射击一次，命中10环
C. 太阳从东边升起D. 有一匹马奔跑的速度是70米/秒
【答案】B
【解析】
【分析】在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
【详解】解：A、从地面向上抛的硬币会落下，属于必然事件，本选项不合题意；
B、射击运动员射击一次，命中10环，属于随机事件，本选项符合题意；
C、太阳从东边升起，属于必然事件，本选项不合题意；
D、有一匹马奔跑的速度是70米/秒，属于不可能事件，本选项不合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
3. 如图，线段，相交于点，，若，，，则的长是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】由，得出，根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据进行计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
4. 若扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据扇形的面积计算公式计算即可．
【详解】解：由题意得：
故选C．
【点睛】本题主要考查扇形的面积计算，熟练掌握扇形的面积计算公式是解决本题的关键．
5. 如图，将一个含角直角三角板绕点逆时针旋转，点的对应点为点，若点落在延长线上，则三角板旋转的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解．
【详解】解：∵将一个含角的直角三角板绕点逆时针旋转，点的对应点为点，若点落在延长线上，
∴旋转角是．
故选：D．
【点睛】本题考查旋转的性质．掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键．
6. 关于抛物线，下列说法：①图象开口向上；②图象与轴有两个交点；③当时，有最小值．正确的是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
【答案】A
【解析】
【分析】利用二次函数的性质对①③进行判断；通过判断的根的情况对②进行判断．
【详解】解：由抛物线，
①、因为，开口向上，故此说法正确；
②、当时，，，此方程有2个不相等的实数解，所以抛物线与x轴有2个交点，故此说法正确；
③、因为函数图象开口向上，顶点坐标是，所以，当时，有最小值，故原说法不正确．
所以，正确的说法是①②，
故选：A．
【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点，对二次函数的性质的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行判断是解此题的关键．
7. 如图，是的直径，是上任意一点（不与，重合），设，，所对的边分别为，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据圆周角定理得出，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，，所对的边分别为，，，
∴，，，
∴，，．
故选：D．
【点睛】本题考查圆周角定理，锐角三角形函数．熟知直径所对的圆周角是直角及锐角三角形函数的定义是解题的关键．
8. 凸透镜成像的原理如图所示，．若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先证出四边形为矩形，得到，再根据，求出，从而得到物体被缩小到原来的几分之几．
【详解】解：∵， ， ，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即
∴物体被缩小到原来的．
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，从实际问题中找到相似三角形并利用相似三角形的性质进行解答是解题的关键．
9. 已知点，在二次函数的图像上，若，则必有（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据所给二次函数解析式得对称轴为，则离对称轴越远，函数值越大，根据，即可得．
【详解】解：∵二次函数的对称轴为，
∴离对称轴越远，函数值越大，
∵
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是理解题意，掌握二次函数的性质．
10. 计算机处理任务时，经常会以圆形进度条形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：
当任务完成的百分比为时，线段的长度记为．下列描述正确的是（ ）
A. 当时，B. 当时，
C. 当时，D. 当时，
【答案】C
【解析】
【分析】根据弧、弦、圆心角的关系，即可求解．
【详解】解：A、当时，可能大于，故本选项不符合题意；
B、当时，可能大于，故本选项不符合题意；
C、当时，，故本选项符合题意；
D、当时，不一定等于，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分．
11 若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由比例的基本性质，可得，进而得，代入计算即可．
【详解】解：
将其代入得：
原式
故答案为：
【点睛】本题考查了比例的性质，及分式的化简计算，如何利用比例关系进行代换是解题的关键．
12. 如图，四边形的顶点、、在上，若，则________.
【答案】##100度
【解析】
【分析】利用圆周角定理及圆内接四边形的性质求解即可．
【详解】如图，在优弧上取一点D，连接、，
∵，
又∵，
∴，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用的辅助线，学会用转化的思想思考问题．
13. 学校组织秋游，安排给九年级3辆车，小明和小慧都可以从这3辆车中任选一辆搭乘．则小明和小慧同车的概率为___________．
【答案】
【解析】
【分析】列举出所有情况，看在同一辆车的情况数占总情况数的多少即可．
【详解】解：列表如下三辆车分别用1，2，3表示：
所有等可能情况有9种，其中小明和小慧同车的情况有3种，
则，
故答案：．
【点睛】此题考查了利用列表法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，得到在同一辆车的情况数是解决本题的关键．
14. 如图，把两张宽度都是的纸条交错地叠在一起，相交成角，则重叠部分的面积是____．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可知：所得图形是菱形，设菱形ABCD，由已知得∠ABE=α，过A作AE⊥BC于E，由勾股定理可求AB、BC的长度，根据菱形的面积公式即可求出所填答案．
【详解】解：由题意可知：重叠部分是菱形，设菱形ABCD，则∠ABE=α，
过A作AE⊥BC于E，则AE=3，
∵∠ABE=α，
∴sin∠ABE=，
∴AB==BC，
∴重叠部分的面积=BC×AE=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，正弦函数，菱形的面积公式等知识点，把实际问题转化成数学问题，利用所学的知识进行计算是解此题的关键．
15. 汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶的时间（单位：）的函数解析式是，汽车刹车后到停下来前进了 __米．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的解析式找出其顶点式，再利用二次函数的性质求出s的最大值即可得出结论．
【详解】解：
，
∵，
∴当时，，
汽车刹车后到停下来前进了米．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，利用配方法，找出二次函数的顶点式是解题的关键．
16. 如图，面积为4的正方形中，分别是各边的中点，将一边两端点分别和对边中点连结，所得阴影部分为各边相等的八边形，则八边形每条边的长度是________.
【答案】
【解析】
【分析】正方形的面积为4，得到，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理得到＝，根据三角形的面积公式得到＝，再根据相似即可得到结论．
【详解】如图：
∵正方形的面积为4
∴正方形的边长为2，
∵点分别是的中点，
∴，
在与中，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵＝，
∴＝
∴，
由题意可得：
∴
∴
∴
同理可得：
∴
∴
∵
∴
∴
∴
故答案：
【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的性质，全等三角形的性质，正确地识别图形是解题的关键．
三、解答题：本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下：
（1）估计任抽一件衬衣是合格品的概率（结果精确到）；
（2）估计出售件衬衣，其中次品大约有几件．
【答案】（1）估计任抽一件衬衣是合格品的概率为；
（2）估计出售件衬衣，其中次品大约有件
【解析】
【分析】（1）根据频率可靠性可知总数越大时频率越稳定，故总数为1000时所得频率即为每一件衬衣的合格率；
（2）利用总量乘以即可求解．
【小问1详解】
解：估计任抽一件衬衣是合格品的概率为；
【小问2详解】
解：∵估计任抽一件衬衣是合格品的概率为；
∴（件），
答：估计出售2000件衬衣，其中次品大约有100件．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率的应用，解答此题关键是估计出任取1件衬衣是次品的概率．
18. 如图，，交于点，，是半径，且于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明见解析；
（2）的半径为5
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，由垂径定理得，再根据线段的和差关系可得结论；
（2）连结，结合垂径定理和勾股定理列方程求解即可．
【小问1详解】
∵，，是半径，
∴，．
∴，即．
【小问2详解】
如图，连结，
∵，，
∴，．
∵，
∴，
解得．
答：的半径为5．
【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
19. 一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线．求铅球的落地点离运动员有多远（结果保留根号）？
【答案】铅球的落地点离运动员
【解析】
【分析】根据题意可得抛物线的顶点坐标为，可设函数表达式为，再把点代入，求出抛物线的解析式，然后令，即可求解．
【详解】解：由题意知，抛物线的顶点坐标为．
设函数表达式为
把点代入，得，
解得．
所以函数表达式为．
当时，，
解得，（舍去），
答：铅球的落地点离运动员．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到抛物线的解析式是解题的关键．
20. 如图，从甲楼底部处测得乙楼顶部处的仰角是，从甲楼顶部处测得乙楼顶部处的俯角是，已知两楼之间的距离，求这两幢楼的高度（结果保留根号）．
【答案】甲楼的高度为，乙楼的高度为
【解析】
【分析】在和中，根据三角函数的定义计算即可．
【详解】解：如图，过点作，交于点．
在中，，
∴．
∵，
∴，，．
在中，，
∴．
∴．
答：甲楼的高度为，乙楼的高度为．
【点睛】本题主要考查三角函数的定义，根据正切函数的定义求解未知数．
21. 如图，在等腰三角形中，，点是的中点，点，分别在线段，上，连结，交于点，．
（1）求证：；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一性质得出，再由，则，又因为，即可由相似三角形的判定定理得出结论；
（2）过点作，交于点．先根据等腰三角形三线合一性质得出，，则．又因为，所以．再由，所以，，所以，所以即可由求解．
【小问1详解】
解：∵，点是的中点，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴．
【小问2详解】
解：如图，过点作，交于点．
∵点是的中点，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，即．
∵，
∴．
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
22. 已知二次函数的图象经过点和.
（1）求，满足的关系式；
（2）当自变量的值满足时，随的增大而增大，求的取值范围；
（3）若函数图象与轴无交点，求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）把和分别代入解析式，即可确定a和b的关系；
（2）先表示表示出对称轴，在根据自变量的值满足时，随的增大而增大可确定的范围；
（3）根据函数图象与轴无交点，把表示出来，根据a的取值范围即可求解．
【小问1详解】
把和分别代入函数式，
得方程组.
由这个方程组得.
所以，满足的关系式为.
【小问2详解】
∵当自变量的值满足时，随的增大而增大，且，
∴.
∵，
∴，解得.
所以的取值范围是.
【小问3详解】
由（1）得，，
又∵函数图象与轴无交点，
∴，解得.
∵，
∴当时，的最小值为，当时，.
∴的取值范围是
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，关键是要牢记抛物线的对称轴公式，顶点公式，会根据抛物线和x轴交点的情况求解．
23. 如图，的半径为1，直径，的夹角，点是上一点，连接，分别交，于点，.
（1）若，求证：；
（2）当点在上运动时.
①猜想：线段与有怎样的数量关系，并给出证明；
②求证：.
【答案】（1）证明见解析；
（2）①猜想：，证明见解析，②证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据垂径定理可得出即可得出结论；
（2）①根据已知条件可得出是等边三角形；再证明即可；②根据已知条件可得出，再推出，在等量代换即可得出结论；
【小问1详解】
证明：∵，，
∴.
∴.
∴.
∴.
【小问2详解】
①猜想：.
如图，连结.
∵，，
∴是等边三角形.
∴，.
∵，，
∴，.
又∵，
∴.
∴.
②∵的半径为1，
∴.
∵，
∴.
又∵，
∴.
∴，即.
∵，，
∴.
∴，即.
∵，
∴，.
∴.
【点睛】本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了圆周角的推论：直径所对的圆周角为90度．考查了相似三角形，以及等边三角形三边的关系．

1
2
3
1
2
3
抽取件数（件）
合格频数
合格频率