第二十五章 概率初步专题专练-2023-2024学年九年级数学上+下册重难点培优及章末梳理与检测（人教版）

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第二十五章 概率初步专题讲练专题1 概率中的方程思想专题2 几何概型专题3 公平性探究专题4 放回与不放回概率问题专题5 概率与统计综合题型专题1 概率中的方程思想如果一个袋子里有16个除颜色外其他完全相同的球，若摸到黑球的概率为，则可估计袋中黑球的个数为（    ）A．12 B．6 C．4 D．不能确定袋中装有2个黑球和个白球，经过若干次试验，发现从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为，则这个袋中共有 个球．一个盒子中有3枚黑棋与y枚白棋，棋子除颜色外没有其他差别，从盒子中随机取出一枚棋子，如果它是白棋的概率是，那么盒子中有 枚白棋．在一个不透明袋子中，装有3个红球，5个白球和一些黄球，这些球除颜色外无其他差别．若从袋中随机摸出一个球是白球的概率为，则袋中黄球的个数为 ．在一个不透明的袋子中装有10个黑球和5个白球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球.(1)摸出的球是黑球的概率是多少?摸出的球是白球的概率是多少?(2)为了使摸出黑球的概率是摸出白球的概率的3倍，再放进去9个球，那么这9个球中黑球和白球的数量分别应是多少?一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色球共100个，它们除颜色外都相同，其中黄球个数是白球个数的5倍．已知从袋中摸出一个球是红球的概率是．(1)求袋中红球的个数；(2)求从袋中摸出一个球是白球的概率；一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除颜色外没有其他任何区别，袋中的球已经搅匀，闭眼从口袋中摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，经过大量重复试验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在附近．(1)估计摸到红球的概率是 ；(2)若袋中有12个红球，求袋中一共有多少个球？专题2 几何概型如图所示的是由8个全等的小正方形组成的图案，假设可以随意在图中（不过括边界线）取一点，则这个点取在阴影部分的概率是（    ）  A．1 B． C． D．如图，正方形是一块绿化带，其中阴影部分，都是正方形的花圃，已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（    ）  A． B． C． D．如图所示，一只蚂蚁在如图所示的七巧板上任意爬行，已知它停在这副七巧板上的任何点的可性都相同，那么它停在上的概率是（    ）  A． B． C． D．一个小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在黑色区域里的概率是（    ）  A． B． C． D．将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正方形镖盘上，若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为 ．  如图，A、B是边长1的小正方形组成的网格上的两个格点，在格点上任意放置点C（除去A、B两点），以A、B、C三点为顶点能画出等腰三角形的概率是 ．  如图，在平行四动形纸板中，点分别为的中点，连接．将一飞镖随机投掷到平行四边形纸板上，则飞镖落在阴影部分的概率为 ．  如图，是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在“III”区域内的概率是 ．  专题3 公平性探究在一个不透明的盒子中只装2枚白色棋子和2枚黑色棋子，它们除颜色外其余均相同，从这个盒子中随机地摸出2枚棋子．(1)请用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的棋子是不同颜色的概率．(2)若小明、小亮做游戏，游戏规则是：两次摸出的棋子颜色不同则小明得1分，颜色相同小亮得2分．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．桌面上放有形状大小相同的甲、乙两组扑克牌，它们背面朝上，甲组扑克牌是红桃2，红桃3和黑桃4；乙组扑克牌是黑桃5、黑桃6、红桃7，(1)洗匀后随机从甲组扑克牌中摸出一张牌以上面的数作为个位数字，从乙组扑克牌中摸出一张以其上的数作为十位数字，组成的两位数是偶数的概率是 ；(2)黄震和程祥约定了一个游戏规则：从洗匀后的甲、乙两组扑克牌中各随机摸出一张牌，若摸出的两张牌花色相同，则黄震胜；若花色不同，则程祥获胜，这个游戏规则是否对双方公平？请用列表法或树状图法说明一个不透明的盒子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外其余都相同．(1)搅匀后从中任意摸出一个球，则摸出红球的概率是 　　；(2)如果将摸出的第一个球放回搅匀再摸出第二个球，两次摸球就可能出现3种结果，即“都是红球”、“都是白球”、“一红一白”．甲乙两人玩游戏，约定若摸到“都是白球”则甲赢；若摸到“一红一白”则乙赢，问这个游戏公平吗，请说明理由．如图，有背面完全相同正面分别是黑桃、黑桃、黑桃和梅花的四张扑克牌、一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字，，，．张莉和李涵利用扑克牌与小球做游戏，游戏规则是：将四张扑克牌背面朝上洗匀，张莉从中抽取一张，记下牌面数字；李涵从口袋中随机摸出一个小球，记下小球上的数字，若两人记下的数字同为奇数则张莉胜，两人记下的数字同为偶数则李涵胜，其他情况视为平局．  (1)张莉从这四张扑克牌中随机抽取一张，求抽到的扑克牌牌面数字小于的概率；(2)请用画树状图或列表法说明这个游戏规则对双方是否公平？4月23日，为迎接“世界读书日”，某书城开展购书有奖活动，顾客每购书海100元可获得一次摸奖机会，规则为：一个不透明的袋子中装有4个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4，它们除所标数字外完全相同，摇匀后同时从中随机摸出两个小球，则两球所标数字之和与奖励的购书券金额的对应关系如下：(1)通过列表或画树状图的方法计算摸奖一次获得90元购书券的概率；(2)书城规定，如果顾客不愿意参加摸奖，那么可以直接获得30元的购书券.在“参加摸奖”和“直接获得购书券”两种方式中，你认为哪种方式对顾客更合算？请说明理由．“一寸光阴不可轻，最是书香能致远．”阅读是美好的，阅读是快乐的．某校社团将《西游记》中的四位人物的肖像制成编号为 A、B、C、D 的四张卡片（除编号和人物肖像外其余完全相同），活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在书中的故事．游戏规则如下：先将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小东先从中随机抽取一张，记卡片上的人物为，再把剩下的3张卡片洗匀后，背面向上放好，小华再从3张卡片中随机抽取一张，记卡片上的人物为．若他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系，则由小东讲，否则由小华讲．(1)用列表法或画树状图法中的一种方法，列出所有可能出现的结果．(2)你认为这个游戏是否公平？请说明理由．如图，一个均匀的转盘被平均分成10等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．两人参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的规则从下面两种中选一种：①猜“是3的倍数”或“不是3的倍数”；②猜“是大于6的数”或“不是大于6的数”．如果轮到你猜数，那么为了尽可能获胜，你将选择哪一种猜数方法？怎样猜？请说明理由．现有若干个除颜色外完全相同的球，从中选取10个球放入一个不透明的袋子里进行摸球游戏．(1)若袋子中装有5个红球、2个白球和3个黄球，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是______；(2)小明和小亮一起做游戏，若袋子中有4个红球和6个白球，从中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到白球小亮获胜，这个游戏对双方公平吗？说明理由；(3)小颖在（2）中的袋子里随机摸出一个球，发现是白球，如果这个白球不放回，再从袋子里任意摸出一个球，摸到白球的概率是______小军和小明一起做游戏，设计了一个可以自由转动的转盘（如图所示），转盘被等分成了10个扇形区域，并涂上了不同的颜色．(1)转动一次转盘，求指针指向红色区域的概率．(2)小军说：“如果指针指向蓝色区域自己获胜，如果指针指向黑色区域小明获胜”．请问小军设计的游戏规则对双方公平吗？试通过计算说明理由．专题4 放回与不放回概率问题袋中装有编号为1，2，3的三个质地均匀、大小相同的球，从中随机取出一球记下编号（不放回），再从袋中随机取出第二个球，两次所取球的编号的和是偶数的概率为（    ）A． B． C． D．一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的个红球和个白球，两个人依次从袋子中随机摸出一个小球不放回，则第一个人摸到红球且第二个人摸到白球的概率是（　　）A． B． C． D．在一不透明的箱子里放有个除颜色外其他完全相同的球，其中只有4个白球，任意摸出一个球，记下颜色后放回袋中，再摇匀，再摸，通过大量重复摸球后发现，摸到白球的频率稳定在左右，则大约是 ．袋中有颜色不同外其余均相同的2个红球和3个黄球，第一次摸出一球记住颜色后，放回袋中搅匀，再随意摸出一球，两次摸出的都是红色球的概率是 ．在一个不透明的口袋中，有3个红球、1个白球，它们除颜色不同之外其它完全相同，现从口袋中随机摸出一个球记下颜色后不放回，再随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是 ．已知一个不透明的盒子里装有4个球，其中2个红球，2个黄球，这些球除颜色外其余均相同．现从中随机地摸出一个球，不放回，然后再从剩下的球中随机摸出一个球，则摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率是 ．一个袋子里装有3个只有颜色不同的球，其中2个白球，1个红球．从口袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球．(1)按顺序先后摸得的两个球有几种不同的可能？（画树状图或列表分析问题）(2)求两次摸出都是白球的概率．从一副扑克牌中选出五张牌，牌面数字分别为2，5，6，7，9，将这些牌背面朝上洗匀．(1)从这五张牌中随机抽出一张牌，这张牌上的牌面数字是偶数的概率是_______；(2)小明从这五张牌中随机抽出一张牌，记下牌面数字后，不放回，然后，小华从中随机抽出一张牌，请用画树状图或列表的方法，求小华抽出的牌上的牌面数字比小明抽出的牌上的牌面数字大的概率．专题5 概率与统计综合题型某校为了了解九年级男生的体质锻炼情况，随机抽取部分男生进行1000米跑步测试，按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，其中良好的学生人数占抽取学生总数的，学校绘制了如下不完整的统计图：(1)求被抽取的合格等级的学生人数，并补全条形统计图；(2)为了进一步强化训练，学校决定每天组织九年级学生开展半小时跑操活动，并准备从上述被抽取的成绩优秀的学生中，随机选取1名担任领队，小明是被抽取的成绩优秀的一名男生，求小明被选中担任领队的概率；(3)学校即将举行冬季1000米跑步比赛，预赛分为A，B，C三组进行，选手由抽签确定分组，求某班甲、乙两位选手在预赛中恰好分在同一组的概率是多少？请画出树状图或列表加以说明．为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行党史知识竞赛活动，赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分为，，，四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图．根据图表信息，回答下列问题：  (1)表中　　；扇形统计图中，等级对应的扇形圆心角为度　　；若全校共有1800名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成绩为等级的学生共有　　人；(2)若分以上的学生有人，其中甲、乙两人来自同一班级，学校将从这人中随机选出两人参加市级比赛，请用列表或树状图法求甲、乙两人都未被选中的概率．某市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：  (1)此次调查一共随机采访了________名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为________度；(2)若该校有5500名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；(3)李老师计划从，，，四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中，两人的概率．今年猪肉价格受非洲猪瘟疫情影响，有较大幅度的上升，为了解某地区养殖户受非洲猪瘟疫情感染受灾情况（把调查结果分为四个等级：A级：非常严重；B级：严重；C级：一般；D级：没有感染），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解决下列问题：  (1)本次抽样调查的养殖户的总户数是 　 　户；把图2条形统计图补充完整．(2)若该地区建档的养殖户有1500户，求非常严重与严重的养殖户一共有多少户？(3)某调研单位想从3户建档养殖户（分别记为a，b，c）中随机选取两户，进一步跟踪监测病毒传播情况，请用列表或画树状图的方法求出选中养殖户c的概率．我校举行“创建文明城市，从我做起”的征文比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．(1)参加比赛的学生人数共有 名，在扇形统计图中，表示“B等级”的扇形的圆心角为 度，图中m的值为 ；(2)补全条形统计图；(3)组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出两名去参加市中学生征文比赛，已知A等级中男生有2名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰是一男一女的概率．2023年杭州亚运会球类比赛中，有A排球，B篮球，C足球，D羽毛球，E乒乓球五种比赛很受我校同学们喜爱．小熙同学随机对我校同学在亚运会期间最想观看的一种球类比赛做了一次随机调査统计，并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图：  (1)直接写出本次随机调查的总人数，并补全条形统计图；(2)若我校学生约有1600人，试估计想观看B种比赛的学生约有多少人？(3)小熙同学在10月2号到杭州观看亚运会比赛，发现当天有比赛的是A，B，D，E四种比赛，若从中任选两种比赛观看，求选到B，E两种比赛的概率．（要求画树状图或列表求概率）在一个不透明的盒子里装有若干个白球和18个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从盒子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在左右，请你估计盒子里白球的个数．如图，转盘A的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B的四个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，4，转动转盘A，B各一次，当转盘停止转动时，将指针指向扇形中的两个数字相加（当指针落在两扇形的交线上时，重新转动转盘）．(1)用树状图列出所有可能出现的结果；(2)若规定指针指向扇形中的两个数字的和为5时甲赢，和为4时乙赢，和为其他数字时，甲、乙平局．请问这个游戏对甲、乙两人是否公平？某中学在开展“课后服务活动中”，决定开设足球、篮球、排球、羽毛球、乒乓球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：(1)求本次被调查的学生人数；(2)求喜欢足球的人数，并补全条形统计图；(3)扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是 ；(4)学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图法分析甲和乙同学同时被选中的概率．两球所标数字之和34567奖励的购书券金额（元）00306090等级成绩人数15187