第二十二章 二次函数考点大梳理-2023-2024学年九年级数学上+下册重难点培优及章末梳理与检测（人教版）

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第二十二章 二次函数考点大梳理考点1 二次函数概念掌握二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．下列函数中，表示y是x的二次函数的是（     ）A． B． C． D．如果函数是二次函数，则m的值为 ．若函数是关于的二次函数，则 ．已知函数．（1）当为何值时，这个函数是关于的一次函数；（2）当为何值时，这个函数是关于的二次函数．考点2 二次函数y=a（x-h）2+k的性质抛物线的顶点坐标是（　　）A． B． C． D．抛物线的最大值为（    ）A．4 B． C．5 D．已知抛物线，下列结论错误的是（    ）A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大关于二次函数，下列说法不正确的是（    ）A．图象与y轴的交点坐标为 B．图象的对称轴在y轴左侧C．当时，y随x的增大而减小 D．函数的最小值为设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（    ）A． B． C． D．若，，为二次函数图像上的一点，则，，的大小关系是（    ）A． B． C． D．下列对二次函数的图像的描述中，不正确的是（    ）A．抛物线开口向下 B．抛物线的对称轴是直线C．抛物线与y轴的交点坐标是 D．抛物线的顶点坐标是考点3 二次函数y=ax2+bx+c的性质二次函数的图象与性质已知抛物线的对称轴为直线，则的值是（    ）A． B． C． D．已知，是抛物线上的点，则（   ）A． B． C． D．抛物线经过三点，则的大小关系是（　　）A． B． C． D．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（　　）A． B． C． D．若抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过A（4，0），O（0，0），B（﹣2，y1），C（2，y2）四点，则y1与y2的大小关系是（　　）A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定抛物线的对称轴和顶点坐标分别是（    ）A． B．，)C．， D．把二次函数用配方法化成的形式（  ）A．B．C． D．二次函数的顶点坐标是 ．考点4 二次函数与一次函数图象共坐标系判断判断一次函数与二次函数图象的问题关键在于掌握数形结合的思想，通过图象可以逐一去判断一次函数及二次函数的系数关系．函数y＝ax－a和（a为常数，且），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ）A．B．C．D．下列四个选项中，函数y＝ax+a与y＝ax2（a≠0）的图象表示正确的是（　　）A． B．C． D．在同一平面直角坐标系中，函数和函数（m是常数，且)的图象可能是（    ）A．B．C．D．函数和（a是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ）A．B． C．D．已知抛物线和直线在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（    ）A． B． C． D．一次函数与二次函数在同一坐标系的图像可能是（    ）A．B． C． D．在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致可能为（    ）A． B．C． D．下列各图是在同一直角坐标系内，二次函数与一次函数的大致图象，有且只有一个正确的，正确的是(    )A． B．C． D．考点5 二次函数图象与系数关系二次函数图象的特征与a，b，c的关系若二次函数（）的图象于x轴的交点坐标分别为，，且，图象上有一点在x轴下方，对于以下说法：①；②是方程的解；③④；⑤或，其中正确的有（　　）A．①② B．①②④ C．①②⑤ D．①②④⑤已知二次函数的图像如图所示，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（　　）个A． B． C． D．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）其中正确的结论有（   ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个抛物线的对称轴是直线，且过点顶点位于第二象限，其部分图象如图所示给出以下判断：①，且；②；③；④；⑤直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，，则．其中正确的个数为（　　）  A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二次函数的图像如图所示，下列说法：；当时，；若、在函数图像上，当时，；；，其中错误的个数有（   ）个．  A． B． C． D．如图，二次函数图像的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图像给出下列结论：①；②；③；④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；⑤若点，均在该二次函数图像上，则．其中正确结论的个数是（    ）  A．4 B．3 C．2 D．1考点6 二次函数图象的平移1．将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h） 2+k，顶点坐标为（h，k）．:2．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：3．注意二次函数平移遵循“左加右减（自变量），上加下减（常数项）”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线的解析式为（    ）A． B．C． D． 将拋物线经过下面的平移可得到拋物线的是（    ）A．向左平移3个单位长度，向上平移4个单位长度B．向左平移3个单位长度，向下平移4个单位长度C．向右平移3个单位长度，向上平移4个单位长度D．向右平移3个单位长度，向下平移4个单位长度将抛物线向右平移1个单位长度，向上平移2个单位，所得到的的抛物线的解析式为（    ）A． B． C． D．把二次函数的图象先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的新抛物线的顶点坐标是 ．抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是 ．抛物线先向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度后的顶点坐标为 ．考点7 二次函数与一元二次方程的关系若二次函数y=ax2+1的图象经过点（-2，0），则关于x的方程a（x-2）2+1=0的实数根为（　　）A．， B．，C．， D．，关于的二次函数的图像过原点，则的值为（    ）A． B．3 C． D．0若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．已知函数的图像与坐标轴恰有两个公共点，则实数的值为（    ）A．或 B． C．或 D．或已知抛物线与经过点（m，1），则代数式m²-m+2019的值为 ．若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则抛物线与轴的交点坐标为 ．抛物线与轴交点坐标为 ．二次函数的图象与轴交点坐标是 ．如图，二次函数的图象的顶点的坐标为，与轴交于，，根据图象回答下列问题：(1)写出方程的根；(2)若方程有实数根，写出实数的取值范围．考点8 二次函数与不等式二次函数与不等式（组）：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ）A． B．或 C．或 D．已知点P（x，y）在二次函数y=2（x+1）2﹣3的图象上，当﹣2＜x≤1时，y的取值范围是 ．如图是抛物线的一部分，其对称轴为直线，若其与x轴一交点为，则由图象可知，不等式的解集是 ．二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，由图象可知，不等式﹣x2+bx+c＜0的解集为 ．直线与抛物线的图象如图，当时，的取值范围为 已知，则当时，的取值范围是 已知二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和，求当时，x的取值范围为 .已知抛物线 的部分图象如图所示，根据函数图象可知，当 y＞0 时，x 的取值范围是 ．如图，一次函数与二次函数的图象相交于、两点，则关于的不等式的解集为 ．如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是 ．考点9 待定系数法求函数解析式二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．（3）交点式：，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．在平面直角坐标系中，抛物线经过点．(1)求这条抛物线的解析式．(2)直接写出抛物线的顶点坐标．已知抛物线交轴于，两点，，为抛物线上不与，重合的相异两点，记中点为．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若，，且，求证：，，三点共线．已知二次函数的顶点坐标为，且经过点，求该二次函数的解析式；已知二次函数的图象经过点，．求二次函数的解析式．已知抛物线的顶点坐标是（3，2），且经过点（1，-2）． 求这条抛物线的解析式．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(−1，0)和点B(0，3)，对称轴为直线x=1．（1）求该二次函数的解析式；（2）若0≤x≤4求函数y的取值范围；（3）点C为点B关于抛物线对称轴的对称点，直线y=mx+n经过A、C两点，根据图像直接写出满足ax2+bx+c>mx+n的x的取值范围．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a，c是常数，a≠0）经过A（﹣1，﹣2），B（1，﹣6）．(1)求抛物线y＝ax2+bx﹣3的函数解析式；(2)抛物线有两点M（2，y1）、N（m，y2），当y1＜y2时，求m的取值范围．已知二次函数的图象经过点和．（1）试确定该二次函数的表达式；（2）试判断点是否在该二次函数的图象上．在平面直角坐标系中，函数的图像经过点求的值；求该函数图像的顶点坐标和对称轴；自变量在什么范围内时，随着的增大而增大？抛物线经过，两点，求抛物线的解析式．已知二次函数的图象经过点（0，5）、（1，﹣1）、（2，﹣3）三点（1）求二次函数的关系式；（2）求出函数的顶点坐标，与x轴的交点坐标．根据条件求二次函数的解析式：（1）抛物线的顶点坐标为，且与轴交点的坐标为，（2）抛物线上有三点求此函数解析式．考点10 二次函数与几何图形如图，已知抛物线（常数）与轴分别交于点和点与轴交于点轴交抛物线于点作直线和甲、乙、丙三人的说法如下：甲：若则点的坐标为=乙：若则的值有两个，且互为倒数．丙：若点Q′是直线上一点，点到直线PQ′的最大距离为．下列判断正确的是（　　）A．甲对，乙和丙错 B．乙对，甲和丙错C．甲和丙对，乙错 D．甲、乙、丙都对已知如图，在正方形ABCD中，点A、C的坐标分别是（﹣1，5）（2，0），点D在抛物线的图像上，则k的值是（　　）A． B． C． D．如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（   ）  A． B． C． D．如图，抛物线与轴交于、两点，是以点（0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结.则线段的最大值是（ ）A． B． C． D．如图，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O，AD∥x轴，以O为顶点且过A、D两点的抛物线与以O为顶点且经过B、C两点的抛物线将正方形分割成几部分，则图中阴影部分的面积是 ．二次函数的图像如图所示，点位于坐标原点，点、、……在轴的正半轴上，点、、……在二次函数位于第一象限的图像上，若、……都是等边三角形，则点的坐标为 ．  如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是 如图已知的半径为，圆心在抛物线上运行，当与轴相切时，圆心的坐标为 ．  如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连结，则对角线的最小值为 ．如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B(点A在点B左侧)，根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”．如图2，则抛物线y＝x的“完美三角形”斜边AB的长 ．如图，在矩形中，射线平分，，．P是线段上一个动点，过点P作交射线于点M，以，为邻边作平行四边形．设，平行四边形和矩形重叠部分的面积为S．  (1)　　，当点N落在边上时，m的值为 　　．(2)求S关于m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围．如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果分别是从同时出发，求经过几秒时，  (1)的面积等于8平方厘米？(2)五边形的面积最小？最小值是多少？考点11 二次函数的实际应用图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽，如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（　　）  A． B． C． D． 某小区要用篱笆围成一直角三角形花坛.花坛的斜边利用足够长的墙，两条直角边所用的篱笆之和恰好为21米.围成的花坛是如图所示的直角，其中.设边的长为米，直角的面积为平方米.  (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；(2)根据小区的规划要求，所修建的直角三角形花坛面积是54平方米，问直角三角形的两条直角边的长各为多少米？某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线、线段分别表示该产品每千克生产成本（单位：元）、销售价（单位：元）与产量x（单位：）之间的函数关系．(1)①图中点D所表示的实际意义是　 　；②产量每增加，销售价格降低　 　元；(2)求线段所表示的与x之间的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围；(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？某校九年级学生小丽、小强和小红到某商场参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某商品的销售工作，已知该商品的进价为元/件，售价为元/件，下面是他们在活动结束后的对话：小丽：我发现此商品如果按元/件销售，每星期可卖出件．小强：我发现在售价元/件的基础上调整价格，每涨价元，每星期比小丽所调查的销售量件要少卖出件．小红：我发现在售价元/件的基础上调整价格，每降价元，每星期比小丽所调查的销售量件要多卖出件．(1)若设每件涨价元，则每星期实际可卖出__________件，每星期售出商品的利润（元）与的关系式为__________，的取值范围是__________．(2)若设每件降价元，则每星期售出商品的利润（元）与的关系式为__________．(3)在涨价情况下，如何定价才能使每星期售出商品的利润最大？最大利润是多少？足球比赛中，某运动员将在地面上的足球对着球门踢出，图中的抛物线是足球的飞行高度关于飞行时间的函数图象（不考虑空气的阻力）．已知足球飞出时，足球的飞行高度是，足球从飞出到落地共用时．  (1)求与之间的函数解析式；(2)足球的飞行高度能否达到？请说明理由．考点12 二次函数综合类问题如图，抛物线与轴交于两点，交轴于点．(1)求抛物线的解析式．(2)拋物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，点，与轴交于点，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．  (1)求这个二次函数的解析式；(2)当点运动到什么位置时，的面积最大？请求出点的坐标和面积的最大值．(3)连接，，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由；如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，．  (1)求抛物线解析式，并直接写出直线的解析式；(2)点在此拋物线的对称轴上，当最大时，点的坐标为______；(3)若点是第三象限内抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交于点，过点作交直线于点，求周长的最大值及此时点的坐标；(4)点在抛物线上，在平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是以为边的矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与y轴交于点C，连接．(1)求抛物线的函数表达式，并直接写出抛物线顶点Р的坐标；(2)D是抛物线上位于第四象限内的一点，连接，E是的中点，连接，，直接写出面积的最小值．如图，在平面直角坐标系中，直线和抛物线交于点，，且抛物线的对称轴为直线．  (1)求抛物线的解析式；(2)点在第四象限的抛物线上，且是以为底的等腰三角形，求点的坐标；(3)点是直线上方抛物线上的一动点，当点在何处时，点到直线的距离最大，并求出最大距离．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，顶点为，对称轴分别交轴、于点、，点是射线上一动点，过点作的平行线交抛物线于点、（点位于对称轴的左侧），设点的纵坐标为．  (1)求抛物线的解析式；(2)当点位于的中点时，求点M的坐标；(3)点Q是抛物线上一点，点P在整个运动过程中，满足以点C、P、M、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t的值．综合与探究如图，经过，两点的抛物线与轴的另一个交点为．  (1)求抛物线的解析式；(2)点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求的坐标；(3)已知点在抛物线上，求时的点坐标；(4)已知，请直接写出能以点，，，为顶点的四边形是平行四边形的点坐标．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于两点，抛物线与y轴的交点为．  (1)求抛物线的解析式；(2)点P是线段上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，连接．设点P的横坐标为t．①设的面积为s，求出s与t之间的函数关系式，并说明t的取值范围．②s是否存在最大值，若存在，求出s的最大值．若不存在，说明理由．③在点P运动过程中，能否使得是以点B为顶点的等腰三角形，若可以，求出P点的坐标若不可以，说明理由．开口方向开口向上开口向下对称轴直线直线顶点（h，k）（h，k）增减性当xh时，y随x的增大而增大当xh时，y随x的增大而减小最值当x=h时，y有最小值k当x=h时，y有最大值k解析式二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）对称轴x=–顶点（–，）a的符号a>0a0开口向上a0（a与b同号）对称轴在y轴左侧ab0与y轴正半轴相交c0与x轴有两个交点b2–4ac