5.4 正余弦定理（精练）-2024年高考数学一轮复习一隅三反系列（新高考）

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A．B．C．
【答案】A
【解析】由题意可得，，
由余弦定理可得，即，
又，可得，利用正弦定理可知 ,
所以.故选：A.
2．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考模拟预测）已知中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
由题意，在三角形中，由余弦定理可得，，
且，，所以.故选:C
3．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）在中，，则边上的高等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】在中，因为，
由余弦定理得
因为，所以
设边上的高为，则，

所以，即边上的高等于.故选：B.
4．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第三十二中学校校考期中）在中，若，，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
【答案】D
【解析】由余弦定理知，
因为，，所以，所以，所以，
因此，所以，即是等边三角形，故选：D.
5．（2023春·江苏南通）如图所示，河边有一座塔，其高为，河对面岸上有两点与塔底在同一水平面上，在塔顶部测得两点的俯角分别为和，在塔底部处测得两点形成的视角为，则两点之间的距离为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为在塔顶部测得两点的俯角分别为和，所以在直角三角形中，，可得，
在直角三角形中，，可得，
在中，由题知，由余弦定理得，得到.

故选：C.
6．（2023·安徽芜湖·统考模拟预测）记的内角的对边分别为，，，若，则为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】由，得，
由正弦定理得，所以，
因为，所以或，
所以或.即是等腰或直角三角形.
故选：D.
7．（2023·四川成都·校考模拟预测）在中，，，分别为角，，的对边，已知，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，由正弦定理可得，整理可得，所以，
为三角形内角，，∴，∵，，则，故B错误；
∵，，
，解得，
由余弦定理得，
解得或（舍去），故C正确，D错误.
又，所以，则三角形为等边三角形，
所以，则，故A错误.故选：C.
8．（2023·广西柳州·高三柳州高级中学校联考阶段练习）在中，角的边分别为，知，，则下列判断中错误的是（ ）
A．若，则B．若该三角形有两解
C．周长的最小值为12D．面积的最大值
【答案】C
【解析】对于A，，，由正弦定理得，
所以，故A正确；
对于B，由正弦定理得得，所以，
因为，则有两个解，所以该三角形有两解，故B正确；
对于C，由，得
，
所以，当且仅当时取等号，此时三角形周长最大为等边三角形，周长为12，故C错误；
对于D，由选项C知，，当且仅当时取等号，
故所以面积的最大值为，故D正确.故选：C.
9．（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）锦州古塔坐落在大广济寺前，是辽宁省级文物.据明嘉靖碑文（宣大巡抚文贵撰）载：金代的中靖大夫高琏曾写过《塔记》说，塔建于辽道宗清宁三年（1057年），是为收藏皇后所降的舍利子而建.塔是砖实心密檐式，现高57米.塔身八面，每面雕有一佛胁侍，三个宝盖和两位飞天.飞天翱翔于上，大佛端坐龛中，胁待肃立龛旁.下面是古塔的示意图，游客（视为质点）从地面D点看楼顶点A的仰角为30°，沿直线DB前进64米达到E点，此时看点C点的仰角为45°，若，则该八角观音塔的高AB约为（ ）（）

A．63米B．61米C．57米D．54米
【答案】C
【解析】不妨设，根据条件可得，，
，，，
，米．故选：C．

10．（2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）已知中，角A，B，C对应的边分别为a、b、c，D是AB上的三等分点（靠近点A）且，，则的最大值是（ ）
A．B．
C．2D．4
【答案】A
【解析】由，则，即，
所以，，则，

设，则，且，
△中，则，
△中，则，
又，即，（为△的外接圆半径），
所以， 即，
又，故，时，.
故选：A
11．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）（多选）在中，角所对的边分别为，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．为钝角三角形
C．若，则的面积是
D．若外接圆半径是，内切圆半径为，则
【答案】BD
【解析】设，则，
对于A ，，故A不正确；
对于B ，c最大，所以C最大，，故B正确；
对于C，若，则，，所以，
所以的面积是，故C不正确；
对于D，若正弦定理，
的周长，，所以内切圆半径为，所以.故D正确.
故选：BD
12．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考二模）（多选）在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则边上的中线长为
B．若，，，则有两个解
C．若不是直角三角形，则一定有
D．若是锐角三角形，则一定有
【答案】CD
【解析】对于A，由为的中点得：
，所以边上的中线长为，故A错误；
对于B，，，，因为，所以，
所以或，
又因为，所以，且只有一个解，所以只有一个解，故B错误；
对于C，因为，所以，
又因为，所以，
所以，故C正确；
对于D，因为是锐角三角形，所以，
又，所以，所以，所以，
同理，所以，故D正确.故选：CD.
13．（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）（多选）在中，内角、、的对边分别是、、，下列结论正确的是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则为等腰三角形
C．若，，则为等边三角形
D．若，，，则有两解
【答案】AC
【解析】对于A选项，若，由正弦定理可得，则，
所以，为等腰三角形，A对；
对于B选项，因为，由正弦定理可得，
因为、中至少有一个是锐角，则，
从而可知、均为锐角，由可得，
因为、，则、，所以，或，
所以，或，故为等腰三角形或直角三角形，B错；
对于C选项，因为，，
由余弦定理可得，即，
所以，，因此，为等边三角形，C对；
对于D选项，因为，，，
由正弦定理得，所以，不存在，D错.
故选：AC.
14．（2023·天津·统考高考真题）在中，角所对的边分別是．已知．
(1)求的值；(2)求的值；(3)求．
【答案】(1)(2)(3)
【解析】（1）由正弦定理可得，，即，解得：；
（2）由余弦定理可得，，即，
解得：或（舍去）．
（3）由正弦定理可得，，即，解得：，而，
所以都为锐角，因此，，
故．
15（2023春·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足.
(1)求角A；
(2)若，求△ABC面积的最大值.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）由，根据正弦定理得：
，
又，代入上式得：，
，
又，所以，
又，所以 .
（2）由余弦定理得：
，代入得：，
根据基本不等式，得：，当且仅当时，等号成立，
的面积为：，
故面积的最大值为.
16．（2023·天津·校联考模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．满足．
(1)求角B的大小；(2)设，．（ⅰ）求c的值；（ⅱ）求的值．
【答案】(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【解析】（1）由，
根据正弦定理得，,
可得，
因为，故，则，
又，所以.
（2）由（1）知，，且，，
（ⅰ）则，
即，解得（舍），.
故.
（ⅱ）由，
得，
解得，则，
则，
，
则
.
17．（2023·天津河西·统考三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.
(1)求的值；
(2)若，
（i）求的值；
（ⅱ）求的值.
【答案】(1)
(2)（i）；（ⅱ）
【解析】（1）由，且C是三角形的内角，则，
因为，由正弦定理得，
所以.
（2）（i）由余弦定理得，
即，解得或.
（ⅱ）由（1）知，由知A为锐角，得，
所以，
，
所以.
18．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知锐角的内角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)若，角的平分线交于点，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为，由正弦定理得，整理得，
又由余弦定理得．
因为，所以．
（2）如图所示，因为，
所以．
又因为，所以．
由余弦定理得，
联立方程组，可得，即，
解得或（舍去），
所以．

19．（2023·广东佛山·校联考模拟预测）记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知．
(1)求；
(2)已知的角平分线交于点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为，
由正弦定理可得，
所以，又，所以.
（2）因为
，
因为为锐角三角形，所以，解得，所以，
所以，即的取值范围为.

20．（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）已知的内角的对边分别为，且．
(1)求角A；
(2)若的外接圆半径为1，求的周长的最大值．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）因为，由正弦定理可得，
整理得，则，
又因为，则．
（2）由正弦定理，可得，
由余弦定理得，
整理得，当且仅当时，等号成立，
所以的周长为，
当且仅当时，取等号，的周长取到最大值．
21．（2023·全国·高三专题练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A的值；
(2)若是锐角三角形，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）因为，
所以，
即，
所以或（舍去）．
所以，结合，得．
（2）由（1）得:
．
因为是锐角三角形，所以B，C均为锐角，
即，，所以，
所以，，
所以的取值范围是．
22．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）由，即，
得，
由正弦定理可得，
所以，
所以，因为，所以，
所以，又，所以.
（2）由正弦定理，
所以
.
因为为锐角三角形，且，
所以，解得，
所以，，
所以，，
所以的取值范围为.
23．（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）如图，在平面四边形中，，，．

(1)若，求的面积；
(2)若，，求．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）因为，，，由余弦定理得，
所以，即，解得，
所以．
（2）设，
在中，由正弦定理得，所以①，
在中，，，
则，即②
由①②得：，即，∴，
整理得，所以．

24．（2023·广东广州·广州市培正中学校考模拟预测）在锐角中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若边，边的中点为，求中线长的取值范围.
【答案】(1)(2).
【解析】（1）由余弦定理得，
即，
由正弦定理得
，
，即，
.
（2）由余弦定理得：，则.
由正弦定理得
所以，
因为是锐角三角形，所以，即，
则.
中线长的取值范围是.
25．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知、、分别为的三个内角、、的对边长，，且．
(1)求角的值；
(2)求面积的取值范围．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）由条件，可得，
由正弦定理，得，所以，
所以，因为，所以．
（2）由正弦定理，可知，
，
∵，∴，∴.
26．（2023·天津河北·统考二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
(1)求角A的大小；
(2)若，，求边c及的值.
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）根据正弦定理，
由可得.
即，即，
因为，所以.
所以，即.
（2）由正弦定理，可得，解得，
根据余弦定理可得，
即，，解得或（舍去）
故.
因为，所以，所以，
所以，
，
所以.
27．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）在中，角，，所对的边分别是，，，若.
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积的最大值.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）因为，，
所以可化为，
所以，又因为
解得，又因为，
所以.
（2）由余弦定理得，所以，
又，所以，
所以，
又因为，当且仅当时等号成立，
所以，所以，当且仅当时等号成立，
所以三角形的面积，当且仅当时等号成立，
所以三角形面积的最大值为.
28．（2023·山东烟台·统考三模）在中，为中点，．
(1)若，求的面积；
(2)若，求的长．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）在中，，
由余弦定理可知，
因为，所以，
所以;
（2）在中，设,
则由正弦定理，
即，得，所以，
，
所以，
所以，
由正弦定理得：，即．
29．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.
问题：在中，角所对的边分别为，且__________.
(1)求角的大小；
(2)已知，且角有两解，求的范围.
【答案】(1)答案见解析(2)
【解析】（1）若选①：整理得，因为，
所以，因为，所以；
若选②：因为，
由正弦定理得，
所以，所以，因为，所以；
若选③：由正弦定理整理得，所以，
即，因为，所以；
（2）将代入正弦定理，得，所以，
因为，角的解有两个，所以角的解也有两个，所以，
即，又，所以，解得.
30．（2023·全国·统考高考真题）已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
【答案】(1)(2)6
【解析】（1），，即，
又，，
，，即，所以，.
（2）由（1）知，，
由，
由正弦定理，，可得，，
.
31．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，
(1)求的值及的面积；
(2)的平分线与BC交于D，，求a的值．
【答案】(1)，；(2)．
【解析】（1）根据题意，结合正弦定理边角互化得，
即，因为B，，
所以，，
所以，因为在锐角中， ，所以．
所以，因为，
所以，解得，
所以的面积.
（2）因为的平分线与BC交于D，，所以，
即，所以，由于，
所以，所以，所以．
1．（2023·河南开封·校考模拟预测）在中，内角所对的边分别为，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】在中，
因为，所以，则，
所以，且均为锐角，故，
由余弦定理得，所以，
又，当且仅当时等号成立，
所以的最大值是.故选：B.
2．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）在中，平分，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】如图，记，

在中，，则，
在中，，则,
∵平分，∴，∴，
∴，∴
∴，∴
∴，∴，
∴或，
当时，为等腰三角形，∴，，∴；
当时，，即，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，
∵，∴的最小值为.
故选：C.
3．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）的内角，，的对边分别为，，，且，，则下面四个选项中错误的是（ ）
A．B．
C．D．周长的最大值为3
【答案】C
【解析】由于，所以，
由正弦定理可得，
由于，所以，由于是三角形内角，则，故A正确；
由余弦定理知，即，由于，
所以，当且仅当时等号成立，故B正确；
又由正弦定理知，
所以
，
当且仅当时等号成立，故周长的最大值为3，故D正确；
由得，，
所以
，故C错误.
故选：C.
4．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知，且△ABC的面积为，则△ABC周长的最小值为（ ）
A．B．6C．D．
【答案】B
【解析】由题设及三角形内角和性质：，
根据正弦定理及诱导公式得，
，，，即，
，则，则，解得,则，
所以，则，
又仅当时等号成立，
根据余弦定理得，即，
设的周长为，则，
设，则，
根据复合函数单调性：增函数加增函数为增函数得：在上为单调增函数，
故，故，当且仅当时取等.故选：B
5．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）（多选）已知三个内角、、的对应边分别为、、，且，.则下列结论正确的是（ ）
A．面积的最大值为
B．
C．的最大值为
D．的取值范围为
【答案】ACD
【解析】对于A选项，因为，，由余弦定理和基本不等式可得
，即，
当且仅当时，等号成立，
故，
所以，的面积的最大值为，A对；
对于B选项，，B错；
对于C选项，由正弦定理可得，则，
因为，则，所以，，
由平面向量数量积的定义可得
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最大值为，C对；
对于D选项，因为，则，
由题意可知，，所以，，
，
当时，，则；
当时，，则.
综上所述，的取值范围为，D对.
故选：ACD.
6．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）在中，角、、的对边分别为、、，若，且，则当边取得最大值时，的周长为________.
【答案】
【解析】因为，由正弦定理可得，
即，
整理可得，
因为、，所以，，则，故，
由正弦定理可得，
整理可得，
因为，当时，取最大值，且的最大值为，
此时，，
，所以，，
因此，当边取得最大值时，的周长为.
故答案为：.
7．（2023·河南周口·统考模拟预测）设锐角三角形的内角 ，，所对的边分别为，，，且，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】由,得,
由余弦定理得,
由正弦定理得,即,
又，所以,
即,所以，
因为为的内角,所以(舍去)或,所以.
由正弦定理得
因为,
又，所以

,
由于得，由，得，则，所以，
当时，取最大值，
当时，等于，
当时，等于，
而，
所以取值范围是，
故答案为：
8．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）在中，角所对的边分别为，且，边上有一动点.
(1)当为边中点时，若，求的长度；
(2)当为的平分线时，若，求的最大值.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）解：因为，
所以，即.
由正弦定理，得.
因为，所以.
因为，所以.
又因为，所以，所以.
因为为边中点，所以，则.
又，
所以，即，即，
所以.
（2）在中，由余弦定理，得.
又，所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以，所以.
因为平分，
所以，
所以，
所以.
令，则.
因为在上单调递增，
所以当即时，取得最大值为，
所以的最大值为.
9．（2023·全国·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）方法1：在中，因为为中点，，，

则，解得，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，则，
，
所以.
方法2：在中，因为为中点，，，
则，解得，
在中，由余弦定理得，
即，解得，有，则，
，过作于，于是，，
所以.
（2）方法1：在与中，由余弦定理得，
整理得，而，则，
又，解得，而，于是，
所以.
方法2：在中，因为为中点，则，又，
于是，即，解得，
又，解得，而，于是，
所以.
10．（2023·山东·山东师范大学附中校考模拟预测）在①；②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．
在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若D为边上一点，满足，，且______．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
(1)求角；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）选①，
由正弦定理可得，
即，
因为，故，
又，故.
选②，
由正弦定理得，
即，即，
即，而,
故，又，故.
（2）因为，故，
在中，，得,
在中，,得,
故，而，
所以，
由题意知，
故，即的取值范围为.
11．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，其中，．
(1)求角B的大小；
(2)若，求△ABC面积的最大值．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）方法一：由，
根据正弦定理边化角得：，
即，所以，
因为，所以，又，所以，
又，所以；
方法二：由，
根据余弦定理：得，
即，
因为，所以，
所以，又，得；
（2）由（1）及余弦定理知，
所以，
因为，
所以，化简得，
因为，，所以，，
所以，当且仅当，即，时取等号，
所以的面积，
所以面积的最大值为.
12．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）的内角、、的对边分别为、、，已知，且的面积.
(1)求；
(2)若内一点满足，，求.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）解：由余弦定理得，
因为，所以，
因为，则，所以，所以，
因为，所以，
因为，所以.
（2）解：由（1）知，，所以，所以，
设，因为，所以，
因为，所以，
因为在中，由正弦定理
可得，
在中，，则，则，
由正弦定理，即，所以，，
因为，所以.
13．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知分别是的角的对边，.
(1)求证：；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）由正弦定理及知，
，
由余弦定理得，，
或.
.
（2）由（1）和正弦定理得，
，
，
设，则，则，
设，
则在上单调递增，则，
即.
的取值范围为.
14．（2023·浙江·校联考模拟预测）在中，角所对的边分别为.
(1)若外接圆的半径为，求面积的最大值；
(2)若内切圆的半径为，求面积的最小值.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）由得，，
所以，又，所以，
所以，因为，所以；
由外接圆的半径为，则得，
由余弦定理得，，即，
所以，解得
所以，故面积的最大值为.
（2）如图，圆是的内切圆，切点分别是、、，

由，内切圆的半径为，所以，
则，，
所以，
即得，
而，所以，
所以，解得舍去），
所以，
故面积的最小值为.
15．（2023·河南郑州·统考模拟预测）如图，在中，，点在延长线上，且．
(1)求；
(2)若面积为，求．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）因为,设,则,
由余弦定理得，因为，
所以
在中,由正弦定理得,
在中,由正弦定理得,
因为,所以
整理得.
（2）由得,
由（1）得,所以,
在中,,
由余弦定理得
.
16．（2023·河南·校联考模拟预测）已知锐角三角形的内角的对边分别为，，，.
(1)求A；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）∵，即，
由于，则，即，
两边同乘以可得：，
则，且，解得.
（2）由题意及正弦定理，得，，
则
，
由（1）可知，且为锐角三角形，
则，解得，
则，所以，
故的取值范围是.
17．（2023·北京丰台·统考二模）在四边形ABCD中，，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，解决下列问题．
(1)求BD的长；
(2)求四边形ABCD的面积．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)选①，；选②，
(2)选①，；选②，
【解析】（1）选①，由余弦定理得，
解得，
选②，在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
因为，所以，
即，解得.
（2）选①，，，
故，
在中，，所以⊥，故，
所以四边形ABCD的面积为；
选②，，故，故，
因为，所以，
故，
，
故四边形ABCD的面积为.
18．（2023·广东广州·统考二模）记的内角、、的对边分别为、、，已知.
(1)求；
(2)若点在边上，且，，求.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：因为，
由余弦定理可得，
化简可得，由余弦定理可得，
因为，所以，.
（2）解：因为，则为锐角，所以，，
因为，所以，，
所以，，
设，则，
在和中，由正弦定理得，，
因为，上面两个等式相除可得，
得，即，
所以，.
19．（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）在中，角、、所对的边分别为、、，.
(1)求；
(2)若，求面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：，
.
由正弦定理得.
.
因为，则，
，，
则，
所以，，即，
所以，，
，即.
（2）解：由（1）得.
若，则、均为钝角，则，矛盾，
所以，，，此时、均为锐角，合乎题意，
，
当且仅当时，等号成立，且为钝角.
，则，且为锐角，
由，解得，即，
当且仅当时，等号成立，
，.
因此，面积的最小值为.
20．（2023·山东·烟台二中校联考模拟预测）已知平面四边形ABCD中，，，．
(1)求；
(2)若，，求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）如图，在中，由正弦定理可得，
在中，由正弦定理可得．
因为，所以，所以．
而，，故，
又，所以得到．
因为，故，故．
（2）因为，且，
故，为等边三角形．
所以，
因为，，所以，
故梯形ABCD的面积．
21．（2023·全国·模拟预测）已知锐角三角形的内角的对边分别为，且.
(1)求角；
(2)若为的垂心，，求面积的最大值.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）由题可得，
结合正弦定理可得，即，
∴，又，∴.
（2）设边，上的高分别为，则为与的交点，
则在四边形中，，
∵，∴，故，
在中，，，
则，即，
当且仅当时取等号.∴，故面积的最大值为.
22．（2023·福建漳州·统考三模）如图，平面四边形内接于圆O，内角，对角线AC的长为7，圆的半径为.
(1)若，，求四边形的面积；
(2)求周长的最大值.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）如图所示，连结，
在中，，，
所以，
因为，所以，则，
因为，所以为等边三角形，
，
，，
在中，，即，
又，
，
.
（2）设，，
则在中，，，则，即，故，
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
所以，当且仅当时，等号成立，
，则，
，故，当且仅当时，等号成立，
所以，即周长的最大值为.
23．（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）如图，平面四边形ABCD中，，，．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
(1)求四边形ABCD的外接圆半径R；
(2)求内切圆半径r的取值范围．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）在中，，
所以，由正弦定理，，可得，
再由余弦定理，，又，所以.因为，
所以，所以A，B，C，D四点共圆，
则四边形ABCD的外接圆半径就等于外接圆的半径.
又，所以.
（2）由（1）可知：，则.，
则.
在中，由正弦定理，
，所以，，则
，
又，所以，所以，，所以.