第二十一章 一元二次方程考点大梳理-2023-2024学年九年级数学上+下册重难点培优及章末梳理与检测（人教版）

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第二十一章 一元二次方程考点大梳理考点1 一元二次方程的相关概念一元二次方程的定义；等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。注意三要素：整式、一个未知数、最高次2次。一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.下列选项中，是关于x的一元二次方程的是（   ）A． B．C． D． 下列等式是一元二次方程的是（    ）A．（为常数） B．C． D．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（    ）A． B． C．且 D．若方程是一元二次方程，则m的值为（    ）A．0 B． C． D．一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数，一次项系数，常数项分别为（    ）A．1，8，4 B． C．5，8，4 D．若a是方程的一个根，则的值为（    ）A．2021 B． C．2019 D．已知关于的一元二次方程有一个非零根，则的值为（    ）A．1 B． C．0 D．若关于的一元二次方程有一根为，则方程必有一根为（　　）A． B． C． D．关于的一元二次方程一个实数根为，则方程一定有实数根(    )A． B． C． D．若方程是关于的一元二次方程，那么的值为 ．关于x的方程是一元二次方程，则k的值为 ．将一元二次方程化成一般式： ．已知m是一元二次方程的一个根，则的值为 ．已知关于x的方程的解是，，则关于x的方程的解是 ．已知关于的一元二次方程的一个实数根是1，那么 ．已知关于的一元二次方程有一个根为，则的值为 ．将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项．(1)；(2)；(3)；(4)若是方程的一个根，求代数式的值．考点2 一元二次方程的解法一元二次方程的四种解法：（1）直接开平方法：如果，则（2）配方法：要先把二次项系数化为1，然后方程两变同时加上一次项系数一半的平方，配成左边是完全平方式，右边是非负常数的形式，然后用直接开平方法求解；（3）公式法：一元二次方程的求根公式是；（4）因式分解法：如果则。温馨提示：一元二次方程四种解法都很重要，尤其是因式分解法，它使用的频率最高，在具体应用时，要注意选择最恰当的方法解。用直接开平方法解下列方程：(1)；(2)．用配方法解下列方程：(1)；(2)．用配方法解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．用公式法解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4).用公式法解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)．用因式分解法解下列一元二次方程：(1)；(2)；(3)．用因式分解法解下列方程：(1)；(2)；(3)．解下列方程：x2-4x＋3＝0；（2）x2-2x-3＝0；（3）10x2-x-3＝0；（4）(x＋6)(x-7)＝14选择合适的方法解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10)；(11)；(12)．考点3 判别式及根与系数的关系判别式：在实数范围内，一元二次方程的根由其系数、、确定，它的根的情况（是否有实数根）由确定．设一元二次方程为，其根的判别式为：则①方程有两个不相等的实数根．②方程有两个相等的实数根．③方程没有实数根．根与系数的关系（韦达定理）：若一元二次方程有两个根，，那么，关于的一元二次方程的根的情况为（    ）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定根的情况若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是(    )A． B． C．且 D．且关于的方程有实数根，则的取值范围是 （ ）A．且 B．且 C． D．方程的根的情况是（    ）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定是否有实数根已知，是方程的两个实数根，则的值是（    ）A．2021 B．2023 C．2024 D．2025若关于的方程有两实根，那么的取值范围是 ．已知，且，则的值为 ．已知，是方程的两个根，则的值为 ．若，是方程的两个实数根，则的值为 ．已知关于的一元二次方程．(1)求证：无论取何值，该方程总有实数根；(2)已知是方程的一个根，求的值．已知关于x的方程．(1)试说明：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程有一个根为3，求的值．已知，是方程的两个实数根，求下列各式的值．(1)；(2)；(3)．已知a，b是方程的两个不相等的实根，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)．已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，．(1)求的取值范围；(2)若，求的值．已知关于x的一元二次方程(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若是上述方程的两个实数根，且满足，请求出k的值及相应的实数根．已知：关于x的一元二次方程．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程两个根均为整数，且k为正整数，求k的值．已知关于 的一元二次方程：．(1)求证：方程总有两个实根；(2)若是整数，方程的根也是整数，求 的值．考点4 一元二次方程的实际应用（一）握手、比赛问题首届中国象棋比赛采用单循环制，每位棋手与棋手比赛一盘制，已知第一轮比赛共下了105场，那么参加第一轮比赛的共有几名选手？某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了张相片，全班有多少名学生？参加研讨会的教师每两人握一次手，共握手36次，这次参加研讨会的教师共有多少名？某市要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛．（本题第一问要求列方程作答）（1）应该邀请多少支球队参加比赛？（2）若某支球队参加3场后，因故不参与以后的比赛，问实际共比赛多少场？（二）传播问题某校有200台学生电脑和1台教师用电脑，现在教师用电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有16台电脑被感染．（1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?（2）若病毒得不到有效控制，______轮感染后机房内所有电脑都被感染．某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若主干、支干和小分支的总数是91，求这种植物每个支干长出的小分支个数是多少？某年，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫情导致，非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快，某养猪场第一天发现头生猪发病，两天后发现共有头生猪发病．(1)求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？(2)若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，天后生猪发病头数会超过头吗？某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有121个人被感染．（1）每轮感染中平均一个人会感染几个人？（2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过1300人？（三）面积问题某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆），求这个茶园的宽．如图，有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃，设花圃一边的长为x米，面积为y平方米．  (1)求y与x的函数关系式；(2)如果要围成面积为63平方米的花圃，的长是多少？饲养场准备利用现成的一堵“”字形的墙面（粗线表示墙面）建饲养场，已知，米，米，现计划用总长为米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场，并在每个区域开一个宽米的门，如图（细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆隔开），点在线段上．  (1)设的长为米，则 ______ 米；（用含的代数式表示）(2)若围成的饲养场的面积为平方米，求饲养场的宽的长；(3)所围成的饲养场的面积能否为平方米？如果能达到，求出的长；如果不能，请说明理由．如图，学校准备在围墙边用栅栏围成一个矩形场地（靠墙一面不用栅栏），用于修建自行车棚，若所用栅栏的总长度为34米，墙的最大可用长度为18米，为了出入方便，在垂直于墙的一边留了一个2米宽的门（门用其他材料），设栅栏的长为x米，解答下列问题：  (1)________米．（用含x的代数式表示）(2)若围成的自行车棚的面积为平方米，求栅栏的长．(3)围成的自行车棚的面积能为平方米吗？请说明理由．自我县开展文明城市创建工作以来，全县人民凝聚力量，众志成城全力打造精神文明高地，掀起了一场又一场“美丽风暴”“整治风暴”“文明风暴”．某小区原有一块宽为30m的长方形荒地，物业部门计划将其分为，，三部分，分别种植不同的花卉，美化人居环境．若，地块为正方形，地块的面积比地块的面积少，试求该长方形荒地的长．  如图，矩形草地中，m，m，点为边中点，草地内铺了一条长和宽分别相等直角折线甬路（，），若草地总面积（两部分阴影之和）为，求甬路的宽． 改善小区环境，争创文明家园．如图，某社区决定在一块长，宽的矩形场地上修建三条同样宽的小路，其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．要使每一块草坪部分的面积都为，则小路的宽应为多少？  学校课外兴趣活动小组准条利用长为8m的墙和一段长为26m的篱笆围建一个矩形的苗圃园，设平行于墙一边长为xm．  (1)如图1，如果矩形花园的一边靠墙，另三边由篱笆围成，当苗圃园的面积为60时，求x的值；(2)如图2，如果矩形苗圃园的一边由墙和一节篱笆构成，另三边由篱笆围成，当苗圃园的面积为60时，求x的值．（四）增长率问题台风“杜苏芮”牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款元，第三天收到捐款元．(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；(2)按照（1）中收到的捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？随旅游旺季的到来，北湖湿地公园的游客人数逐月增加，3月份游客人数为8万人，5月份游客人数为12.5万人．(1)求这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率；(2)预计6月份北湖湿地公园游客人数会继续增长，但增长率不超过前两个月的月平均增长率．已知北湖湿地公园6月1日至6月10日已接待游客6.625万人，则6月份后20天日均接待游客人数最多是多少万人？某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆人次，若进馆人次的月平均增长率相同．(1)求进馆人次的月平均增长率；(2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．随着我国数字化阅读方式的接触人群持续增多，数字阅读凭借独有的便利性成为了更快获得优质内容的重要途径．某市2020年数字阅读市场规模为500万元，2022年为845万元．(1)求2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率．(2)若年平均增长率不变，问2023年该市数字阅读市场规模是否可以达到1000万元？某楼盘7月份的均价为16000元/，受新型冠状病毒肺炎疫情的影响，开发商连续两次下调房价，9月份的均价为14440元/．(1)求该楼盘7月到9月期间均价的月平均下降率；(2)林叔叔决定等到均价低于14000元/时买房子，按这样的月平均下降率，林叔叔能在10月份买房子吗？（五）利润问题返校复学之际，某班家委会出于对学生卫生安全考虑，为每位学生准备了便携式免洗抑菌洗手液，去市场购买时，发现当购买量不超过100瓶时，免洗抑菌洗手液的单价为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，单价就降低0.2元，但最低价格不能低于每瓶5元，设家委会共买了x瓶免洗抑菌洗手液．(1)当时，每瓶洗手液的价格是 元；当时，每瓶洗手液的价格是 元．(2)如果家委会购买洗手液共花费1200元，问一共购买了多少瓶洗手液？某商场销售一批A型衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了增加盈利并尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．(1)若商场平均每天赢利元，每件衬衫应降价多少元？(2)在（1）的定价情况下，衬衫的成本价是120元，为了更快的盈利和清理库存，商店选择一种领带与A型衬衫成套出售，领带的成本价不高于衬衫成本价的一半，领带按照标价的8折出售，领带标价是其成本价的2倍，每套的利润为w元，领带的成本价为m元，当m为多少元时，才能使每套的利润最大，最大值是多少？商场销售一批衬衫，每件成本为50元，如果按每件60元出售，可销售800件；如果每件提价5元出售，其销售量就减少100件．如果商场销售这批衬衫要获利润12000元，又使顾客获得更多的优惠，那么这种衬衫售价应定为多少元？某商店进了一批服装，进价为每件50元．按每件60元出售时，可销售800件；若单价每提高1元，则其销售量就减少20件．今商店计划获利12000元且销售成本不超过24000元，问销售单价应定为多少元？此时应进多少件服装？端午节前夕，某超市从厂家分两次购进蛋黄粽子、红豆粽子，两次进货时，两种粽子的进价不变．第一次购进蛋黄粽子60袋和红豆粽子90袋，总费用为4800元；第二次购进蛋黄粽子40袋和红豆粽子80袋，总费用为3600元．(1)求蛋黄粽子、红豆粽子每袋的进价各是多少元？(2)当蛋黄粽子销售价为每袋70元时；每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对蛋黄粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当蛋黄粽子每袋的销售价为多少元时，每天售出蛋黄粽子所获得的利润为220元？兰溪联华超市今年三月初以每件元的进价购进一批水磨年糕，当年糕售价为每件元时，三月份共销售件．四、五月该批年糕销售量持续走高，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到件．(1)求四、五两个月销售量的月平均增长率；(2)从六月份起，在五月份的基础上，联华超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经市场调查发现，该年糕每件降价2元，月销售量增加件，在顾客获得最大实惠的前提下，当年糕每件降价多少元时，联华超市六月份仍可获利为元？某景区5月份的游客人数比4月份增加，6月份的游客人数比5月份减少了．(1)设该景区4月份的游客人数为万人，请用含的代数式分别表示5月份和6月份的游客人数；(2)求该景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率；(3)景区特色商品营销店推出一款成本价为40元的文化衫，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件售价每降低1元，日销售量增加2件；若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．(1)求二、三这两个月的月平均增长率；(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．(1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．(2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？（六）动点问题如图，在矩形中，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向终点B匀速运动，点Q以的速度向终点D匀速运动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为．  (1)当时，求四边形的面积；(2)当t为何值时，为？(3)当___，以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形？如图，在中，，点P由点A沿方向以1个单位每秒的速度运动，同时点Q从B沿方向以2个单位每秒的速度运动．连，设运动时间为t秒，：  (1)t为何值时，四边形的面积为9；(2)是否存在某一时刻t，使P点在线段的垂直平分线上？如图所示，中，，，．  (1)点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，经过几秒，使的面积等于？(2)在（1）的运动情况下，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．(3)若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，问几秒后，的面积为？已知：如图，在中，．点从点开始沿边向点以的速度匀速运动，同时点从点开始沿边向点以的速度匀速运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为．  (1)________后，的面积为；(2)几秒后，的长度为？(3)的面积能否为？请说明理由．如图，在矩形中，，，点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿对角线方向运动．已知P，Q两点同时出发，当点Q到达点A时，P，Q两点同时停止运动，连接．设运动时间为t秒．  (1) ______， ______．(2)当t为何值时，的面积为．(3)是否存在某一时刻t，使是以为底边的等腰三角形？如果存在，求出t值，如果不存在，请说明理由．在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿向终点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．  (1)填空：，__________（用含的代数式表示）；(2)当为何值时，的长度等于？(3)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时的值，若不存在，请说明理由．如图，已知A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以的速度向点D移动，设移动的时间为t秒．  (1)当t为何值时，P，Q两点间的距离最小？最小距离是多少？(2)连接．①当为等腰三角形时，求t的值；②在运动过程中，是否存在一个时刻，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．已知：如图，是边长为的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为，解答下列问题：  (1)当t为何值时，是直角三角形？(2)是否存在某一时刻t，使得四边形的面积是面积的？如果存在，求出相应的t值；如果不存在，说明理由．小华同学学习了课本节“问题6”后，在已知条件不变的情况下，又对该例题进行了拓展探究，请你和他一起解决以下几个问题：  问题6如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动．(1)几秒钟后点P、Q的距离为？请说明理由；(2)几秒钟后为直角？请说明理由；(3)当时，内有一个动点M，连接、．若，线段的最小值为______．