第二十七章 相似三角形考点大梳理-2023-2024学年九年级数学上+下册重难点培优及章末梳理与检测（人教版）

这是一份第二十七章 相似三角形考点大梳理-2023-2024学年九年级数学上+下册重难点培优及章末梳理与检测（人教版），文件包含第二十七章相似三角形考点大梳理原卷版docx、第二十七章相似三角形考点大梳理解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共79页， 欢迎下载使用。
第二十七章 相似三角形考点大梳理考点1 比例线段、比例的基本性质考点2 平行线分线段成比例考点3 相似三角形的判定考点4 相似三角形的性质考点5 相似三角形的实际应用考点6 位似变换考点1 比例线段、比例的基本性质✹对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），这四条线段是成比例线段，简称比例线段．✹黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=5-12AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．下列各组线段（单位：cm）中，成比例线段的是（    ）A．1、2、3、4 B．2、3、4、6C．1、、2、 D．、2、、3【答案】B【分析】本题考查成比例线段，验证内项积是否等于外项积即可判断．【详解】解：A：，不符合题意；B：，符合题意；C：，不符合题意；D：，不符合题意；故选：B已知，且，则 ．【答案】8【分析】本题考查了比例的性质．熟练掌握比例的性质是解题的关键．由题意得，，，则，计算求解即可．【详解】解：∵，∴，，∵，∴，解得，，故答案为：8．已知   则 ．【答案】【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质．【详解】解：∵∴设，，∴．如果且，那么 ．【答案】2【分析】本题考查了比例的性质，设，则，，，由得出，求得，从而得到、、的值，代入进行计算即可得到答案，设是解此题的关键．【详解】解：，设，则，，，，，解得：，，，，，故答案为：2．已知，则＝ ．【答案】【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．【详解】解：设∴设，∴故答案为：已知，，那么 ．【答案】4【分析】本题主要考查了比例的基本性质．由已知，得：，，,代入化简即可求得答案.【详解】解：由已知，得：，，，∴.故答案是：4.若，，，是比例线段且，，，则 ．【答案】18【分析】本题考查了比例线段的定义：若四条线段a，b，c，d有，那么就说这四条线段成比例．如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义，将a，b及c的值代入即可求得d．【详解】解：已知a，b，c，d是成比例线段，根据比例线段的定义得：，，代入，，，解得：．故答案为：18．四条线段a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则 ．【答案】【分析】此题考查了比例线段的定义，解题的关键是熟记比例线段的定义．由四条线段a、b、c、d成比例，根据比例线段的定义，即可得，又由，，，即可求得a的值．【详解】解：∵四条线段a、b、c、d成比例，∴，，，，，解得：．故答案为：．考点2 平行线分线段成比例✹平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．如图，，则下列结论正确的是（        ）  A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，逐项分析判断即可求解．【详解】解：，A. ∵，∴，故该选项不正确，不符合题意；B. ∵，∴，故该选项不正确，不符合题意；C. ∵，∴，故该选项不正确，不符合题意；    D. ∵，∴，即，故该选项正确，符合题意；故选：D．如图，已知，它们依次交直线，于点、、和点、、，则的对应线段是（    ）  A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据夹在平行线中的线段是对应线段，即可求解．【详解】解：依题意，的对应线段是,故选：C．如图，已知直线，若，，，则（    ）  A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记：“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”是解题的关键．【详解】解：，，，，，即，解得：，，故选C．如图，在中，点在边上，连接，点在边上，过点作，交于点，过点作，交于点，则下列式子一定正确的是（    ）  A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例的运算方法即可求解．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，故选：．【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例的内容是解题的关键．如图，四边形是平行四边形，点在的延长线上，点在的延长线上，连接，分别交、于点、，则下列结论错误的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例定理进行判断即可．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∴，，，故选：C．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例．如图，；；下列比例式正确的是（    ）．A． B． C． D．【答案】A【分析】用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案.【详解】解：∵DE∥BC，∴，，∵EF∥AB，∴，，∴即，故选A.【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键在于能够熟练掌握平行线分线段成比例定理.考点3 相似三角形的判定✹相似三角形的判定方法汇总：1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似如图，不能判定和相似的条件是（　　）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了相似三角形的判定，相似三角形的判定方法：有两对角分别相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．据此判定即可．【详解】解：由题意得，A、能判定，利用两边成比例夹角相等；B、能判定，两角对应相等的两个三角形相似；C、能判定，两角对应相等的两个三角形相似；D、由于两边成比例，夹角不一定相等，不能判定．故选：D．如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ）  A．   B．   C．   D．  【答案】C【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定逐一判断即可．【详解】解：A、∵，∴，故本选项不符合题意；B、∵，∴，故本选项不符合题意；C、由图形可知，只有，不能判断，故本选项符合题意；D、∵，∴，故本选项不符合题意；故选：C．如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，先证，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断，即可求解．【详解】解：，，，A．若添加，根据两角对应相等的两个三角形相似，可证，不合题意；B．若添加，根据两角对应相等的两个三角形相似，可证，不合题意；C．若添加，满足两边对应成比例，不满足夹角相等，不能证明，符合题意；D．若添加，根据两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，可证，不合题意；故选C．如图，在中，点D在线段上，请添加一条件使，则下列条件中不正确的是（      ）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查添加条件证明三角形相似，根据相似三角形的判定方法，两组对应角对应相等，和两组对应边对应成比例，夹角相等，进行判断即可．【详解】解：在和中，，要使，只需，，或或即可；当时，∵，∴，能使；综上：只有选项A不能证明；故选A．在中，，，点是的中点，点为上一动点，当 时，与相似．【答案】或【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据题意列出线段的比例关系是解题的关键．根据相似三角形的性质可得线段的比例关系进而得出的值．【详解】解：与相似时，或者，在中，，，点是的中点，，，即，解得:，，即，解得：．故答案为：或．如图，在中，点是上一点，且，，．求证：．  【答案】证明见解析．【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，首先利用已知得出，进而利用相似三角形的判定方法得出即可．【详解】解：证明：，，， ，又 ．如图，在与中，，且．求证：．  【答案】见解析【分析】本题考查了相似三角形的判定，先证得，再结合，即可判定，熟练掌握有两条边的比相等，且其夹角相等，则这两个三角形相似，是解此题的关键．【详解】证明：，，，，．如图，在中，，D，E分别是，上的点，且，求证：．  【答案】见解析【分析】本题考查相似三角形的判定．等边对等角，得到，利用外角的性质，推出，即可得证．熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．【详解】证明：∵，∴，∵，，∴，∴．如图，在正方形中，E为边的中点，且．求证：．【答案】见解析【分析】本题考查相似三角形的判定等知识．根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可．【详解】证明：∵四边形是正方形，∴，设．∵E为边的中点，且，∴，∴，，∴，∴．如图，，．求证：．  【答案】见解析【分析】本题考查了三角形相似的判定，结合图形的特点，用好公共角，计算补充一组相等的对应角是解题的关键．【详解】∵，∴，∴，∵，∴．如图，线段、是的两条高．求证：．  【答案】证明见解析【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据三角形高的定义得到，进而根据两组角对应相等的两个三角形相似进行证明是解题的关键．【详解】证明：∵线段、是的两条高，∴，∴，又∵，∴．如图，在中，，F是边上一点，且，过点A作的垂线，交的延长线于点D，求证：．  【答案】见解析【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据，得出，进而得出，再推出，即可求证．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴．如图，在中，分别是边上的点，连接，且，．求证：．  【答案】见解析【分析】根据三角形内角和定理可得，即可证明．【详解】证明：∵，∴，∵，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．如图，在和中，,且．求证：  【答案】见解析【分析】根据相似三角形的判定即可求出答案．【详解】解：，，，．【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．如图，在和中，，，，连接、．求证：．  【答案】见解析【分析】根据等腰直角三角形的性质得，，再根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得出答案．【详解】证明：∵，，，∴，，，∴，∴，即，∴．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，灵活选择判定定理是解题的关键．如图，在中，为边上一点，连接为上一点，连接，且．求证：．  【答案】见解析【分析】由平行四边形的性质可得，，得到，然后由，得到，然后根据相似三角形的判定可得结论．【详解】解：∵四边形是平行四边形∴，∴∵，∴∴．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定、平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质定理是解决此题关键．如图，在中，，是边上的高．(1)求证：；(2)若，，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由已知可得，又因为，根据相似三角形的判定即可得证；（2）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，然后根据勾股定理即可得到结论．【详解】（1）证明：∵是边上的高，∴，∵，∴∵，∴；（2）解：∵，是边上的高，，，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴的长为．【点睛】本题考查相似三角形的判定，勾股定理，三角形高的定义．掌握相似三角形的判定是解题的关键．如图，在和中，于A，于D，相交于点O，，求证：．  【答案】见解析【分析】先根据直角三角形的性质，得，再根据相似三角形的判定即可．【详解】证明：∵于A，于D，∴，又∵，∴，又∵，∴，,∴，∴．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是本题的关键．如图所示，延长平行四边形一边至点F，连接交于点E，若．  (1)求证：；(2)若，求的长．【答案】(1)见解析(2)9【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，则，即可求证；（2）根据平行四边形的性质可得，根据相似三角形的性质可得，即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴；（2）解：∵四边形是平行四边形，∴，由（1）可得，，∴，∴．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等；相似三角形对应边成比例．如图，，那么图中相似的三角形有哪几对？  【答案】，，，．【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可以判断，，，．【详解】解：根据，同时有公共角必相等，根据相似三角形判定定理，可得，，；同时由，可得：，得：，又，根据相似三角形判定定理，得：．【点睛】题目主要考查相似三角形判定定理，同时要注意根据题目条件推出一些其它角相等的条件，注意不要遗漏．如图，在中，平分，点E在上，且．  (1)求证：；(2)若，，求的值．【答案】(1)见解析(2)．【分析】（1）已知平分，可得，再由，可得，即可得，从而得；（2）作于点F，于点G，利用角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式求得，据此即可求解．【详解】（1）证明：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：作于点F，于点G，  ∵平分，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定、平行线的判定和性质、角平分线的性质，掌握“角平分线上点到角两边的距离相等”是解题的关键．已知：四边形的两条对角线相交于点P，，、延长线交于点Q，求证：．【答案】证明见解析【分析】根据互补的性质，推出，再利用相似三角形的判定条件，即可证明结论．【详解】证明：，，，，，．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定条件是解题关键．如图，为菱形的对角线，点E在的延长线上，且．求证：．  【答案】见解析【分析】由菱形的性质可得，．则．由，，证明三角形相似即可．【详解】证明：∵四边形是菱形，∴，∵，∴，∵，，∴．【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．考点4 相似三角形的性质✹相似三角形对应线段之比等于相似比，对应角相等。✹相似三角形周长之比等于相似比；相似三角形面积之比等于相似比的平方。如图，在中，若点D，E分别是的中点，则与四边形的面积比为（    ）  A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查三角形中位线定理及相似三角形的判定与性质，解题的关键根据中位线定理得到，从而判定．【详解】解：∵D，E分别是的中点，∴，且，∴，∴，∴，故选B．若两个相似三角形的面积之比为，则它们的周长之比为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质即可求解，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．【详解】解：这个相似三角形的面积之比为，它们的周长之比为，故选A．若与相似，且对应边之比，则与的面积比为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查相似三角形的性质，熟记“相似三角形面积的比等于相似比的平方”是解题关键，由相似三角形的性质即可求解．【详解】解：与相似，且对应边之比，．故选：C．已知，，，的周长为12，则的周长为（    ）A．18 B．19 C．20 D．21【答案】C【分析】本题主要考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质得到边长比，利用周长比为边长比即可求得答案．【详解】解：∵，∴，∵，∴的周长：的周长，∵的周长为12，∴的周长为20．故选：C．如果，且的三边长分别为3、5、6，的最短边长为9，那么的周长等于 （    ）A．4 B． C．21 D．42【答案】D【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．【详解】解：，相似比为，，；故选：D．如图，在中，，，则（    ）  A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查相似三角形的的判定与性质，利用相似三角形的判定定理并结合已知可得，再根据相似三角形的性质可得，，最后利用面积之间的关系进行解答即可．【详解】解：，，，，，设，则，，，，，故选：C．若两个相似三角形对应边上的高的比为，则这两个三角形的周长的比为（    ）A． B． C． D．不能确定【答案】B【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的周长之比等于相似比是解题的关键．【详解】解：∵两个相似三角形对应边上的高的比为，∴这两个相似三角形的相似比为，∴这两个三角形的周长的比为，故选B．如图，已知，与相交于点．若，，则   【答案】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据面积比等于相似比的平方即可求解，掌握相关性质是解题的关键．【详解】解：∵，∴，∵，∴，又∵，∴，故答案为：．如图，在中，，与相交于点O，则 ．  【答案】/【分析】根据平行四边形的性质得到，由面积比等于相似比的平方即可求解．【详解】∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵，∴，故答案为：．如图，在中，，点D，E分别在上，将沿折叠，点B的对应点F刚好落在上．当时，的长为 ．  【答案】/【分析】本题考查了相似三角形的性质，折叠的性质，根据折叠的性质得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵将沿翻折得到，，∵，∴，，，，,解得：．故答案为：．若，且与的面积比是，则与对应角平分线之比为 ．【答案】/【分析】根据相似三角形的性质可得，求得，即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，∴与对应角平分线之比为，故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．如图，在中，，平分，作交于点E，垂足为F．作，垂足为G．  (1)求证：．(2)求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查相似三角形的性质和判定．熟知相似三角形的判定定理和性质是正确解题的关键．（1）由已知条件先证∽，再得出对应成比例的线段即可；（2）先证≌，得出，再证∽，得出成比例的线段即可．【详解】（1）证明：∵，，∴．又∵，∴∽，∴，即．（2）证明：∵平分，∴．又∵，，∴≌，∴．∵，∴．又∵，∴，∴．∵，∴，∴∽，∴，即，∴．在矩形中，为的中点，为上的一点，，连接并延长交于点，连接并延长交的延长线于点．(1)求证：；(2)若①求的值；②若，直接写出___________．【答案】(1)见解析(2)①；②【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、平行线分线段成比例等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似及对应线段成比例是解决问题的关键．（1）根据相似三角形判定的方法，判断出即可得出成比例的线段．（2）①设，然后把相关线段用含k的式子表示，再利用平行线分线段成比例得出对应成比例的线段即可．②证出求出的长即可．【详解】（1）证明：四边形是矩形，，，． ；（2）①解：设，则，为的中点，，，则，，,．②．∴,,,即,,．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，垂足为B，交于点E．  (1)求证：．(2)若，，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由菱形的性质证得，再由同角的余角相等证得，利用有两个角分别相等的三角形相似判定，由相似三角形的性质可得比例式，结合菱形的边长相等可得结论；（2）利用有两个角分别相等的三角形相似判定，从而可得比例式，利用勾股定理求得的长，再由比例式可得的值，进而得出的值，然后由关系式求得答案即可．【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∴，∵，，∴由勾股定理得：，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．如图，在正方形中，，在边上取中点，连接，过点做与交于点，与的延长线交于点．(1)求证：；(2)求的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了正方形的性质和相似三角形的判定和性质．（）根据正方形的性质得出，再通过同角的余角相等得出，最后根据相似三角形的判定得出即可；（）根据正方形的性质得出，，由点是的中点，求出，根据求出，根据相似得出比例式，面积比等于相似比的平方求出即可；【详解】（1）在正方形中，∵∴∴∴，（2）在正方形中，，∵点是的中点，∴，∵，∴，∴，∴，∴，且，∵ ，∴，∴，∴．已知：四边形中，，平分，交于，且，延长线交于，，．  (1)求证：；(2)求的值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定；（1）根据平行线的性质得出，进而根据角平分线的定义得出，根据等角对等边，即可求解；（2）证明，根据相似三角形的性质，即可求解．【详解】（1）证明：，，平分，,，；（2）解：由（1）知：，，，，，，∴．【探索与发现】（1）如图1，在四边形中，，对角线、相交于，则成立吗？试说明理由．（2）如图2，对于四边形中，对角线、相交于，则的结论是否成立？【应用与综合】在图（3）的情形下，比较大小： （填>、=、、=、