6.4 求和方法(精练)-2024年高考数学一轮复习一隅三反系列(新高考)
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这是一份6.4 求和方法(精练)-2024年高考数学一轮复习一隅三反系列(新高考),文件包含64求和方法精练原卷版docx、64求和方法精练解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共67页, 欢迎下载使用。
1.(2023·江苏苏州·模拟预测)2022年11月8日,著名华人数学家张益唐教授以视频方式作学术报告,与北大数学师生分享他围绕“朗道—西格尔零点猜想”所做的研究工作,他在“大海捞针”式的研究过程中提出的新想法是基于一个简单的代数恒等式:.已知数列的通项公式为,则其前9项的和等于( )
A.13280B.20196C.20232D.29520
【答案】B
【解析】,
.故选:B.
2.(2023·全国·高三专题练习)我们都听说过一个著名的关于指数增长的故事:古希腊著名的数学家、思想家阿基米德与国王下棋.国王输了,问阿基米德要什么奖赏?阿基米德说:“我只要在棋盘上的第一格放一粒米,第二格放二粒,第三格放四粒,第四格放八粒……按此方法放到这棋盘的第64个格子就行了.”通过计算,国王要给阿基米德粒米,这是一个天文数字.年后,又一个数学家小明与当时的国王下棋,也提出了与阿基米德一样的要求,由于当时的国王已经听说过阿基米德的故事,所以没有同意小明的请求.这时候,小明做出了部分妥协,他提出每一个格子放的米的个数按照如下方法计算,首先按照阿基米德的方法,先把米的个数变为前一个格子的两倍,但从第三个格子起,每次都归还给国王一粒米,并由此计算出每个格子实际放置的米的个数.这样一来,第一个格子有一粒米,第二个格子有两粒米.第三个格子如果按照阿基米德的方案,有四粒米;但如果按照小明的方案,由于归还给国王一粒米,就剩下三粒米;第四个格子按照阿基米德的方案有八粒米,但如果按照小明的方案,就只剩下五粒米.“聪明”的国王一看,每个格子上放的米的个数都比阿基米德的方案显著减少了,就同意了小明的要求.如果按照小明的方案,请你计算个格子一共能得到( )粒米.
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】按照小明的方案,设第个格子放的米粒数为,其中,
则数列满足:,,,
所以,当时,,
故数列是从第项开始成以为公比的等比数列,且,
所以,,则,
所以,数列的前项和为
.故选:D.
3.(2023·广东广州·统考三模)南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中,研究了二阶等差数列.若是公差不为零的等差数列,则称数列为二阶等差数列.现有一个“三角垛”,共有40层,各层小球个数构成一个二阶等差数列,第一层放1个小球,第二层放3个小球,第三层放6个小球,第四层放10个小球,,则第40层放小球的个数为( )
A.1640B.1560C.820D.780
【答案】C
【解析】设第层放小球的个数为,由题意,,……,数列是首项为2,公差为1的等差数列,所以.
故,故.故选:C.
4.(2023·安徽淮南·统考二模)我国古代数学在宋元时期达到繁荣的顶点,涌现了一大批卓有成就的数学家,其中朱世杰与秦九韶、杨辉、李冶被誉为我国“宋元数学四大家”.朱世杰著有《四元玉鉴》和《算学启蒙》等,在《算学启蒙》中,最为引人入胜的问题莫过于堆垛问题,其中记载有以下问题:“今有三角、四角果子垛各一所,共积六百八十五个,只云三角底子一面不及四角底子一面七个,问二垛底子一面几何?”其中“积”是和的意思,“三角果子垛”是每层都是正三角形的果子垛,自上至下依次有1,3,6,10,15,…,个果子,“四角果子垛”是每层都是正方形的果子垛,自上至下依次有1,4,9,16,…,个果子,“底子一面”指每垛最底层每条边”.根据题意,可知该三角、四角果子垛最底层每条边上的果子数是( )(参考公式:)
A.4,11B.5,12C.6,13D.7,14
【答案】B
【解析】设三角果子垛自上至下依次为,
当时,所以
,且时,
所以三角果子垛第层的果子数为,
四角果子垛第层的果子数为,
设三角、四角果子垛最底层每条边上的果子数分别为,
所以三角果子垛各层果子总和为,
四角果子垛各层果子总和为,由题意,
即,
解得,所以该三角、四角果子垛最底层每条边上的果子数分别是.故选:B.
5.(2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测)德国数学家高斯是近代数学奠基者之一,有“数学王子”之称,在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋,10岁时,他在进行的求和运算时,就提出了倒序相加法的原理,该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成,因此,此方法也称之为高斯算法.已知某数列通项,则( )
A.98B.99C.100D.101
【答案】C
【解析】由已知,数列通项,所以,
所以,
所以.
故选:C.
6.(2023·江西南昌·统考三模)“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一,他的数学研究几乎遍及所有领域,在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献.我们高中阶段也学习过很多高斯的数学理论,比如高斯函数、倒序相加法、最小二乘法等等.已知某数列的通项,则( )
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】当时,,
,
,,
,,即.故选:D.
7.(2023·上海黄浦·上海市大同中学校考三模)南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”,在他的专著《详解九章算法·商功》中,杨辉将堆垛与相应立体图形作类比,推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式,例如三角垛指的是如图顶层放1个,第二层放3个,第三层放6个,第四层放10个第n层放个物体堆成的堆垛,则______.
【答案】/
【解析】依题意,在数列中,,
当时,,满足上式,
因此,,数列的前项和为,
则,
所以.
故答案为:
8.(2023春·江西宜春·高三校考开学考试)德国大数学家高斯年少成名,被誉为数学届的王子,19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论,就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》.在其年幼时,对的求和运算中,提出了倒序相加法的原理,该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成,因此,此方法也称之为高斯算法,现有函数,设数列满足,若,则的前n项和_________.
【答案】
【解析】由得,
,
由,
得,
故,
故,
所以,
则,
两式相减得:
故,
故答案为:
9.(2023·全国·高三专题练习)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折,规格为的长方形纸,对折1次共可以得到,两种规格的图形,它们的面积之和,对折2次共可以得到,,三种规格的图形,它们的面积之和,以此类推,则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______;如果对折次,那么______.
【答案】 5
【解析】(1)由对折2次共可以得到,,三种规格的图形,所以对着三次的结果有:,共4种不同规格(单位;
故对折4次可得到如下规格:,,,,,共5种不同规格;
(2)由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半,故各次对着后的图形,不论规格如何,其面积成公比为的等比数列,首项为120,第n次对折后的图形面积为,对于第n此对折后的图形的规格形状种数,根据(1)的过程和结论,猜想为种(证明从略),故得猜想,
设,
则,
两式作差得:
,
因此,.
故答案为:;.
10.(2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测)正项数列中,,,的前n项和为,从下面三个条件中任选一个,将序号填在横线______上.
①,;
②为等差数列;
③为等差数列,试完成下面两个问题:
(1)求的通项公式;
(2)求证:.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】(1)选①:,设,
则n为奇数时,,
,设,则n为偶数时,,
所以.
选②:的第1项为,第2项,
则,则.
选③:为等差数列,,,
则,
则,,
则,经检验也成立,所以.
(2)证明:由(1)可得,
则,
则
11.(2023·山东·山东省实验中学校考一模)已知正项数列的前项和为,且,.
(1)求;
(2)在数列的每相邻两项、之间依次插入、、、,得到数列、、、、、、、、、、,求的前项和.
【答案】(1),.(2)
【解析】(1)解:对任意的,因为,
当时,
,
因为,所以,故.
当时,适合,
所以,.
(2)解:因为,,
所以当时,,
所以,,
所以,数列的前项分别为:、、、、、、、、、、、、、、、、、、、,
12.(2023·福建厦门·统考模拟预测)已知数列满足.
(1)证明是等比数列;
(2)若,求的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】(1)由题意得.
又因为,所以.
所以是以为首项,为公比的等比数列.
(2)由(1)得.
所以.
所以
.
13.(2023·辽宁辽阳·统考二模)在①2,②这两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并作答.问题:设数列的前项和为,且__________.
(1)求的通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)选①,因为,所以,
所以,所以,
则.
因为满足上式,所以.
选②,因为,所以,
所以.
因为满足上式,所以,
则,因为满足上式,所以.
(2)由(1)可得,则
14.(2023春·湖南·高三校联考阶段练习)已知等差数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前项和为,求的通项公式.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解:设等差数列的首项为,公差为,
由,所以,解得,
所以数列的通项公式为.
(2)解:由(1)得,
所以,
所以
.
15.(2023·福建福州·福州三中校考模拟预测)设为数列的前n项积.已知.
(1)求的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)依题意,是以1为首项,2为公差的等差数列,则,
即,当时,有,两式相除得,,
显然,即,因此当时,,即,
所以数列的通项公式.
(2)设的前项和为,由(1)得,,于是,
因此,
则,
所以数列前项和为.
16.(2023·湖南·校联考模拟预测)已知数列的首项,且满足.
(1)求证:数列是等差数列;
(2)若数列满足,求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)由,可得,
又,所以是以3为首项,2为公差的等差数列;
(2)由(1)知:,
所以,
所以,
所以
.
17.(2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测)在公差不为零的等差数列中,且,,成等比数列.
(1)求通项公式;
(2)令,求数列的前项和;
【答案】(1),;(2).
【解析】(1)由题意,设等差数列的公差为,,,成等比数列,,
, 又,,解得,
,;
(2)由(1),可得
,
.
18.(2023·山东烟台·统考三模)已知数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足,求数列的前项和
【答案】(1)
(2)
【解析】(1)由得,,
所以时,,
故,又,则,当时,成立,
所以,.
(2)由(1)知,,
所以,
,
因为,
于是,
所以,.
故数列的前项和为.
19.(2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测)已知数列满足,(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前40项和.
【答案】(1)(2)784
【解析】(1)由题意易得,由可得,
所以数列是公差为2的等差数列.故,即.
(2)由(1)知,.所以的前40项和
.
20.(2023·陕西西安·校考模拟预测)正项数列的前n项和为,已知.
(1)求证:数列为等差数列,并求出,;
(2)若,求数列的前2023项和.
【答案】(1);;
(2).
【解析】(1)由可得,,
又因为为正项数列的前n项和,所以,
因为,所以,
所以,数列为等差数列,
所以 ,,,所以.
(2),
.
21.(2023·重庆万州·统考模拟预测)在①;②,与都是等比数列;③,这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并作答.
已知数列的前n项和为,且______.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前n项和.
注:如果选择多个条件分别作答,则按所作第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【解析】(1)若选①:当时,,解得;
当时,,,
两式相减得:,
即,所以,
所以数列是以为首项,4为公比的等比数列.
所以.
若选②:都是等比数列,设的公比为:,
因为是等比数列,,
即,解得(舍去)或,
因为,所以.
若选③:当时,,解得;
当时,,,
两式相减得:,所以
所以,当时,符合,
故.
(2)由(1)可知:,
所以,
所以数列的前n项和为:
,
,
两式相减得:,
所以,
所以,
所以.
22.(2023·广东深圳·统考模拟预测)已知数列的奇数项成等差数列,偶数项成等比数列,且公差和公比都是,若对满足的任意正整数,,均有成立.
(1)求数列的通项公式;
(2)令,求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】(1)对满足的任意正整数,,
均有成立,
令,则即,
令,,得,
,
,
解得,,
由题意数列的奇数项成等差数列,偶数项成等比数列,且公差和公比都是,
,即,
(2)由1知,
则,
,
,
.
23.(2023·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测)已知数列的前项和为,.
(1)求证:数列为等比数列,并求出数列的通项公式;
(2)若 ,求数列的前项和.
从①和②这两个条件中任意选择一个填入上面横线上,并完成解答.注:若选择多个条件作答,则按第一个解答计分.
【答案】(1)证明见解析,
(2)答案见解析
【解析】(1)依题意可得,
两式相减并化简得,所以
又,,解得.
所以,故
由于,所以,于是.
故数列是首项为3,公比为3的等比数列
,即
(2)选①: 由(1)得,则
两式相减得:
所以
选②: 由(1)得,所以
(i)当为偶数时,
(ii)当为奇数时,
综上所述
24.(2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测)已知为正项等差数列,为正项等比数列,其中,且,成等比数列,.
(1)求的通项公式;
(2)求数列的前项和.
【答案】(1),
(2)
【解析】(1)设等差数列的公差为,则.
因为,且成等比数列,
所以解得或(舍去)
所以.
因为,即,可得或(舍去),
所以.
(2),记的前项和为,
,①
,②
由①-②,得
,
所以.
25.(2023春·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习)已知数列为等差数列,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】(1)设数列的公差为,则,即,则,
则数列为等比数列,设其公比为,
由,得,解得,
所以.
(2)由(1)得,
,
,
所以,
所以.
26.(2023·全国·统考高考真题)设为数列的前n项和,已知.
(1)求的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】(1)因为,
当时,,即;
当时,,即,
当时,,所以,
化简得:,当时,,即,
当时都满足上式,所以.
(2)因为,所以,
,
两式相减得,
,
,即,.
27.(2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测)设数列的前项和为,已知,且数列是公比为的等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求其前项和
【答案】(1)
(2)
【解析】(1)因为,
所以由题意可得数列是首项为1,公比为的等比数列,
所以,即,
所以,
两式作差得:,
化简得:即,
所以,
所以数列是以为首项,以3为公比的等比数列,
故数列的通项公式为;
(2)方法一:
设,
则有,比较系数得,
所以
所以,
所以,
所以.
方法二:
因为,
所以,
所以,
所以
,
所以.
28.(2023·山东潍坊·三模)已知数列和满足.
(1)证明:和都是等比数列;
(2)求的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】(1)因为,,
所以,,
又由,得,,
所以数列是首项为,公比为的等比数列,
数列是首项为,公比为的等比数列.
(2)由(1)得,,
所以,,
所以,
所以.
29.(2023·湖南·校联考模拟预测)已知等比数列的公比,前n项和为,满足:.
(1)求的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】(1)法一:
因为是公比的等比数列,
所以由,得,即,
两式相除得,整理得,即,
解得或,又,所以,故,
所以,
法二:因为是公比的等比数列,
所以由得,即,则,,解得或(舍去),
故,则,所以.
(2)当为奇数时,,
当为偶数时,,
所以
.
30.(2023·安徽滁州·校考模拟预测)已知等比数列的前项和为,且
(1)求数列的通项公式;
(2)在与之间插入个数,使这个数组成一个公差为的等差数列,求数列的前项和.
【答案】(1)
(2).
【解析】(1),
当时,,
两式相减可得,,
故等比数列的公比为,
,
,
故数列的通项公式为.
(2)由得:,,
故,即,
,
,
得:,
故.
31.(2022春·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习)已知数列,,为数列的前n项和,,若,,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列的通项公式为,令为的前n项的和,求.
【答案】(1),
(2)
【解析】(1)解:,
因为,所以,
又,所以是公比为2,首项为2的等比数列,
,,
,
综上,是公差为1,首项为1的等差数列,
.
(2)解:令,
①②,得,
,
.
32.(2023春·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习)数列满足,.
(1)求数列的通项公式;
(2)记,数列的前项和为,求使成立的最小正整数.
【答案】(1)
(2)
【解析】(1)由题意知,可得,即
所以是以为首项,为公比的等比数列,
所以,可得,
所以数列的通项公式为.
(2)解:由,可得,
当为偶数时,为偶数,当为奇数时,为奇数,
所以,
所以前项的和,
所以,
所以,不合题意,
又因为,且,
所以使的最小值为.
1.(2022·全国·高三专题练习)设,为数列的前n项和,求的值是( )
A.B.0C.59D.
【答案】A
【解析】令 ①
则 ②
①+②可得:,
,..
故选:A
2.(2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测)(多选)如图,杨辉三角形中的对角线之和1,1,2,3,5,8,13,21,…构成的斐波那契数列经常在自然中神奇地出现,例如向日葵花序中央的管状花和种子从圆心向外,每一圈的数字就组成这个数列,等等.在量子力学中,粒子纠缠态、量子临界点研究也离不开这个数列.斐波那契数列的第一项和第二项都是1,第三项起每一项都等于它前两项的和,则( )
A.B.
C.D.
【答案】BCD
【解析】由题设且,
由,,,...,,
所以,
则,A错误;
由,,,...,,
所以,则,B正确;
由,则,
所以
,C正确;
由,
所以
,D正确.
故选:BCD.
3.(2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考模拟预测)数列的前1357项均为正数,且有:,则的可能取值个数为( )
A.665B.666C.1330D.1332
【答案】B
【解析】当时,,
因为数列的前项均为正数,
所以,
设数列的前项和为,
所以①,
则②,
②-①得:,
化简得,
若,③,
则④,
③-④得,
因为数列的前项均为正数,
所以,
即数列是以为首项,为公差的等差数列,
所以,
所以为定值.
由可得:从项到项,连续两项之间有两种情况:或,
根据相反数的立方和为零可得每增加两项,可能结果增加两种;而第1358项有两种可能;
所以最后结果的个数可能为:种.
故选:B.
4.(2023·全国·高三对口高考)在如图所示的数表中,第行第列的数记为,且满足,,,则此数表中的第行第列的数是________;记第行的数、、、、、为数列,则数列的通项公式为________.
【答案】
【解析】由题意可得,,
且,则;
,记,则,即,
且,
当且,
,
也满足,故对任意的,,
则,所以,,且,
当且,
,
也满足,故对任意的,.
故答案为:;.
5.(2023·全国·高三专题练习)已知数列的前项和为,且,设函数,则___________,___________.
【答案】 /
【解析】由于,①,
当时,所以,
当时,,②,
①②得:,
所以,显然时也成立,
当时,,
当时也成立,所以;
根据函数,
所以,,
所以;
所以
.
故答案为:;
6.(2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末)在高中的数学课上,张老师教会了我们用如下方法求解数列的前n项和:形如的数列,我们可以错位相减的方法对其进行求和;形如的数列,我们可以使用裂项相消的方法对其进行求和.李华同学在思考错位相减和裂项相消后的本质后对其进行如下思考:
错位相减:设,
综上:当中间项可以相消时,可将求解的问题用错位相减化简
裂项相消:设或为公比为1的等比数列;
①当时,
②当为公比为1的等比数列时,;
故可为简便计算省去②的讨论,
综上:可将求解的问题用裂项相消转化为求解的问题
你看了他的思考后虽觉得这是“废话文学”,但是你立刻脑子里灵光一闪,回到座位上开始写下了这三个问题:
(1)用错位相减的方法“温故”张老师课堂上举的例子,求解数列{}前n项和;
(2)用裂项相消的方法“知新”张老师课堂上举的例子,求解数列{}前n项和;
(3)融会贯通,求证:前n项和满.
请基于李华同学的思考做出解答,并写出裂项具体过程.
【答案】(1);
(2);
(3)裂项过程见解析,证明见解析.
【解析】(1)因为,
所以,
所以,
所以,
所以,
所以;
(2)因为,设,
则,所以,,
故
所以,
所以;
(3)因为,设,
则,
则,所以,
即,
所以
所以,
所以
7.(2023·全国·统考高考真题)已知为等差数列,,记,分别为数列,的前n项和,,.
(1)求的通项公式;
(2)证明:当时,.
【答案】(1);
(2)证明见解析.
【解析】(1)设等差数列的公差为,而,
则,
于是,解得,,
所以数列的通项公式是.
(2)方法1:由(1)知,,,
当为偶数时,,
,
当时,,因此,
当为奇数时,,
当时,,因此,
所以当时,.
方法2:由(1)知,,,
当为偶数时,,
当时,,因此,
当为奇数时,若,则
,显然满足上式,因此当为奇数时,,
当时,,因此,
所以当时,.
8.(2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测)已知数列的前项和为是与的等差中项;数列中.
(1)求数列与的通项公式;
(2)若,证明:;
(3)设,求.
【答案】(1),;
(2)证明见解析;
(3).
【解析】(1)是与的等差中项,.
当时,;
当时,.
则数列是以为首项,为公比的等比数列,则;
当时,,满足上式,
综上,,;
(2)由(1),当时,.
则当时,不等式成立;当时,;
当时,
综上,;
(3).
则,得
.
则
9.(2023·辽宁锦州·统考模拟预测)记为数列的前项和,已知.
(1)求的通项公式;
(2)设单调递增的等差数列满足,且成等比数列.
(i)求的通项公式;
(ii)设,证明:.
【答案】(1)
(2)(i);(ii)证明见解析.
【解析】(1)解:因为,可得,
两式相减可得,即,
则,
又因为,可得,
所以当时,,即,
当时,不满足上式,
所以数列的通项公式为
(2)解:(i)设数列的公差为,
因为成等比数列,且,
所以,
整理得,解得或,
因为,可得,
又因为,所以数列的通项公式为.
(ii)由(i)知,,
可得,
当时,;
当时,,
综上可得,对于任意,都有.
10.(2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测)已知等差数列与等比数列的前项和分别为:,且满足:,
(1)求数列的通项公式;
(2)若求数列的前项的和.
【答案】(1);
(2)
【解析】(1),解得:
设等差数列的公差为,等比数列的首项为,公比为
,,
,则:
又,得:
(2)
数列的前项的和:.
11.(2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习)已知数列各项都不为0,,,的前项和为,且满足.
(1)求的通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
【答案】(1),;
(2)
【解析】(1)时,,,两式相减,可得,由题意得,可得,则有
当为奇数时,为等差数列,,
当为偶数时,为等差数列,,
(2),
,利用倒序相加,可得
,
解得,
,
12.(2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测)已知是单调递增的等差数列,其前项和为.是公比为的等比数列..
(1)求和的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】(1)设等差数列的公差为,
由题意可得:,解得或(舍去),
所以.
(2)由(1)可得,
当为奇数时,则,
设,
则,
两式相减得
,
所以;
当为偶数时,则,
设,
所以;
综上所述:,
当为奇数时,则
;
当为偶数时,则
;
综上所述:.
13.(2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测)2023年4月23日,是中国海军成立74周年74年向海图强,74年劈波斩浪.74年,人民海军新装备不断增加,新型作战力量加速发展,从“101南昌舰”到“108咸阳舰”,8艘055型驱逐舰列阵.我国自主研制的075型两栖攻击舰“31海南舰”“32广西舰”“33安徽舰”也相继正式入列.从小艇到大舰,从近海防御到挺进深蓝大洋,人民海军步履铿锵,捍卫国家主权,维护世界和平.为了庆祝中国海军成立74周年,某公司设计生产了三款两栖攻击舰模型(分别为“31海南舰”、“32广西舰”“33安徽舰”),并限量发行若该公司每个月发行300件(三款各100件),一共持续12个月,采用摇号的方式进行销售.假设每个月都有3000人参与摇号,摇上号的将等可能获得三款中的一款.小周是个“战舰狂热粉”,听到该公司发行两栖攻击舰模型,欣喜若狂.
(1)若小周连续三个月参与摇号,求他在这三个月集齐三款模型的概率;
(2)若摇上号的人不再参加后面的摇号.已知小周从第一个月开始参与摇号,并且在12个月的限量发行中成功摇到并获得了模型.设他第X个月摇到并获得了模型,求X的数学期望.
【答案】(1)
(2)
【解析】(1)由题可知,小周第1个月摇上号的概率为,所以小周连续三个月摇上号的概率为,
小周连续三个月摇上号的前提下,三个月集齐三款模型共有种情况,三个月获得模型共有种情况,
所以在小周连续三个月摇上号的前提下,三个月集齐三款模型的概率为,
设事件为“小周在这三个月集齐三款模型”,则.
(2)由题意得,,
则,
两边同乘得,
两式相减得
,
所以.
14.(2023·山东烟台·统考三模)现有甲、乙两个袋子,每个袋子中均装有大小、形状、质地完全相同的个黑球和个红球,若每次分别从两个袋子中随机摸出个球互相交换后放袋子中,重复进行次此操作.记第次操作后,甲袋子中红球的个数为.
(1)求的分布列和数学期望;
(2)求第次操作后,甲袋子中恰有个红球的概率.
【答案】(1)分布列见解析,
(2)
【解析】(1)由题知,的所有可能取值为、、,
,,,
所以,的分布列为
所以,的数学期望.
(2)由题知,
又,
所以,,
整理得,,
所以,,
又因为,所以,数列是首项为,公比为的等比数列,
所以,,
所以,,即.
所以的前项是由个与个组成.所以.
15.(2023·山东泰安·统考模拟预测)现有一种不断分裂的细胞,每个时间周期内分裂一次,一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞,每次分裂后原细胞消失,设每次分裂成一个新细胞的概率为,分裂成两个新细胞的概率为;新细胞在下一个周期内可以继续分裂,每个细胞间相互独立.设有一个初始的细胞,在第一个周期中开始分裂,其中.
(1)设结束后,细胞的数量为,求的分布列和数学期望;
(2)设结束后,细胞数量为的概率为 .
(i)求;
(ii)证明:.
【答案】(1)分布列见解析,
(2)(i);(ii)证明见解析
【解析】(1)个结束后,的取值可能为,其中,
,
,,
所以分布列为
.
(2)(i)表示分裂结束后共有个细胞的概率,则必在某一个周期结束后分裂成个细胞. 不妨设在第时分裂为个细胞,之后一直有 个细胞,
此事件概率,
所以
.
(ii)代表分裂后有个细胞的概率,设细胞在后分裂为个新的细胞,这两个细胞在剩下的中,其中一个分裂为个细胞,一个保持一直分裂为个细胞,此事件的概率
,
得,
,
其中,.
令,,
记,,令,得.
当,,递增;
当,,递减.
故,
也就是.
第1行 1 2 4 8 …
第2行 2 3 5 9 …
第3行 3 5 8 13 …
… …
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