陕西省榆林市府谷县府谷中学2023-2024学年高二上学期期末模拟 数学试题（含解析）

这是一份陕西省榆林市府谷县府谷中学2023-2024学年高二上学期期末模拟 数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了等差数列中，已知，，则，直线平分圆C，函数的单调递减区间为，下列说法正确的是，已知圆与圆，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．等差数列中，已知，，则（ ）
A．10B．11C．12D．13
2．已知空间向量，满足，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．
3．直线平分圆C：，则（ ）
A．B．1C．-1D．-3
4．已知抛物线经过点，点到抛物线的焦点的距离为3，则抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
5．函数的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
6．在直三棱柱中，，，M是的中点，则直线CM与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．的图象如图所示，则的图象最有可能是（ ）

A． B．
C． D．
8．双曲线的两个焦点为，，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于，两点（点、在点的两侧），且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列说法正确的是（ ）
A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B．点关于直线的对称点为
C．过两点的直线方程为
D．已知点，向量，过点作以向量为方向向量的直线为，则点到直线的距离为
10．已知圆与圆，下列说法正确的是（ ）
A．与的公切线恰有4条
B．与相交弦的方程为
C．与相交弦的弦长为
D．若，分别是圆，上的动点，则
11．设等差数列的前项和为，，公差为，，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．当时，取得最大值
C．
D．使得成立的最大自然数是15
12．如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，G为线段上的动点，则（ ）
A．三棱锥的体积为定值B．存在点G﹐使得平面
C．G为中点时，直线EG与所成角最小D．点F到直线EG距离的最小值为
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知，，其中，若，则的值为 ．
14．函数的导函数 .
15．如图甲是第七届国际数学教育大会（简称）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记的长度构成数列，则此数列的通项公式为 ．
16．曲线过原点的切线方程为 .
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17．已知是等差数列的前n项和，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
18．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线：上.
(1)求圆心为的圆的一般方程；
(2)已知，为圆上的点，求的最大值和最小值.
19．如图，已知正方体，点E为棱的中点．

(1)证明：平面．
(2)求异面直线与BE所成角的正弦值．
20．已知函数.
(1)求的图象在处的切线方程；
(2)求的极值.
21．已知直线l与抛物线C：交于A，B两点．
(1)若直线l过抛物线C的焦点，线段AB中点的纵坐标为2，求AB的长；
(2)若直线l经过点，求的值．
22．已知椭圆C的中心在坐标原点，两焦点在x轴上，离心率为，点P在C上，且的周长为6．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点的动直线l与C相交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为D，直线AD与x轴的交点为E，求的面积的最大值．
1．D
【分析】根据等差数列的性质可推出，代入数值即可得出答案.
【详解】因为，为等差数列，所以有，
所以，.
故选：D.
2．D
【分析】由已知条件得出，结合空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值.
【详解】由已知条件得出，解得.
故选：D.
3．D
【分析】求出圆心，结合圆心在直线上，代入求值即可.
【详解】变形为，故圆心为，
由题意得圆心在上，故，解得.
故选：D
4．A
【分析】利用点在抛物线上及焦半径公式列方程组求出，进而可得准线方程.
【详解】由已知，解得，
故抛物线的准线方程为，
故选：A.
5．D
【分析】求导得, 令, 即可求得答案.
【详解】，
当 时 ,的单调递减区间为,
故选：D.
6．C
【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，再利用空间向量求解作答.
【详解】在直三棱柱中，，以点C为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
，则，线段的中点，
于是，，
所以直线CM与夹角的余弦值为.
故选：C
7．C
【分析】利用导数与函数单调性的关系可得出合适的选项.
【详解】由导函数的图象可知，当或时，；当时，.
所以，函数的增区间为和，减区间为，
所以，函数的图象为C选项中的图象.
故选：C.
8．C
【分析】过作，利用特殊三角形，三角形的中位线求出双曲线焦点三角形的边长，然后根据双曲线的定义进行求解.
【详解】
如图，设圆和相切于，圆的直径为双曲线的实轴，即，
过作，垂足为，又，则//，
又为的中点，则为中位线，则，
又，则为等腰直角三角形，
即.
由，，则，于是，
故，根据双曲线的定义，，
则，故，.
故选：C
9．ABD
【分析】由直线方程，求得在坐标轴上的截距，利用面积公式，可判定A正确；根据点关于直线的对称的求法，求得对称点的坐标，可判定B正确；根据直线的两点式方程的条件，可判定C错误；根据题意，求得直线的方程，结合点到直线的距离公式，可判定D正确.
【详解】对于A中，令，可得，令，可得，
则直线与两坐标轴围成的三角形的面积，所以A正确；
对于B中，设关于直线对称点坐标为，
则，解得，所以B正确；
对于C中，直线的两点式使用的前提是，所以C错误；
对于D中，以向量为方向向量的直线的斜率，
则过点的直线的方程为，即，
则点到直线的距离，所以D正确．
故选：ABD．
10．BCD
【分析】求出圆心距，判断两圆位置关系即可判断A；两圆方程相减消去二次项可判断B；利用点到直线的距离公式求到相交弦的距离，然后由弦长公式求弦长可判断C；观察图形可知，可判断D.
【详解】由已知得圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
因为，，故两圆相交，
所以与的公切线恰有2条，故A错误；
两圆方程做差可得与相交弦的方程为，故B正确；
由点到直线的距离公式得到相交弦的距离为，
故相交弦的弦长为，C正确；.
由图可知，，故D正确.
故选：BCD
11．ABC
【分析】根据已知可判断，，然后可判断AB；利用通项公式将转化为可判断C；利用下标和性质表示出可判断D.
【详解】解：因为等差数列中，，，
所以，，，A正确；
当时，取得最大值，B正确；
，C正确；
，，
故成立的最大自然数，D错误．
故选：ABC．
12．ABD
【分析】根据等体积法可知，即可判断A项；建系，假设存在点G﹐设.根据向量的坐标，由，解出的值，即可判断B项；由已知推出，根据二次函数以及余弦函数的性质，结合的取值范围，即可判断C项；求出在方向上投影的绝对值为，然后根据勾股定理表示出点F到直线EG的距离，根据二次函数的性质，即可得出最小值.
【详解】
如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系.
则，，，，，，，，，.
对于A项，由正方体以及面面平行的性质可得，平面，
点G在线段上，所以到平面的距离等于.
因为，所以.
则是个定值，故A项正确；
对于B项，假设存在点G﹐使得平面.
设.
，，，，
则.
所以，，所以，满足条件.
此时有，，平面，平面，，
所以，存在点G﹐使得平面，故B项正确；
对于C项，设直线EG与所成角为.
因为，.
所以，
所以.
因为，所以当时，有最小值，显然有，则有最大值，根据余弦函数的单调性可知，当时，有最小值，故C项错误；
对于D项，因为，，
所以，在方向上投影的绝对值为，
由C知，当时，有最小值，则有最大值为，
又，所以，点F到直线EG距离的最小值为，故D项正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：由点为线段上的动点，设.可以通过的坐标，表示出与点有关的向量.
13．##
【分析】由已知可得，，即可求出的值，进而得出答案.
【详解】由已知可得，，.
因为，所以，解得，，
所以，.
故答案为：.
14．
【分析】利用导函数的乘法公式和复合函数求导法则进行求解
【详解】
故答案为：
15．
【分析】由图可知，由勾股定理可得,利用等差数列的通项公式求解即可.
【详解】根据图形，
因为都是直角三角形，
,
是以1为首项，以1为公差的等差数列，
，
，故答案为.
【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，等差数列的定义与通项公式，以及数形结合思想的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于与中档题.
16．或.
【分析】利用导数的几何意义计算即可.
【详解】由题意可得，
设切点为，则，
所以函数过原点的切线方程为，
解之得，则，
此时切线方程为，
若切点为原点，则，此时切线方程为.
故答案为：或.
17．(1)；
(2).
【分析】（1）由等差数列通项公式基本量、d列方程求解，即可由定义得出通项公式；
（2）由列项相消法求和.
【详解】（1）设等差数列的前n项为，公差为d，则，解得.
故数列的通项公式；
（2），故
18．(1)；
(2)最大值为，最小值为.
【分析】由和的坐标，求出直线的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为求出线段垂直平分线的斜率，再由和的坐标，利用线段中点坐标公式求出线段的中点坐标，由中点坐标和求出的斜率，得出线段垂直平分线的方程，与直线联立组成方程组，求出方程组的解集得到圆心的坐标，再由和的坐标，利用两点间的距离公式求出的值，即为圆的半径，由圆心和半径写出圆的标准方程，再化为一般方程即可;
（2）先确定点在圆外，求得可求的最大值和最小值．
【详解】（1）∵，，∴,
∴弦的垂直平分线的斜率为，
又弦的中点坐标为，∴弦的垂直平分线的方程为，即，
与直线：联立，解得：，
圆心坐标为，∴圆的半径，
则圆的方程为.
∴圆的一般方程为；

（2）由（1）知圆的方程为，
所以,∴在圆外，
的最大值为，最小值为.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）作出辅助线，证明线线平行，得到线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的余弦值，进而得到正弦值.
【详解】（1）连接，交于点，连接，
因为E为棱的中点，
所以是的中位线，
故，
因为平面，平面，
所以平面
（2）以为坐标原点，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体边长为，则，
则，
故，
又，所以

故与BE所成角的正弦值为.
20．(1)
(2)极大值为，无极小值.
【分析】（1）求出导函数可得切线斜率，利用点斜式可求的图象在处的切线方程；
（2）判断出当时，，当时，，从而可求的极值.
【详解】（1）因为的定义域为.
所以.
的图象在处的切线方程为.
（2）
当时，，当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
.
故的极大值为，无极小值.
21．(1)6
(2)
【分析】（1）设，，根据中点坐标公式可得，利用抛物线的定义求焦点弦即可；
（2）易知直线斜率必存在，设为，联立抛物线方程，利用韦达定理，结合平面向量数量积的坐标表示即可求解.
【详解】（1）设，，线段中点设为，则，
由题意，抛物线的焦点为，，
根据抛物线的定义得；
（2）当直线斜率不存在时，，与抛物线只有一个交点，不符合题意.
所以直线斜率必存在，设为，
与抛物线联立得：，，得，
所以.
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得到，再解方程组即可.
（2）首先设出直线的方程，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理、点关于轴对称、三点共线得到，从而得到，再利用换元法求解最值即可.
【详解】（1）由题知：，
所以椭圆
（2）如图所示：
设直线，.
.
，解得.
，.
因为点关于轴对称，所以.
设，因为三点共线，所以.
即，即.
解得
.
所以点为定点，.
.
令，
则，
当且仅当，即时取等号.
所以的面积的最大值为.