2022-2023学年浙江省杭州市淳安县九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2022-2023学年浙江省杭州市淳安县九年级上学期数学期中试题及答案，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列关系式中，属于二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的定义进行解答即可．
【详解】符合二次函数的定义，故A符合题意；
中含自变量代数式不是整式，不符合二次函数的定义，故B不符合题意；
是一次函数，故C不符合题意；
中含自变量的代数式不是整式，不符合二次函数的定义，故D不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的一般形式是解题的关键．
2. 天气预报称，明天芜湖市全市的降水率为，下列理解正确的是（ ）．
A. 明天芜湖市全市下雨的可能性较大B. 明天芜湖市全市有的地方会下雨
C. 明天芜湖市全天有的时间会下雨D. 明天芜湖市一定会下雨
【答案】A
【解析】
【分析】下雨的降水率指的是下雨的可能性，根据随机随机事件的发生的可能性大小即可作出判断．
【详解】解：芜湖市明天下雨的降水率是90%，表示本市明天下雨的可能性很大，但是不是将有90%的地方下雨，不是90%的时间下雨，也不是明天肯定下雨，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了随机事件发生的可能性大小，掌握随机事件出现的可能性大小的量是解题的关键．
3. 如图，绕点按逆时针方向旋转56°后与重合，则（ ）
A. 58°B. 56°C. 62°D. 68°
【答案】C
【解析】
【分析】由旋转性质找出旋转角，对应线段，得△AB1B是等腰三角形，求出底角即可．
【详解】∵绕点按逆时针方向旋转56°后与重合，
∴AB=AB1，∠B1AB=56°，
∴∠ABB1=∠AB1B=．
故选择：C．
【点睛】本题考查图形旋转的性质，等腰三角形性质，掌握图形旋转的性质，会根据图形确定选择角，利用旋转对应线段和旋转角构成等腰三角形是解题关键．
4. 在一个不透明的袋中装有6个只有颜色不同的球，其中3个红球、2个黄球和1个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先确定袋中任意摸出一个球，是白球的结果数，再确定总结果数，最后利用概率公式即可求解．
【详解】解：从袋中任意摸出一个球，是白球的结果数为1个，总结果数为6个，因此袋中任意摸出一个球，是白球的概率为；
故选A．
【点睛】本题考查了等可能事件的概率问题，解决本题的关键是牢记概率公式，本题较基础，侧重学生对概率的理解与对概率公式的运用．
5. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则边心距OM的长为________．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接OA、OB，证明△OAB是等边三角形，得出AB＝OA＝1，由垂径定理求出AM，再由勾股定理求出OM即可．
【详解】解：连接OA、OB，如图所示：
∵六边形ABCDEF为正六边形，
，
∵OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB＝OA＝1，
∵OM⊥AB，
∴AM＝BM＝AB＝，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理求出BM是解决问题的关键．
6. 已知二次函数的自变量，，对应的函数值分别为，，．当，，时，，，三者之间的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先画，再结合函数图象进行解答即可．
【详解】解：的简易图象如下：
由函数图象可得：
当，，时，则 ，
故选D．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，掌握“利用数形结合的方法解题”是关键．
7. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据圆周角定理求得的度数，然后根据圆内接四边形的性质求出的度数即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
故选：B.
【点睛】此题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，比较简单，牢记有关定理是解答本题的关键．
8. 如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为（ ）
A. 7mB. 7.5mC. 8mD. 8.5m
【答案】C
【解析】
【分析】根据实心球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可．
【详解】解：在中，令y=0得：
，
解得x=-2（舍去）或x=8，
∴小朱本次投掷实心球的成绩为8米，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
9. 已知二次函数（a，b，c为常数，）的图象经过点和，该函数图象的对称轴为直线，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设点关于对称轴对称点为，根据二次函数的性质得到，即可得到，即可求解．
【详解】解：设点关于对称轴对称的点为，
∵二次函数，，开口向上，对称轴为，
∴当时，随的增大而增大，
∵，
∴，
∴，即，
故选：B
【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
10. 如图，是等边的外接圆，点是弧上一动点（不与，重合），下列结论：①；②；③当最长时，；④，其中一定正确的结论有（ ）
A. ①④B. ①②③C. ①③D. ①③④
【答案】D
【解析】
【分析】根据等边三角形的性质可得，从而得到，故①正确；根据点是上一动点，可得不一定等于，故②错误；当最长时，为的直径，可得，再由是等边的外接圆，可得，可得，故③正确；延长至点E，使，证明，可得，，从而得到是等边三角形，可得到，故④正确；即可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，故①正确；
∵点是上一动点，
∴不一定等于，
∴不一定成立，故②错误；
当最长时，为的直径，
∴，
∵是等边的外接圆，，
∴，
∴，
∴，故③正确；
如图，延长至点E，使，连接，
∵四边形为的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，故④正确；
∴正确的为①③④．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，垂径定理，等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆周角定理，三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，垂径定理，等边三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
11. 已知扇形的半径是，圆心角，则这个扇形的弧长是______．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】根据弧长公式是，代入就可以求出弧长．
【详解】解：∵扇形的半径是，圆心角是，
∴该扇形的弧长是：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是扇形的弧长公式的运用，正确记忆弧长公式是解题的关键．
12. 在一个箱子里放有3个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同．从箱子里任意摸出一个球，记下颜色后放回箱子摇匀，再任意摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】画树状图，共有25个等可能的结果，两次都摸到白球的结果有9个，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如图：
共有25个等可能的结果，两次都摸到白球的结果有9个，
∴两次都摸到红球的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
13. 已知弦AB把圆周分成1：5的两部分，则弦AB所对的圆心角的度数为________．
【答案】60°
【解析】
【分析】由于弦AB把圆周分成1：5的两部分，根据圆心角、弧、弦的关系得到弦AB所对的圆心角为周角的
【详解】解：∵弦AB把圆周分成1∶5的两部分，
∴ .
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
14. 某商场要经营一种新上市的文具，进价为元，试营销阶段发现：当销售单价是元时，每天的销售量为件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少件，当销售单价为_____元时，该文具每天的销售利润最大．
【答案】
【解析】
【分析】设该文具定价为x元，每天的利润为y元，根据每天利润＝单件利润×销售量列出函数解析式，用函数的性质求最值．
【详解】解：设该文具定价为x元，每天的利润为y元，
根据题意得：，
，
，
，
，
当时，y最大，最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，关键是找到等量关系列出函数解析式．
15. 如图，是半圆O的直径，半圆的半径为4，点C，D在半圆上，，点P是上的一个动点，则的最小值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】依题意，作点关于的对称点为，连接，长即为最小值；过点作，构造和进行对应线段求解；
【详解】作点关于的对称点为，连接，；过点作；
由题知，，，∴，可得对应的圆心角；
又点关于的对称点为，
∴，，∴长为的最小值
在中，，∴，；
在中，，，∴；
故填：；
【点睛】本题综合性考查圆的对称性及“将军饮马问题”的求解，关键在于熟练使用辅助线进行对应的直角三角形构造进行计算；
16. 已知，点和点在二次函数的图象上，若点是该二次函数图象上任意一点，且满足，的最大值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意得出抛物线的对称轴为直线，利用对称轴公式得出的关系，再用含a代数式表示，然后配方求解．
【详解】解：∵点是二次函数图象上任意一点，且满足，
∴二次函数图像开口向上，即，顶点坐标为 ，
∴对称轴为1，即，
∵，
∵，
∴的最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意得到关于a的二次函数解析式是关键．
三、解答题（共66分）
17. 如图，用一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，墙长为米，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为米，苗圃园的面积为平方米．
（1）求关于的函数表达式．
（2）当为何值时，苗圃的面积最大？最大值为多少平方米？
【答案】（1）
（2）当时，苗圃的面积最大，最大值为平方米
【解析】
【分析】（1）的长为x米，则的长为米，利用长方形面积公式即可得出y关于x的函数表达式，再根据题意求出x的取值范围即可；
（2）利用二次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：由题意可知，平行于墙的一边的长为米，
，
墙长为18米，
，
，
y关于x的函数表达式为；
【小问2详解】
解：，
∴当时，y取得最大值，此时，
即当时，苗圃的面积最大，最大值是平方米．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是列出函数解析式，利用二次函数的性质解答．
18. 一个不透明的袋中装有18个红球和若干个白球，它们除颜色外其他均相同．已知将袋中球摇匀后，从中任意摸出一个球是红球的概率是．
（1）求袋中总共有多少个球？
（2）从袋中取走25个球（其中15个红球，10个白球）并将袋中球摇匀后，从剩余球中任意摸出两个球，求摸出的球是一红一白的概率．
【答案】（1）袋中总共有30个球
（2）摸出的球是一红一白的概率为
【解析】
【分析】（1）根据概率公式列方程求出球的总个数即可；
（2）先计算出白球的数量，再求出剩余球的总数量，列树状图求解即可．
【小问1详解】
解：设袋中共有个球，
∵袋中装有18个红球，从中任意摸出一个球是红球的概率是，
∴，
解得：，
即袋中总共有30个球；
【小问2详解】
解：袋子中白球的个数为：（个，
取走25个则袋子中球的总个数为（个，
其中红球的个数为（个），白球的个数为（个），
画树状图如下：
共有20种等可能结果，摸出的球是一红一白的结果有12种，
∴摸出的球是一红一白的概率为；
【点睛】本题考查了用概率公式和树状图求概率，解题的关键是熟练掌概率的求解方法，一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率为且．
19. 如图，是以为直径的半圆上的两点，，连结．
（1）求证：．
（2）若，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得到∠ACD＝∠DBA，根据 ∠CAB＝∠DBA得到∠CAB＝∠ACD，进而得到结论；
（2）连结OC，OD，证明所求的阴影部分面积与扇形的面积相等，继而得到结论．
【小问1详解】
证明：∵=，
∴∠ACD＝∠DBA，
又∠CAB＝∠DBA，
∴∠CAB＝∠ACD，
∴；
【小问2详解】
解：如图，连结OC，OD．
∵∠ACD＝30°，
∴∠ACD＝∠CAB＝30°，
∴∠AOD＝∠COB＝60°,
∴∠COD＝180°-∠AOD-∠COB＝60°．
∵，
∴S△DOC=S△DBC，
∴S阴影=S弓形COD+S△DOC=S弓形COD+S△DBC=S扇形COD，
∵AB＝4，
∴OA＝2，
∴S扇形COD=．
∴S阴影=．
【点睛】本题主要考查扇形的面积，同弧所对的圆周角相等，平行线的判定，掌握定理以及公式是解题的关键．
20. 已知抛物线与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧．
（1）请求出抛物线对称轴和点A、B的坐标；
（2）若点点在此抛物线上，且，求n的取值范围．
【答案】（1）抛物线对称轴为直线，抛物线与x轴交点为，
（2）或时，
【解析】
【分析】（1）由可得抛物线对称轴，将二次函数解析式化为交点式可得点A，B坐标．
（2）由抛物线对称轴求出点B关于对称轴的对称点坐标，进而求解．
【小问1详解】
∵，
∴抛物线对称轴为直线，
∵，
∴当时，，
解得，
∵点A在点B的左侧，
∴抛物线与x轴交点为，
【小问2详解】
∵，
∴抛物线开口向上，
点B关于抛物线对称轴的对称点坐标为，
∴或时，．
【点睛】本题考查二次函数的图象和系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
21. 如图，是的外接圆，平分，交于点F，交于点D，平分，交于点E，连接．
（1）求证：；
（2）若点A是的中点，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，得到，再利用角平分线平分角以及三角形外角的性质，得到，即可得证；
（2）根据等弧对等弦，得到，证明，得到，再根据等角对等边，得到，即可得到．
【小问1详解】
证明：如图
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
即；
【小问2详解】
证明：∵点A是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理，弧，弦，圆心角之间的关系，以及全等三角形的判定和性质．熟练掌握同弧所对的圆周角相等，以及等弧对等弦，证明三角形全等，是解题的关键．
22. 在直角坐标系中，设函数（a，b是常数，）．
（1）已知函数的图象经过点和，求函数的表达式．
（2）若函数图象的顶点在函数的图象上，求证：．
（3）若，当时，函数随x的增大而增大，求a的取值范围．
【答案】（1）函数表达式为
（2）见解析 （3）a的取值范围为
【解析】
【分析】（1）将和代入函数表达式即可；
（2）先得出函数顶点坐标，代入化简即可得出结论；
（3）根据二次函数性质求解．
【小问1详解】
解：将和代入函数中，
得： ，
解得 ，
故函数表达式为：；
【小问2详解】
证明：函数图象的顶点坐标为，
代入函数中得：，
化简得：，
∴；
【小问3详解】
解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线
∵当时，函数随x的增大而增大
∴，且
∴a的取值范围为
【点睛】本题考查二次函数综合应用，理解点在函数图象上的含义是求解本题的关键．
23. 在半径为1的⊙O中，A、B、C、D中是圆上的四个点．
（1）如图1，若的度数为，的度数，求的度数．
（2）如图2，若的度数为，的度数为，当时，试求的值．
（3）在（2）的条件下，若，，，，试求四边形的面积．（用含a，b，c，d的代数式表示）
【答案】（1）
（2）
（3）四边形ABCD的面积为
【解析】
【分析】（1）首先得到，得到为直径，利用直径所对的圆周角为直角即可得解；
（2）连结并延长交于点E，连结，推出，得到，再利用勾股定理即可得解；
（3）通过证明，得到，转化四边形的面积求解即可；
【小问1详解】
证明：∵的度数为，的度数，
∴的度数为，
∴为直径
∴．
【小问2详解】
如图（2）连结并延长交于点E，连结，
∵为直径 ∴
∵ ∴
∴ ∴
【小问3详解】
如图（3）连结
∵，
∴
∴
∴
同理：
∴四边形的面积
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆中弧、弦、圆周角之间的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．