专题18 简单的不定方程、方程组_答案

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例2 C 设购买10元，15元，20元的电影票分别为x，y，z张.则，②-①×15得5( z-x)=50，解得z-x=10.
例3设此8位数为，将记为x，记为y，记为z. x，y，z均为自然数.即电话号码是100 000 x+10 000 y +z，且100≤x≤999，0≤y≤9，1000≤z≤9999，
则，得1111 y – x=285，由100≤x≤999，y≥0，得，
故电话号码是82616144.
例4提示：设盒子里共有x(x≤200)粒棋子，
则12a-1=11b=x(a、b为正整数)，
解得a=10，b=11，x=121.
例5设甲组学生a人，乙组学生b人，丙组学生c人，由题意得28a+30b+31c=365.
因28（a+b+c）＜28a+30b+31c=365.得a+b+c＜＜13.04，所以a+b+c≤13.
因31（a+b+c）＞28a+30b+31c=365. 得a+b+c＞＞11.7，所以a+b+c≥12
因此a+b+c=12或13.
当 a+b+c=13 时，得2b+3c=1，此方程无正整数解；当 a+b+c=12 时，符合题意.
例6设原先租客车x辆，开走一辆空车后，每辆车乘坐k人，显然x≥2，23≤k≤32.依题意有：22x+1=k(x-1).则.因为k为自然数，所以必是自然数，但23是质数，因数只有1和23，且x≥2，∴x-1=1或x-1=23.如果x-1=1，则x=2，k=45，不符合k≤32的题设条件. 如果x-1=23，则x=24，k=23，符合题意.这时旅客人数等于k(x-1)=23×23=529人.
A级
1. . 2.1
3. 18 提示：设某人出生于，则，即11x+2y=88，解得.
4. 5013 提示：由题中条件得a+b+c=a+4011，又因为a+b=2006，a＜b.故2a＜2006，a＜1003.又因为a为正整数，故a的最大值为1002，于是a+b+c的最大值为5013.
5. B
6. C 设置限速标志、照相标志的千米数分别表示为3+4x，10+9y（x、y为自然数），将问题转换为求不定方程3+4x=10+9y的正整数解，则，4｜（y+3），为所求的解.
7. A 8.A 9.大小盒子分别为2个，15个.
10.设鸡翁、鸡母、鸡雏数目分别为x、y、z.则有，消去z，得7x+4y=100，显然（0，25）是方程的一个特解，所以方程的通解为（t为整数）.于是z=100-x-y=100+4t-25-7t=75-3t.由x、y、z≥0且t为整数得，解得，将t的值代入通解，得四组解为（x，y，z）=（0，25，75），（4，18，78），（8，11，81），（12，4，84）．（0，25，75）应舍去．
11．设长方形的长宽高分别为x，y，则，，，或4或6，或4或3，故长方形面积为18或16．
12．由方程组得，当①（其中m，n是整数）时，方程有整数解．消去上面方程的k，得：②，由②得：（其中t为整数）③将③代入①得，．解不等式，得：，故有２个ｋ的值使原方程组有整数解．
B级
1．144 提示：．
2．10 提示：
3．1972 设这个四位数为，则，
即，，从而，又最大为99+18=117．故，即，得，进一步得，故这个四位数为1972．
4．12 14 24 提示：由题目中“通牌枚数是金牌枚数的2倍”得知金牌与铜牌数的和为3的倍数．因为银牌只有一盒，所以铜牌数和金牌数的和应为3，6，9，14，18中四个数的和．因此银牌数为14枚，金牌数为（3+6+9+18）=12枚，铜牌数为24枚．
5．C 提示：．
6．A
7．A 提示：有方程组得：．
8．B 提示：设两位数为10a+b，中间插入的一位数为m，则9(10a+b)=100a+10m+b，10(a+m)=8b
9．原来支票的面额是14.32元，兑换员看错成了32.14元，应退回32.14-14.32=17.82元．
10．设第一次看到的两位数为，则以后两次看到的数分别为，，由题意得
，即，正理解的：x=1，y=6，故三块里程碑上的数分别是16，61，106．
11．当，，此时不存在满足条件的四位数．
当时，则．于是，若，得：，即1131满足条件；若，得，即1130满足条件．
当时，则，于是，若，得，无解；若或，得，无解．
当时，则，于是，若，得，即1112满足条件；若，得，即2011满足条件；若，得，即2010满足条件．
12．由题中条件易知x，y，z都大于1．不妨设，则，
∵，即，由此得或3，
当时，，即，由此得或5或6．
同理，当时，或4，由此得：时，(x，y，z)共有(2，4，12)，(2，6，6)，(3，3，6)，(3，4，4)4组．由于x，y，z在原方程中地位平等，可得原方程的解共有15组：(2，4，12)，(2，12，4)，(4，2，12)，(4，12，2)，(12，2，4)，(12，4，2)，(2，6，6)，(6，2，6)，(6，6，2)，(3，3，6)，(3，6，3)，(6，3，3)，(3，4，4)，(4，4，3)，(4，3，4)．