江苏版高考物理一轮复习第4章素养5双星模型和多星模型课时学案

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2．特点
(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即
eq \f(Gm1m2,L2)＝m1ωeq \\al(2,1)r1，eq \f(Gm1m2,L2)＝m2ωeq \\al(2,2)r2。
(2)两颗星的周期及角速度都相同，
即T1＝T2，ω1＝ω2。
(3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。
(4)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即
eq \f(m1,m2)＝eq \f(r2,r1)。
(5)双星的运动周期T＝2πeq \r(\f(L3,Gm1＋m2))。
(6)双星的总质量m1＋m2＝eq \f(4π2L3,T2G)。
[示例1] (双星模型)双星系统中两个星球A、B的质量都是m，A、B相距L，它们正围绕两者连线上某一点做匀速圆周运动。实际观测该系统的周期T要小于按照力学理论计算出的周期理论值T0，且eq \f(T,T0)＝k(k<1)，于是有人猜测这可能是受到了一颗未发现的星球C的影响，并认为C位于双星A、B的连线正中间，相对A、B静止，求：
(1)两个星球A、B组成的双星系统周期理论值T0；
(2)星球C的质量。
[解析] (1)两星球的角速度相同，根据万有引力充当向心力知：eq \f(Gmm,L2)＝mr1ωeq \\al(2,1)＝mr2ωeq \\al(2,1)
可得r1＝r2①
两星绕连线的中点转动，则有：
eq \f(Gmm,L2)＝m×eq \f(L,2)ωeq \\al(2,1)
解得ω1＝eq \r(\f(2Gm,L3))②
所以T0＝eq \f(2π,ω1)＝2πeq \r(\f(L3,2Gm))。③
(2)由于C的存在，双星的向心力由两个力的合力提供，则
eq \f(Gmm,L2)＋Geq \f(Mm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(L,2)))2)＝m·eq \f(1,2)L·ωeq \\al(2,2)④
T＝eq \f(2π,ω2)＝kT0⑤
联立③④⑤式解得M＝eq \f(1－k2m,4k2)。
[答案] (1)2πeq \r(\f(L3,2Gm)) (2)eq \f(1－k2m,4k2)
多星模型
1．定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。
2．三星模型
(1)三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)。
(2)三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)。

甲 乙 丙 丁
3．四星模型
(1)其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)。
(2)另一种是三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)。
[示例2] (三星模型)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式(如图所示)：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三颗星的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，则( )
A．直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同
B．直线三星系统的运动周期T＝4πReq \r(\f(R,5GM))
C．三角形三星系统中星体间的距离L＝eq \r(3,\f(5,12))R
D．三角形三星系统的线速度大小为eq \f(1,2)eq \r(\f(5GM,R))
B [直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相等，方向相反，选项A错误；对直线三星系统有Geq \f(M2,R2)＋Geq \f(M2,2R2)＝Meq \f(4π2,T2)R，解得T＝4πReq \r(\f(R,5GM))，选项B正确；对三角形三星系统根据万有引力和牛顿第二定律得2Geq \f(M2,L2)cs 30°＝Meq \f(4π2,T2)·eq \f(L,2cs 30°)，又两种系统的运动周期相同，联立解得L＝eq \r(3,\f(12,5))R，选项C错误；三角形三星系统的线速度大小为v＝eq \f(2πr,T)＝eq \f(2π\f(L,2cs 30°),T)，代入解得v＝eq \f(\r(3),6)·eq \r(3,\f(12,5))·eq \r(\f(5GM,R))，选项D错误。]
解决双星、多星问题的关键点
(1)由双星或多星的特点、规律，确定系统的中心以及运动的轨道半径。
(2)星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供。
(3)星体的角速度相等。
(4)星体的轨道半径不是天体间的距离。要利用几何知识，寻找两者之间的关系，正确计算万有引力和向心力。
[即时训练]
1.(双星模型)有一对相互环绕旋转的超大质量双黑洞系统，如图所示。若图中双黑洞的质量分别为M1和M2，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动。根据所学知识，下列说法中正确的是( )
A．双黑洞的角速度之比ω1∶ω2＝M2∶M1
B．双黑洞的轨道半径之比r1∶r2＝M1∶M2
C．双黑洞的线速度大小之比v1∶v2＝M1∶M2
D．双黑洞的向心加速度大小之比a1∶a2＝M2∶M1
D [双黑洞绕连线的某点做匀速圆周运动的周期相等，所以角速度也相等，故A错误；双黑洞做匀速圆周运动的向心力由它们间的万有引力提供，向心力大小相等，由M1ω2r1＝M2ω2r2，得r1∶r2＝M2∶M1，故B错误；由v＝ωr得双黑洞的线速度大小之比为v1∶v2＝r1∶r2＝M2∶M1，故C错误；由a＝ω2r得双黑洞的向心加速度大小之比为a1∶a2＝r1∶r2＝M2∶M1，故D正确。]
2．(四星模型)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。设四星系统中每颗星的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上。已知引力常量为G。关于宇宙四星系统，下列说法不正确的是( )
A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动
B．四颗星的轨道半径均为eq \f(a,2)
C．四颗星表面的重力加速度均为eq \f(Gm,R2)
D．四颗星的周期均为2πaeq \r(\f(2a,4＋\r(2)Gm))
B [其中一颗星在其他三颗星的万有引力作用下，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为eq \f(\r(2),2)a，故A正确，B错误；在每颗星表面，根据万有引力近似等于重力，可得Geq \f(mm′,R2)＝m′g，解得g＝eq \f(Gm,R2)，故C正确；由万有引力定律和向心力公式得eq \f(Gm2,\r(2)a2)＋eq \f(\r(2)Gm2,a2)＝meq \f(4π2,T2)·eq \f(\r(2)a,2)，解得T＝2πaeq \r(\f(2a,4＋\r(2)Gm))，故D正确。]
课时分层作业(十三) 万有引力与航天
(对应学生用书第416页)
题组一 开普勒定律的应用
1.2022年5月，“墨子号”量子科学实验卫星首次实现了地球上相距1 200公里两个地面站之间的量子态远程运输。“墨子号”运行轨道为如图所示的椭圆轨道，地球E位于椭圆的一个焦点上，轨道上标记了“墨子号”卫星经过相等时间间隔(Δt＝eq \f(T,14)，T为轨道周期)的位置。如果作用在卫星上的力只有地球E对卫星的万有引力，则下列说法正确的是( )
A．面积S1>S2
B．卫星在轨道A点的速度小于在B点的速度
C．T2＝Ca3，其中C为常数，a为椭圆半长轴
D．T2＝C′b3，其中C′为常数，b为椭圆半短轴
C [根据开普勒第二定律可知，卫星与地球的连线在相同时间内扫过的面积相等，故面积S1＝S2，选项A错误；根据开普勒第二定律可知，卫星在轨道A点的速度大于在B点的速度，选项B错误；根据开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k可知，C＝eq \f(1,k)，其中C为常数，a为椭圆半长轴，选项C正确，D错误。]
2.如图所示，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中( )
A．从P到M所用的时间等于eq \f(T0,4)
B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C．从P到Q阶段，速率逐渐变大
D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功
D [在海王星从P到Q的运动过程中，由于引力与速度的夹角大于90°，因此引力做负功，根据动能定理可知，速度越来越小，C项错误；海王星从P到M的时间小于从M到Q的时间，因此从P到M的时间小于eq \f(T0,4)，A项错误；由于海王星运动过程中只受到太阳引力作用，引力做功不改变海王星的机械能，即从Q到N的运动过程中海王星的机械能守恒，B项错误；从M到Q的运动过程中引力与速度的夹角大于90°，因此引力做负功，从Q到N的过程中，引力与速度的夹角小于90°，因此引力做正功，即海王星从M到N的过程中万有引力先做负功后做正功，D项正确。]
题组二 万有引力定律的理解及应用
3.(2022·山东卷)“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星。如图所示，该卫星围绕地球的运动视为匀速圆周运动，轨道平面与赤道平面接近垂直。卫星每天在相同时刻，沿相同方向经过地球表面A点正上方，恰好绕地球运动n圈。已知地球半径为地轴R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g，则“羲和号”卫星轨道距地面高度为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(gR2T2,2n2π2)))eq \f(1,3)－R B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(gR2T2,2n2π2)))eq \f(1,3)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(gR2T2,4n2π2)))eq \f(1,3)－R D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(gR2T2,4n2π2)))eq \f(1,3)
C [依题意可知卫星的绕行周期T0＝eq \f(T,n)，对卫星根据牛顿第二定律可得Geq \f(Mm,R＋h2)＝m(R＋h)·eq \f(4π2,T\\al(2,0))，根据黄金代换式gR2＝GM，联立解得h＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(gR2T2,4n2π2)))eq \f(1,3)－R，C正确。]
题组三 宇宙速度及卫星运行参量的分析计算
4．(2021·江苏省新高考适应性考试)2020年12月3日，“嫦娥五号”上升器携带月壤样品成功回到预定环月轨道，这是我国首次实现地外天体起飞。环月轨道可以近似为圆轨道，已知轨道半径为r，月球质量为M，引力常量为G。则上升器在环月轨道运行的速度为( )
A.eq \f(GM,r2) B．eq \f(GM,r)
C.eq \r(\f(GM,r2)) D．eq \r(\f(GM,r))
D [根据卫星绕月球做圆周运动的向心力等于万有引力，则Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，解得v＝eq \r(\f(GM,r))，故选D。]
5．用m表示地球同步卫星的质量，h表示它离地面的高度，R表示地球的半径，g表示地球表面处的重力加速度，ω表示地球自转的角速度，则( )
A．同步卫星内的仪器不受重力
B．同步卫星的线速度大小为ωR
C．地球对同步卫星的万有引力大小为eq \f(mgR2,h2)
D．同步卫星的向心力大小为eq \f(mgR2,R＋h2)
D [同步卫星做匀速圆周运动，同步卫星内的仪器处于完全失重状态，不是不受重力，故A错误；同步卫星的线速度大小为v＝ωr＝ω(R＋h)，故B错误；在地球表面，由重力等于万有引力得mg＝Geq \f(Mm,R2)，在卫星位置，由万有引力提供向心力得F＝man＝Geq \f(Mm,R＋h2)，联立解得F＝eq \f(mgR2,R＋h2)，故C错误，D正确。]
6．(2022·浙江卷)神舟十三号飞船采用“快速返回技术”，在近地轨道上，返回舱脱离天和核心舱，在圆轨道环绕并择机返回地面。则( )
A．天和核心舱所处的圆轨道距地面高度越高，环绕速度越大
B．返回舱中的宇航员处于失重状态，不受地球的引力
C．质量不同的返回舱与天和核心舱可以在同一轨道运行
D．返回舱穿越大气层返回地面过程中，机械能守恒
C [根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，可知r越大，环绕速度越小，A错误；返回舱中的宇航员处于失重状态，但仍受地球的引力，B错误；根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，可知质量不同的返回舱与天和核心舱可以在同一轨道运行，C正确；返回舱穿越大气层返回地面过程中，摩擦力做负功，机械能减小，D错误。]
7．质量不等的两星体在相互间的万有引力作用下，绕两者连线上某一定点O做匀速圆周运动，构成双星系统。由天文观察测得其运动周期为T，两星体之间的距离为r，已知引力常量为G。下列说法正确的是 ( )
A．双星系统的平均密度为eq \f(3π,GT2)
B．O点离质量较大的星体较远
C．双星系统的总质量为eq \f(4π2r3,GT2)
D．若在O点放一物体，则物体受两星体的万有引力合力为零
C [根据Geq \f(Mm,r2)＝mr1eq \f(4π2,T2)，Geq \f(Mm,r2)＝Mr2eq \f(4π2,T2)，联立两式解得M＋m＝eq \f(4π2r3,GT2)，因为双星的体积未知，无法求出双星系统的平均密度，选项A错误，C正确；根据mω2r1＝Mω2r2可知mr1＝Mr2，质量大的星体离O点较近，选项B错误；因为O点离质量较大的星体较近，根据万有引力定律可知若在O点放一物体，即物体受质量大的星体的万有引力较大，故合力不为零，选项D错误。]
题组四 卫星发射与变轨问题
8．(2023·江苏南通高三月考)北斗问天，国之夙愿，我国“北斗三号”系统的收官之星是地球静止轨道卫星，其轨道半径约为地球半径的7倍，则该地球静止轨道卫星( )
A．其发射速度一定大于11.2 km/s
B．在轨道上运动的线速度一定小于7.9 km/s
C．环绕地球运动的轨道可能是椭圆
D．它可以经过北京正上空，所以我国能利用它进行电视转播
B [地球静止轨道卫星其发射速度一定大于7.9 km/s 而小于11.2 km/s，A错误；第一宇宙速度为近地卫星的环绕速度，即最大的环绕速度，同步卫星的轨道半径大于近地卫星的轨道半径，由eq \f(GMm,r2)＝eq \f(mv2,r)得v＝eq \r(\f(GM,r))，则地球静止轨道卫星的线速度一定小于第一宇宙速度，即其在轨道上运动的线速度一定小于7.9 km/s，B正确；环绕地球运动的轨道是圆，C错误；地球静止轨道卫星在赤道平面，因此不经过北京上空，D错误。]
9．如图为某火星探测器进行“平面轨道调整”过程的示意图，图中虚线轨道所在平面与实线轨道所在平面垂直。探测器由远处经A点进入轨道1，经B点进入轨道2，经C点进入轨道3，再经C点进入轨道4。上述过程仅在点A、B、C启动发动机点火，A、B、C、D、E各点均为各自所在轨道的近火点或远火点，各点间的轨道均为椭圆。以下说法正确的是( )
A．探测器经过E点的机械能大于D点的机械能
B．在B点发动机点火过程中推力对探测器做正功
C．探测器经过E点的速度一定大于火星的第一宇宙速度
D．探测器从A点运行到B点的时间大于在轨道2上从B点运行到C点的时间
D [探测器由轨道3进入轨道4需要点火减速，机械能减少，因此探测器经过E点的机械能小于D点的机械能，选项A错误；在B点发动机点火使探测器进入半径较小的轨道2，需要减速，因此在B点点火过程中推力对探测器做负功，选项B错误；火星的第一宇宙速度是环绕火星的最大运行速度，因此探测器经过E点的速度一定小于火星的第一宇宙速度，选项C错误；轨道1的半长轴大于轨道2的半长轴，根据开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k可知探测器从A点运行到B点的时间大于在轨道2上从B点运行到C点的时间，选项D正确。]
10.(2023·江苏高三月考)2022年8月15日发生了土星冲日现象，如图所示，土星冲日是指土星、地球和太阳几乎排列成一线，地球位于太阳与土星之间。此时土星被太阳照亮的一面完全朝向地球，所以明亮而易于观察。地球和土星绕太阳公转的方向相同，轨迹都可近似为圆，地球一年绕太阳一周，土星约29.5年绕太阳一周。则( )
A．地球绕太阳运转的向心加速度小于土星绕太阳运转的向心加速度
B．地球绕太阳运转的运行速度比土星绕太阳运转的运行速度小
C．2021年没有出现土星冲日现象
D．土星冲日现象下一次出现的时间是2023年
D [地球的公转周期比土星的公转周期小，由万有引力提供向心力有Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)，解得T＝eq \r(\f(4π2r3,GM))，可知地球的公转轨道半径比土星的公转轨道半径小。又Geq \f(Mm,r2)＝ma，解得a＝eq \f(GM,r2)∝eq \f(1,r2)，可知行星的轨道半径越大，加速度越小，则土星的向心加速度小于地球的向心加速度，选项A错误；由万有引力提供向心力有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，解得v＝eq \r(\f(GM,r))，知土星的运行速度比地球的小，选项B错误；设T地＝1年，则T土＝29.5年，出现土星冲日现象则有(ω地－ω土)·t＝2π，得距下一次土星冲日所需时间t＝eq \f(2π,ω地－ω土)＝eq \f(2π,\f(2π,T地)－\f(2π,T土))≈1.04年，选项C错误，D正确。]
11．将一质量为m的物体分别放在地球的南、北两极点时，该物体的重力均为mg0；将该物体放在地球赤道上时，该物体的重力为mg。假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R，已知引力常量为G，则由以上信息可得出( )
A．g0小于g
B．地球的质量为eq \f(gR2,G)
C．地球自转的角速度为ω＝eq \r(\f(g0－g,R))
D．地球的平均密度为eq \f(3g,4πGR)
C [设地球的质量为M，物体在赤道处随地球自转做圆周运动的角速度等于地球自转的角速度，轨道半径等于地球半径，物体在赤道上的重力和物体随地球自转的向心力是万有引力的分力，又物体在两极受到的重力等于万有引力，所以g0＞g，故A错误；在两极mg0＝Geq \f(Mm,R2)，解得M＝eq \f(g0R2,G)，故B错误；由Geq \f(Mm,R2)－mg＝mω2R，mg0＝Geq \f(Mm,R2)，解得ω＝eq \r(\f(g0－g,R))，故C正确；地球的平均密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(\f(g0R2,G),\f(4,3)πR3)＝eq \f(3g0,4πGR)，故D错误。]
12.天文观测中观测到有三颗星始终位于边长为l的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动，如图所示。已知引力常量为G，不计其他星球对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是( )
A．它们两两之间的万有引力大小为eq \f(16π4l4,9GT4)
B．每颗星的质量为eq \f(3GT2,4π2l3)
C．三颗星的质量可能不相等
D．它们的线速度大小均为eq \f(2\r(3)πl,T)
A [三颗星的轨道半径r等于等边三角形外接圆的半径，即r＝eq \f(\r(3),3)l。根据题意可知其中任意两颗星对第三颗星的合力指向圆心，所以任意两颗星对第三颗星的万有引力等大，由于任意两颗星到第三颗星的距离相同，故任意两颗星的质量相同，所以三颗星的质量一定相同，设每颗星的质量为m，则F合＝2Fcs 30°＝eq \f(\r(3)Gm2,l2)。星球做匀速圆周运动，合力提供向心力，故F合＝meq \f(4π2,T2)r，解得m＝eq \f(4π2l3,3GT2)，它们两两之间的万有引力F＝eq \f(Gm2,l2)＝eq \f(G\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π2l3,3GT2)))2,l2)＝eq \f(16π4l4,9GT4)，选项A正确，B、C错误。根据F合＝meq \f(v2,r)可得，线速度大小v＝eq \f(2\r(3)πl,3T)，选项D错误。]
13.(2022·苏锡常镇一模)如图所示，L为地月拉格朗日点，该点位于地球和月球连线的延长线上，处于此处的某卫星无需动力维持即可与月球一起同步绕地球做圆周运动。已知该卫星与月球的中心、地球中心的距离分别为r1、r2，月球公转周期为T，万有引力常量为G。则( )
A．该卫星的周期大于地球同步卫星的周期
B．该卫星的加速度小于月球公转的加速度
C．根据题述条件，不能求出月球的质量
D．根据题述条件，不能求出地球的质量
A [处于拉格朗日点的卫星的轨道比地球同步卫星的轨道高，根据Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(4π2,T2)R，轨道半径越大，周期越大，故A正确；因为卫星与月球一起同步绕地球做圆周运动，所以角速度相等，根据a＝ω2R，卫星的轨道半径大，所以卫星的加速度就大，故B错误；设月球的质量为M月，地球的质量为M，卫星的质量为m，对月球有Geq \f(MM月,r2－r12)＝M月eq \f(4π2,T2)(r2－r1)，对卫星有Geq \f(Mm,r\\al(2,2))＋Geq \f(M月m,r\\al(2,1))＝meq \f(4π2,T2)r2，可以解出M和M月，故C、D错误。]
14.2022年9月3日7时44分，我国在酒泉卫星发射中心用“长征四号丙”运载火箭，成功将“遥感三十三号02”卫星发射升空。卫星被送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上。近地点A距地面高度为h1，实施变轨后，进入预定圆轨道，如图所示。卫星在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t。已知引力常量为G，地球表面重力加速度为g，地球半径为R，求：
(1)预定圆轨道距地面的高度；
(2)卫星在近地点A的加速度大小。
[解析] 本题考查卫星变轨问题。
(1)卫星做匀速圆周运动，在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，所以卫星在预定圆轨道上运行的周期为T＝eq \f(t,n)，设预定圆轨道距地面的高度为h，卫星在预定圆轨道上做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律及万有引力定律得eq \f(GMm,R＋h2)＝meq \f(4π2,T2)(R＋h)
在地球表面时有万有引力等于重力
即mg＝eq \f(GMm,R2)
联立解得预定圆轨道距地面的高度为
h＝eq \r(3,\f(gR2t2,4π2n2))－R。
(2)根据万有引力定律可知卫星在近地点A所受的万有引力为F＝eq \f(GMm,R＋h12)
其中GM＝gR2
根据牛顿第二定律F＝ma
联立解得卫星在近地点A的加速度为
a＝eq \f(gR2,R＋h12)。
[答案] (1)eq \r(3,\f(gR2t2,4π2n2))－R (2)eq \f(gR2,h1＋R2)