4.5 导数的综合运用（精练）-2024年高考数学一轮复习一隅三反系列（新高考）

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1．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数.
(1)若，求实数a的值；
(2)已知且，求证：.
2．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知函数，．
(1)当时，恒成立，求的取值范围；
(2)求证：对一切的，．
3．（2023·四川凉山·三模）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当，若两个不相等的正数m，n，满足，证明：．
4．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）设函数．
(1)求在处的切线方程；
(2)若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
5．（2023·河北·模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若存在实数，使得关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
6．（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若存在，使成立，求a的取值范围.
7．（2023·云南·校联考三模）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若有2个不同的零点，求证：.
8．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）若函数有两个零点，且．
(1)求a的取值范围；
(2)若在和处的切线交于点，求证：．
9．（2023·海南·海南华侨中学校考模拟预测）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若存在，且，使得，求证：.
10．（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）已知函数.
(1)若有两个零点，的取值范围；
(2)若方程有两个实根、，且，证明：.
11．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若函数有两个零点，证明：.
12．（2023·陕西·统考二模）已知函数．
(1)若，证明：；
(2)若有两个不同的零点，求a的取值范围，并证明：．
1．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知函数，若对于定义域内的任意实数，总存在实数使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数有两个大于1的零点，则的取值范围可以是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·重庆·统考模拟预测）（多选）已知，当时，存在b，，使得成立，则下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·河北邯郸·统考三模）若曲线与圆有三条公切线，则的取值范围是____．
6．（2023·四川·校联考模拟预测）已知函数的导函数为.
(1)当时，求函数的极值点的个数；
(2)若函数有两个零点，求证：.
7．（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）已知函数有两个极值点，且.
(1)求的取值范围；
(2)若，证明：
8．（2023春·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知函数，，其中，.
(1)证明：；
(2)若恒成立，求的取值范围.
9．（2023·山东聊城·统考三模）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当，且时，．
10．（2023·江西·江西省丰城中学校联考模拟预测）已知函数，．
(1)若在上恒成立，求a的取值范围；
(2)证明：．
11．（2023·河南安阳·统考三模）已知函数.
(1)证明：曲线在点处的切线经过坐标原点；
(2)若，证明：有两个零点.
12．（2023·全国·统考高考真题）已知
(1)若，讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
13．（2023春·广东茂名·高三统考阶段练习）已知函数，．
(1)判断和的单调性；
(2)若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
14．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）已知函数，.
(1)当时，证明：在上恒成立；
(2)判断函数的零点个数.
15．（2023·山东烟台·统考三模）已知函数，其中．
(1)讨论方程实数解的个数；
(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围．
16．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）已知函数，．
(1)若，求函数的最小值及取得最小值时的值；
(2)若函数对恒成立，求实数a的取值范围．
17．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）已知函数．
(1)若函数有两个极值点，求整数a的值；
(2)若存在实数a，b，使得对任意实数x，函数的切线的斜率不小于b，求的最大值．
18．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个零点，求a的最大整数值．
19．（2023·广东汕头·金山中学校考三模）已知函数.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：对任意的，；
(3)讨论函数在上零点的个数.
20．（2023·广东广州·统考三模）已知函数，．
(1)求函数的单调区间；
(2)讨论函数的零点个数．
21．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)若关于的方程在内有解，求的取值范围.
22．（2023·云南·校联考模拟预测）已知函数，.
(1)求函数的极值；
(2)请在下列①②中选择一个作答（注意：若选两个分别作答则按选①给分）.
①若恒成立，求实数的取值范围；
②若关于的方程有两个实根，求实数的取值范围.
23．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数和在同一处取得相同的最大值．
(1)求实数a；
(2)设直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为（），证明：．
24．（2023·湖南·校联考二模）已知函数．
(1)求的最小值；
(2)证明：方程有三个不等实根．
25．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知函数（其中），．
(1)证明：函数在区间上单调递增；
(2)判断方程在R上的实根个数．
26．（2023·广东汕头·统考三模）设，，
(1)证明：；
(2)若存在直线，其与曲线和共有3个不同交点，，，求证：，，成等比数列.
27．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知函数，a为实数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明：
28．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知函数
(1)若函数在定义域上单调递增，求的最大值；
(2)若函数在定义域上有两个极值点和，若，，求的最小值．
29．（2023·新疆·校联考二模）已知函数，，其中为自然对数的底数．
(1)若有两个极值点，求的取值范围；
(2)记有两个极值点为、，试证明：．
30．（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）已知函数
（1）若，(为的导函数)，求函数在区间上的最大值；
（2）若函数有两个极值点，求证：