专题14 一次方程组

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阅读与思考
一次方程组是在一元一次方程的基础上展开的，解一次方程组的基本思想是“消元”，即通过消元将一次方程组转化为一元一次方程来解，常用的消元方法有代入法和加减法．
解一些复杂的方程组（如未知数系数较大，方程个数较多等），需观察方程组的系数特点，从整体上思考问题，运用整体叠加、整体叠乘、辅助引元、换元等技巧．
方程组的解是方程组理论中的一个重要概念，求解法、代解法是处理方程组解的基本方法．
对于含有字母系数的二元一次方程组，总可以化为的形式，方程组的解由的取值范围确定，当的取值范围未给出时，须讨论解的情况，基本思路是通过换元，将方程组的解的讨论转化为一元一次方程解的讨论．
例题与求解
【例1】 若m使方程组的解x，y的和为6，则m＝______________．
(湖北黄冈市竞赛试题)
解题思路：用含m的式子分别表示x，y，利用x＋y＝6的关系式，求解m．
【例2】 若4x－3y－6z＝0，x＋2y－7z＝0（）．则代数式的值等于 ( )
A． B． C．－15 D．－13
(全国初中数学竞赛试题)
解题思路：把z当作常数，解关于x，y的方程组．

【例3】 解下列方程组．
（1）
（“缙云杯”邀请赛试题）
（2）
（北京市竞赛试题）
（3）
（“华罗庚金杯”竞赛试题）
解题思路：根据方程组的特点，灵活运用不同的解题方法，或脱去绝对值符号，或设元引参，或整体叠加．
【例4】 已知关于x，y的方程组分别求出a 为何值，方程组的解为：
（1）有唯一一组解； （2）无解； （3）有无穷多组解．
（湖北省荆州市竞赛试题）
解题思路：通过消元，将方程组的解的情况讨论转化为一元一次方程解的情况讨论．
【例5】已知正数a，b，c，d，e，f满足，，，，
，．求的值．
（“CADIO”武汉市竞赛试题）
解题思路：利用叠乘法求出abcdef的值．
【例6】已知关于x，y的二元一次方程（a－3）x＋（2a－5）y＋6－＝0，当a每取一个值时就有一个方程，这些方程有一个公共解．
（1）求出这个公共解．
（2）请说明，无论a取何值，这个公共解都是二元一次方程（a－3）x＋（2a－5）y＋6－＝0的解．
（2013年“实中杯”数学竞赛试题）
解题思路：分别令a取两个不同的值，可得到二元一次方程组，求出公共解．
能力训练
A级
若是关于x，y的二元一次方程，则的值等于______.
（“希望杯”邀请赛试题）
方程组，的解为____________.
（辽宁省中考试题）
已知方程组由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为x＝－3，y＝－
1；乙看错了方程②中的b得到方程组的解为x＝5，y＝4．若按正确的a，b计算，则原方程组的解为___________.
（四川省联赛试题）
4． 已知关于的方程有无穷多个解，则a＝ ，b＝________.
（“希望杯”邀请赛试题）
5．已知，则有( )．
A. x＝2，y＝3 B. x＝－6，y＝3
C. x＝3，y＝6 D. x＝－3，y＝6
6．如果方程组的解也是方程4x＋y＋2a＝0的解，那么a的值是 ( )．
A. B. C. －2 D. 2
7．设非零实数a，b，c满足，则的值为( )．
A. B.0 C. D. 1
（2013年全国初中数学竞赛试题）
8．若方程组的解为则方程组 的解为( )．
A. B. C. D．
（山东省枣庄市中考试题）

9．已知关于x，y的方程组的解x，y的值的和为6，求k的值．
（上海市竞赛试题）
10．解方程组．
（1）
（云南省昆明市竞赛试题）
（2）
（浙江省竞赛试题）
11．若~满足下列方程组
，求的值．
（美国数学邀请赛试题）
B级
1．已知对任意有理数a，b，关于x，y的二元一次方程有一组公共解，
则公共解为______.
（江苏省竞赛试题）
2．设，则3x－2y＋z＝ ．
（2013年全国初中数学竞赛试题）
3．若关于x，y的方程组有自然数解，则整数m可能的值是 ．
（2013年浙江省湖州市竞赛试题）
已知方程组，当a ，b 时，方程组有唯一一组解；当
a ，b 时，方程组无解；当a ，b 时，方程组有无数组解．
（“汉江杯”竞赛试题）
5．“△”表示一种运算符号，其意义是a△b＝2a－b，如果x△（1△3）＝2，则x＝ ( )．
A.1 B. C. D．2
（江苏省竞赛试题）
6．已知，则的值为( )．
A.1 B. C. D．
（重庆市竞赛试题）
7．已知关于x，y的两个方程组和具有相同的解，那么a，b的值是( )．
A. B. C. D．
8．若a，c，d是整数，b是正整数，且满足a＋b＝c，b＋c＝d，c＋d＝a，则a＋b＋c＋d的最大值是( )．
A. －1 B. －5 C.0 D．1
（全国初中数学联赛试题）
9．解方程组
（1）
（江苏省竞赛试题）
（2）
（上海市竞赛试题）
10．已知，，，求的值．
（山西省太原市数学竞赛试题）
11．已知，，，…，中每一个数值只能取－2，0，1中的一个，且满足求的值＋＋＋…＋＝－17，＋＋＋…＋＝37．求＋＋…＋的值．
（“华罗庚金杯”邀请赛试题）
12．已知k是满足的整数，并且使二元一次方程组有整数解，问：这样的整数k有多少个？
（“华罗庚金杯”邀请赛试题）