第二十六章 反比例函数系数k的几何意义专题讲练-2023-2024学年九年级数学上+下册重难点培优及章末梳理与检测（人教版）

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第二十六章 反比例函数系数k的几何意义专题讲练类型一 单支三角形【模型讲解】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积等于|k|．【示例】 拓展：∵∴如图，反比例函数的图像上有一点，轴于点，点在轴上，则的面积为（）  A．1 B．2 C．4 D．8【答案】A【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于是解题的关键．设，则，再由三角形的面积公式即可得出结论．【详解】解：设，∵点在反比例函数的图象上，∴．∵轴，∴．故选：A．如图，在平面直角坐标系中，点、均在反比例函数的图象上，若的面积为8，则k的值为（    ）．  A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【分析】本题考查的是求解反比例函数的解析式，如图，过作轴于，过作轴于，证明，再利用面积公式列方程求解即可，熟记反比例函数比例系数的性质是解本题的关键.【详解】：如图，过作轴于，过作轴于，    ∵点、均在反比例函数的图象上，∴，解得：，∴，∴,，，,∵，∴，∴，解得：或（不符合题意，舍去）∴，故选B如图所示，过反比例函数在第一象限内的图象上任意两点，，分别作轴的垂线，垂足分别为，，连接，，设与的面积为，，那么它们的大小关系是（　　）A． B． C． D．不能确定【答案】B【分析】主要考查了反比例函数中的几何意义，过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，即．【详解】解：依题意有：和的面积是个定值．∴，故选：B．如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为点C，延长至点B，使，点D是y轴上任意一点，连接，，若的面积是6，则 ．【答案】【分析】连结、，轴，由得到．由得到，则，再根据反比例函数图象所在象限即可得到满足条件的k的值．【详解】解：如图，连结、，  ∵轴，∴．∴．∵，∵，∴，∵图象位于第一象限，则，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，掌握反比例函数的图象与性质并能熟练运用数形结合的思想是解答问题的关键．如图，A，C是反比例函数图象上的点，过点A，C分别作轴，轴，垂足分别是点B，D，连接，线段交于点E，且E恰好是的中点．当的面积为3时，k的值是 ．【答案】【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的性质等知识点，根据三角形的中线的性质求出的面积，根据相似三角形的性质求出，根据反比例函数系数k的几何意义解答即可，掌握反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．【详解】∵点E为的中点，∴，∵点A，C为函数图象上的两点，∴，∴，∵轴，轴，∴，∴，∴，∴，则，∴．故答案为：．如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，边与轴交于点，且，反比例函数的图象经过点，若，则该反比例函数的表达式是   【答案】【分析】此题考查了反比例函数的性质，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质等知识，过过作轴于点，证明，根据相似三角形的性质得出，设，则，根据三角形面积公式即可求解，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用．【详解】过作轴于点，∴，∴，∴，∵，∴，设，则，∵点在反比例函数上，∴点的横坐标为，∴点的横坐标为，∴，∴，∴该反比例函数的表达式，故答案为：．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，且与反比例函数的图象交于点，若，则 ．  【答案】20【分析】此题主要考查了反比例函数图象上的点，三角形的面积等，正确地作出辅助线构造三角形的中位线是解决问题的关键．过点作轴于，由和同高，可得出，进而可判定为的中位线，则，设，则点，由此可得，然后根据得，由此可求出的值．【详解】过点作轴于，如图：  又∵和同高，∴，∵轴，∴，∴为的中位线，∴，设，∴，∴点的坐标为，点在反比例函数的图象上，即，故答案为：20．类型二 单支四边形【模型讲解】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线所围成的矩形面积等于|k|．【示例】如图，过双曲线上任意一点分别作轴，轴的垂线，，交轴、轴于点、，所得矩形的面积为8，则的值是（    ）  A．4 B． C．8 D．【答案】D【分析】设点P坐标为，则，根据矩形的面积为8，得出，即可得出k的值．【详解】解：设双曲线表达式为，设点P坐标为，∵轴，轴，∴，∵矩形的面积为8，∴，则，故选：D．【点睛】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，解题的关键是掌握过反比例函数图象上的点作两坐标轴的垂线，组成的矩形面积为．如图，在中，对角线交于点，双曲线经过两点，若的面积为18，则的值是（    ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】分别过点、作、垂直于轴于、，先求出，再由平行四边形面积公式求出即可．【详解】解：过作轴于，过作轴于，设，，则，，，，，，、在双曲线上，三角形与三角形的面积相等，四边形是平行四边形，，，，，即，，，根据三角形的中位线，可得，，平行四边形的面积，，，即；故选：B．【点睛】本题主要考查对平行四边形的性质，三角形的中位线定理，反比例函数的性质等知识点的理解和掌握，解题的关键是根据这些性质正确地进行计算．如图，四边形是平行四边形，在轴上，点在轴上，反比例函数的图象经过第一象限点，且的面积为，则＝（    ）．  A．6 B．3 C．9 D．12【答案】A【分析】过点作于点，然后平行四边形的性质可知，进而可得矩形的面积与平行四边形的面积相等，最后根据反比例函数的几何意义可求解．【详解】解：过点作于点，如图所示：  ，四边形是平行四边形，，，（），平行四边形的面积为，，；故选：A．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及反比例函数k的几何意义，熟练掌握平行四边形的性质及反比例函数k的几何意义是解题的关键．如图，在反比例函数的图像上，有点，，，，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作垂直于x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，若，则的值为（    ）A．2.5 B．3 C．4 D．无法确定【答案】C【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，由题意可分别得四点的坐标，则可表示三个阴影部分的面积，再由面积和为3建立关于k的方程，解方程即可求得k的值．【详解】解：∵点，，，在反比例函数的图象上，且它们的横坐标依次为1，2，3，4，∴，，，，∴，，，∵，∴，解得：，故选：C．如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作轴于点B，点C、D在x轴上，且，四边形的面积为4，则 ．【答案】【分析】本题考查反比例函数k的几何意义．根据题意可得出四边形是平行四边形，由平行四边形的面积为4，可求出直角三角形的面积为2，再根据反比例函数k的几何意义求出答案．【详解】解：连接，∵，，∴四边形是平行四边形，又∵平行四边形的面积为4，即，，∴，∴或（舍去）故答案为：．如图，平行四边形的顶点在轴上，点在（）上，且轴，的延长线交轴于点．若，则 ．  【答案】10【分析】设与轴交于点，连接，由平行四边形的性质可得，，根据三角形的面积公式可得，，由，，可得，由的几何意义进行计算即可得到答案．【详解】解：设与轴交于点，连接，如图所示，    四边形是平行四边形，，，，轴，轴，，，，，，，，，，，，，，，故答案为：10．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，反比例函数系数的几何意义，三角形的面积计算，熟练掌握平行四边形的性质，反比例函数系数的几何意义，添加适当的辅助线，是解题的关键．如图，反比例函数的图象分别交正方形的边于点、，若点坐标为，若是等边三角形，求的值．  【答案】【分析】证明，可得，从而得到，设，则，根据勾股定理可得，从而得到点D的坐标为，即可求解．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，， ∵是等边三角形，∴，∴，∴，∴，设，则，∵点坐标为，∴，∴，，∴，解得：，，舍去，∴，即点D的坐标为，∴．【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的交点以及反比例函数系数k的几何意义、正方形和等边三角形的性质、勾股定理等，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．本知识点是中考的重要考点．如图所示，在平面直角坐标系中，反比例函数与矩形的两条边的交点分别是M，N，其中点M的坐标为．连接，，已知的面积是矩形面积的．  (1)求反比例函数的解析式；(2)求四边形的面积．【答案】(1)(2)18【分析】（1）将M代入反比例函数的表达式中求解即可；（2）利用k的几何意义求出、的面积，进而求出矩形的面积，借助割补法求解面积即可．【详解】（1）解：∵反比例函数经过点，∴．∴．∴反比例函数的解析式为．（2）解：由反比例函数k的几何意义可知的面积的面积．∵的面积是矩形面积的，∴矩形的面积．∴．【点睛】本题考查坐标与图形性质、待定系数法求函数表达式、反比例函数比例系数k的几何意义，熟练反比例函数比例系数k的几何意义，利用割补法求解图形面积是解答的关键．类型三 双支三角形【模型讲解】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角形面积等于|k|，反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴上任一点构成三角形的面积，等于坐标轴所分的两个三角形面积之和．【示例】 拓展：若函数与函数的图象相交于两点，垂直轴于，则的面积为（    ）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，【详解】解：如图：  设点A的坐标为，则，故的面积为，与同底等高，，故选：A．【点睛】主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义，图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于两点，过点作轴的垂线交轴于点，连接，若的面积等于 ．  【答案】1【分析】由正比例函数与反比例函数的图象相交于两点可得，从而得到，由反比例函数的几何意义可得，由此即可得到答案．【详解】解：正比例函数与反比例函数的图象相交于两点，点关于原点对称，，，，，过点作轴的垂线交轴于点，，，，故答案为：1．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的几何意义，熟练掌握过反比例函数上任意一点向坐标轴作垂线，与原点所连的线段所围成的直角三角形的面积为是解题的关键．如图，，关于原点对称，为反比例函数图象上异于的一个点．过作垂直于轴于点．(1)若的坐标为，则的坐标为______；(2)若的面积为，则的值为______；(3)在（）的条件下，若的纵坐标为，求的面积．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】()根据关于原点对称的性质求解即可；()利用待定系数法求解；()求出直线的解析式，可得直线交轴一点， 再利用分割法求出的面积；此题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【详解】（1）∵点与关于原点对称，∴点，故答案为：；（2）∵，的面积为，∴，解得：，故答案为：；（3）∵的图象过，∴，∵若的纵坐标为，∴点，设直线解析式为，与轴交于点，如图，∴，解得：，∴直线解析式为，∴点，∴，∴．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．  (1)求函数的表达式；(2)根据图象直接写出使一次函数值大于反比例函数值时的取值范围；(3)求的面积；(4)点是反比例函数的图象上第一象限内的一个动点，当的面积等于的面积时，直接写出点的坐标．【答案】(1)(2)或(3)(4)点的坐标为或【分析】（1）由一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，可得出的值，从而得到，，再由待定系数法即可求得的表达式；（2）找到直线在双曲线上方时，的取值范围即可；（3）设一次函数与轴的交点为点，先求出点的坐标，再根据进行计算即可得到答案；（4）的面积等于的面积，点到直线的距离等于点到直线的距离，根据平行线间的距离处处相等，将直线向上或向下平移1个单位，得到直线、，直线、与双曲线在第一象限的交点即为点，进行求解即可．【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，，，，，，，；（2）解：由（1）可得：，，由图象可得：当或时，一次函数值大于反比例函数值，一次函数值大于反比例函数值时的取值范围为：或；（3）解：如图，设一次函数与轴的交点为点，  ，在中，当时，，解得：，，，；（4）解：令一次函数与轴的交点为，  ，在中，当时，，，，的面积等于的面积，点到直线的距离等于点到直线的距离，将直线向上或向下平移1个单位，得到直线、，直线、与双曲线在第一象限的交点即为点，如图，，，，联立，解得：或（不符合题意，舍去），；联立，解得：或（不符合题意，舍去），，综上所述：点的坐标为或．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，且点A坐标为，点B坐标为．  (1)求反比例函数与一次函数的表达式；(2)求的面积(3)当时，请直接写出x的取值范围．【答案】(1)反比例函数为，一次函数为；(2)；(3)或；【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，图象法求不等式的解，（1）先由点坐标求得反比例函数，再由反比例函数求得点坐标，然后由，两点求得一次函数即可；（2）先令求得一次函数与轴的交点，可得线段的长，再由，两点到轴的距离求即可；（3）在函数图象上找出一次函数图象在反比例函数图象下边的取值范围即可；【详解】（1）解：将代入反比例函数可得，∴反比例函数为，将代入反比例函数可得，将，代入一次函数可得：，解得：，∴一次函数为；（2）解：设一次函数与轴交于点，令可得，∴线段的长为1，由坐标的定义可知点到轴的距离为2，点到轴的距离为1，以为底边，，两点到轴的距离为高可得：；（3）解：由两函数图象的交点可知当或时， 一次函数的图象在反比例函数图象的下边，∴当时，或；类型四 双支四边形【模型讲解】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于2|k|．示例】如图，A、B是函数的图象上的点，且A、B关于原点O对称，轴于C，BD⊥x轴于D，如果四边形的面积为S，那么（　　）  A． B． C． D． 【答案】D【分析】由于A、B在反比例函数图象上且关于原点对称，根据反比例函数中k的几何意义，，则四边形的面积S即可求出．【详解】解：∵A，B是函数的图象上关于原点对称的任意两点，∴若假设A点坐标为，则B点坐标为，，，故四边形的面积S是．故选：D．【点睛】本题主要考查反比例函数中比例系数k的几何意义和函数图象的对称性，熟练掌握相关知识是解题关键．如图，直线与反比例函数的图象相交于A、B两点，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C、D，连接，则四边形的面积为（　　）A．4 B．8 C．12 D．24【答案】C【分析】首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即，得出，再根据反比例函数的对称性可知，即可求出四边形的面积．【详解】解：∵过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，∴，又∵，∴，∴四边形的面积为：．故选：C．【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为；图象上的点与原点所连的线段、 坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即，是经常考查的一个知识点；同时考查了反比例函数图象的对称性．如图，A、B是函数的图象上的点，且A、B关于原点O对称，轴于C，BD⊥x轴于D，如果四边形的面积为S，那么（　　）  A． B． C． D． 【答案】D【分析】由于A、B在反比例函数图象上且关于原点对称，根据反比例函数中k的几何意义，，则四边形的面积S即可求出．【详解】解：∵A，B是函数的图象上关于原点对称的任意两点，∴若假设A点坐标为，则B点坐标为，，，故四边形的面积S是．故选：D．【点睛】本题主要考查反比例函数中比例系数k的几何意义和函数图象的对称性，熟练掌握相关知识是解题关键．过原点作直线交双曲线于点A、C，过A、C两点分别作两坐标轴的平行线，围成矩形，如图所示．(1)已知矩形的面积等于8，求双曲线的解析式；(2)若已知矩形的周长为8，能否由此确定双曲线的解析式？如果能，请予求出；如果不能，说明理由．【答案】(1)(2)无法确定，理由见解析【分析】（1）设出点的坐标，可以表示出点、、的坐标，利用反比例函数的几何意义即可解决问题．（2）同样设出点的坐标，利用矩形周长为8，只能求出点的横、纵坐标的和是一个定值，而无法确定点的横、纵坐标的乘积是定值．【详解】（1）解：（1）设点，则，，，，矩形的面积等于8，即所以双曲线的解析式为：；（2）（2）设点，则，，，，矩形的周长为8，即，则，此时会随的变化而变化，所以无法确定的值所以不能由此确定双曲线的解析式，因为会随点的坐标变化而变化．【点睛】本题考查了反比函数的几何意义以及方程思想，综合性较强．类型五 双反比函数的几何意义应用【示例】如图，平行于x轴的直线与函数，的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若的面积为2．则k的值为（      ）  A．4 B． C．2 D．【答案】C【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积计算，设，，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，，根据三角形的面积公式得到，是解题的关键．【详解】解：∵轴，，B两点纵坐标相同，设，，则，，，，故选：C．如图，矩形的顶点A，B分别为反比例函数与的图象上，点C，D在x轴上，，分别交y轴于点E，F，则阴影部分的面积为（    ）  A． B． C．6 D．4【答案】A【分析】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数的图象上点的坐标特征，矩形的性质，设点的坐标为，，根据题意，利用函数关系式表示出线段，，，的长，再根据平行线分线段成比例的性质得，的长，利用梯形的面积公式，即可得答案．【详解】设点的坐标为，，则，，点的纵坐标为，点的横坐标为，，∵，，，，阴影部分的面积为．故选：A．如图，在反比例函数的图象上有一动点，连接，的图象经过的中点，过点作轴交函数的图象于点，连接，则的面积为（    ）  A．4 B．3 C． D．【答案】D【分析】设 ，则的中点为 即可求得 表示出的坐标， 即可表示出，利用三角形面积公式求得 【详解】∵动点在反比例函数的图象上,∴设 ，则的中点为 ，的图象经过点，，，∵过点作轴交函数的图象于点,∴的纵坐标把 代入得, ，，，故选:.【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数系数的几何意义，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构建一次函数确定交点坐标.如图，点，依次在反比例函数常数，的图象上，点，依次在反比例函数常数，的图象上，，轴，，分别垂直轴于点，，于点，于点．若，阴影部分面积为，则的值分别为 ．  【答案】；【分析】可设出点，的坐标，得出点，的坐标，再根据和以及阴影部分的面积即可解决问题．【详解】解：依题意，设，，则，，∵轴，∴∵∴解得：，∵∴①，又阴影部分面积为8，∴②由①②得故答案为：；．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，能用点，的坐标去表示出其余点的坐标，并根据线段之间的长度关系及阴影部分的面积得出方程是解题的关键．如图，点A是反比例函数的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数的图象于点B，以为边作平行四边形，其中C、D在x轴上，若平行四边形的面积为11，则k的值为 ．【答案】6【分析】过点作轴，过点作轴，可证得，得出，然后根据的几何意义求解．【详解】解：过点作轴，过点作轴，则，四边形为平行四边形，，，，在和中，，，又，，．故答案为：6．【点睛】本题考查了反比例函数的几何含义，平行四边形的性质．需要我们熟练掌握把已知图形转化为模型图形（与相关的矩形或三角形）的能力．如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则的值= ．  【答案】【分析】根据正方形和双曲线的中心对称性，、的交点为O，如图，过点A作轴于M，过点D作轴于N，证明得到，利用反比例函数系数k的几何意义求解即可．【详解】：根据正方形和双曲线的中心对称性，、的交点为O，如图，过点A作轴于M，过点D作轴于N，则，    ∵四边形是正方形，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，则，∵反比例函数的图象位于第二、四象限，∴，故答案为：．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、反比例函数的性质和系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解答的关键．两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，轴于点C，交的图象于点A，轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：①与的面积相等；② 四边形的面积不会发生变化；③与始终相等；④．其中一定正确的是 ．    【答案】①②④【分析】根据反比例函数的图象和性质，特别是根据反比例函数k的几何意义，对四个选项逐一进行分析，即可得出正确答案．【详解】解：由于点A和点D均在同一个反比例函数的图象上，所以，故与的面积相等，故①正确；∵矩形的面积是k、而、为定值1，则四边形的面积只与k有关，∴四边形的面积不会发生变化，故②正确；只有当四边形为正方形时满足，∴与不一定相等，故③错误；由图象可知：当时，，则，又∵当x取同一个值时，的图象在的图象的上方，故，∴，故④正确．故答案为：①②④．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．如图，点、分别在反比例函数和的图象上，线段与轴相交于点．(1)如图①，若轴，且，．求、的值；(2)如图②，若点是线段的中点，且的面积为2．求的值．【答案】(1)，；(2)．【分析】（1）连接、，根据反比例函数系数的几何意义以及得到，即①，由②．①②得，，进而求得；（2）作轴于，轴于，则，，根据题意得到，，即可得到，整理得．【详解】（1）解：如图①，连接、，轴，，，，，即，①，②．①②得，，；（2）如图②，作轴于，轴于，则，，点是线段的中点，且的面积为2，，在和中，，，，，整理得．【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数的性质，正确作出辅助线是解题的关键．