浙江省杭州市余杭区中考二模数学试题

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1.本试卷满分120分，考试时间100分钟．答题前，请在答题纸上填写正确个人信息．
2.必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效．
3.如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑．
参考公式：二次函数图象的顶点坐标公式：．
数学试题卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求．
1. 2023年2月26日，杭州某区最高气温为，最低气温为，那么这天的最高气温比最低气温高（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接用最高气温减去最低气温即可得到答案．
【详解】解：，
∴这天的最高气温比最低气温高，
故选C．
【点睛】本题主要考查了有理数减法的实际应用，正确理解题意并准确计算是解题的关键．
2. 据统计，2022年北京冬奥会人工造雪面积达到平方米，数用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选A．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
3. 点A为直线外一点，于点C，．点P是直线上的动点，则线段长可能是（ ）
A. 1B. 3C. 5D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】利用垂线段最短得到，然后对各选项进行判断．
【详解】解：如图，

∵，
∴，而
即．
故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查点到直线距离，垂线段最短，利用垂线段最短得到是解题的关键．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由合并同类项、同底数幂除法，幂的乘方、积的乘方，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A.，故A错误；
B.，故B错误；
C.，故C错误；
D.，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂除法，积的乘方，幂的乘方，合并同类项，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
5. 如图，直线，点B在直线a上，，若∠1=40°，则∠2的度数为（ ）
A. 40°B. 50°C. 80°D. 140°
【答案】B
【解析】
【分析】由平角定义和两直线平行同位角相等即可求出．
【详解】解：如图可得： ，
，
，
（两直线平行同位角相等）．
故选B．
【点睛】本题考查了平行线性质以及平角定义，熟练掌握平行线性质是解题关键．
6. 若点，关于原点成中心对称，则a，b的值分别为（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】由关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数，从而可得答案．
【详解】解：∵点，关于原点成中心对称，
∴，，
故选D
【点睛】本题考查的是关于原点对称的两个点之间的坐标关系，熟记关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数是解本题的关键．
7. 某公司本月信誉评分为96分，比上个月的信誉评分提高了．设该公司上个月的信誉评分为x．则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设该公司上个月的信誉评分为x．则本月的信誉评分可表示为，再建立方程即可．
【详解】解：设该公司上个月的信誉评分为x．则
；
故选C
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．
8. 如图，正九边形外接圆的半径是R，则这个正九边形的边长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过作于，结合正九边形的中心角为：，而，可得，，由，可得，则．
【详解】解：过作于，
∵正九边形的中心角为：，而，
∴，，
∴，则，
∴；
故选C
【点睛】本题考查的是圆与正多边形，等腰三角形的性质，锐角的正弦的含义，掌握基础知识是解本题的关键．
9. 如图，在中，，点P在边上，若是的三等分线，则的长度为（ ）

A. 或5B. 或C. 或2D. 或2
【答案】B
【解析】
【分析】当是靠近的的三等分线，先根据等边对等角和三角形内角和定理证明，，则，，设，则，证明，利用相似三角形的性质得到，解方程即可求出；同理可得，当是靠近的的三等分线时，．
【详解】解：∵，
∴，
当是靠近的的三等分线时，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
设，则，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
解得或（舍去），
∴；
同理可得，当是靠近的的三等分线时，；
综上所述，或，
故选B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，利用分类讨论的思想是解题的关键．
10. 已知y关于x的二次函数，下列结论中正确的序号是（ ）
①当时，函数图象的顶点坐标为；
②当m≠0时，函数图象总过定点：
③当时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于；
④若函数图象上任取不同的两点、，则当时，函数在时一定能使成立．
A. ①②③B. ①③④C. ②③④D. ①②④
【答案】A
【解析】
【分析】求出当时，二次函数图象的顶点坐标即可判断①；当m≠0时，二次函数，当时，y的值与m无关，求出x的值，即可得到定点，即可判断②；求出，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于；即可判断③；当时，抛物线的对称轴为，则抛物线开口向下，当时，只有当对称轴在右侧时，y才随x的增大而减小，即成立，即可判断④．
【详解】解：当时，二次函数，此时函数图象的顶点坐标为，故①正确；
当m≠0时，二次函数，
当时，y的值与m无关，
此时，，
当时，，当时，，
∴函数图象总过定点，：故②正确；
当时，，
∵，
∵，
∴，
∴当时，
∴，
∴函数图象在x轴上截得的线段的长度大于；故③正确；
函数图象上任取不同的两点、，则
当时，抛物线的对称轴为，
∴抛物线开口向下，
当时，只有当对称轴在右侧时，y才随x的增大而减小，即成立，故④错误，
综上可知，正确的是①②③，
故选：A
【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，主要考查了函数图象上的点的坐标特征，要求非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等坐标的求法及这些点代表的意义及函数特征．
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分．
11. 求值：________．
【答案】
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值直接得出答案即可．
【详解】tan60°的值为．
故答案为．
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
12. 分解因式：_________．
【答案】
【解析】
【分析】提取公因式，即可得答案．
【详解】解：；
故答案为：；
【点睛】本题考查的是提取公因式分解因式，熟练的确定公因式是解本题的关键．
13. 某校成立了三个课后服务小组，张老师和李老师都报名参加．若随机安排报名人员到服务小组，则他们恰好分到同组的概率是_________．
【答案】
【解析】
【分析】设三个课后服务小组分别为A、B、C，根据题意列出表格，则共有9种等可能出现的结果，其中他们恰好分到同组有3种结果，再根据概率公式即可求解．
【详解】解：设三个课后服务小组分别为A、B、C，
根据题意列出表格如下：
共有9种等可能出现的结果，其中他们恰好分到同组有3种结果，
他们恰好分到同组的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了画树状图或列表格求概率，注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
14. 如图，PA，PB是的切线，切点分别为A，B，连接OB，AB．如果，那么∠P的度数为______．
【答案】40°
【解析】
【分析】由PA与PB都为圆O的切线得OB⊥BP，PA=PB，从而求得∠ABP=70°，再根据内角和定理即可求出∠P的度数．
【详解】解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OB⊥BP，PA=PB，
∴∠OBP=90°，
∵，
∴∠ABP=70°，
∵PA=PB，，
∴∠BAP=∠ABP=70°，
∴∠P=180°-∠BAP-∠ABP=180°-70°-70°=40°，
故答案为：40°
【点睛】此题考查了切线长定理及等腰三角形的性质，熟练运用性质及定理是解本题的关键．
15. 如图，在中，的平分线交于点F．点D，E分别在，上，连接交于点G．若，，则_________．

【答案】
【解析】
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到和，利用相似的性质有，然后根据和比例性质即可得出的的值．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
即，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
16. 如图，已知正方形ABCD的边长为1，点M是BC边上的动点（不与B，C重合），点N是AM的中点，过点N作EF⊥AM，分别交AB，BD，CD于点E，K，F，设BM＝x．
（1）AE的长为______（用含x的代数式表示）；
（2）设EK＝2KF，则的值为______．
【答案】 ①. ②. x
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理求得AM，进而得出AN，证得△AEN∽△AMB，由相似三角形的性质即可求得AE的长；
（2）连接AK、MG、CK，构建全等三角形和直角三角形，证明AK＝MK＝CK，再根据四边形的内角和定理得∠AKM＝90°，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得NK＝AM＝AN，然后根据相似三角形的性质求得＝＝x，即可得出＝x．
【详解】（1）解：∵正方形ABCD的边长为1，BM＝x，
∴AM＝，
∵点N是AM的中点，
∴AN＝，
∵EF⊥AM，
∴∠ANE＝90°，
∴∠ANE＝∠ABM＝90°，
∵∠EAN＝∠MAB，
∴△AEN∽△AMB，
∴＝，即＝，
∴AE＝，
故答案为：；
（2）解：如图，连接AK、MG、CK，
由正方形的轴对称性△ABK≌△CBK，
∴AK＝CK，∠KAB＝∠KCB，
∵EF⊥AM，N为AM中点，
∴AK＝MK，
∴MK＝CK，∠KMC＝∠KCM，
∴∠KAB＝∠KMC，
∵∠KMB+∠KMC＝180°，
∴∠KMB+∠KAB＝180°，
又∵四边形ABMK的内角和为360°，∠ABM＝90°，
∴∠AKM＝90°，
在Rt△AKM中，AM为斜边，N为AM的中点，
∴KN＝AM＝AN，
∴＝，
∵△AEN∽△AMB，
∴＝＝x，
∴＝x，
故答案为：x．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形的性质，以及直角三角形斜边.上的中线的性质，证得KN= AN是解题的关键．
三、解答题：本题有7小题，共66分．
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，正确计算是解题的关键．
18. 如图，中，，点D在边上，且交于点E．

（1）求证：；
（2）若，，E是中点，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证明，结合，从而可得结论；
（2）先求解，可得，由，可得，从而可得答案．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
∵，，，
∴，
∵E是中点，
∴，
∵，
∴；
∴；
∴；
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，证明，熟记相似三角形的性质并应用是解本题的关键．
19. 为调查同学们对亚运知识的了解情况，某校对七八两个年级进行了知识测试（单位：分），从两个年级各随机抽取30名同学的成绩数据，整理并绘制出七年级成绩数据的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）和两个年级测试成绩数据统计表．已知七年级这一组的成绩数据为：70 72 73 75 76 77 78 78
根据以上信息，回答下列问题：

（1）写出表中m的值．
（2）抽取的测试成绩中，七年级有一个同学A的成绩为75分，八年级恰好也有一位同学B的成绩也是75分，这两名学生在各自年级抽取的测试成绩排名中更靠前的是_________，理由是_________．
（3）若七年级共有学生280人，估计七年级所有学生中成绩不低于75分的约有多少人．
【答案】（1）74 （2）B，七年级的中位数高于八年级的中位数；
（3）140人
【解析】
【分析】（1）由可得第15个，第16个数据分别为：73，75，再根据中位数的含义可得答案；
（2）由七年级的中位数为74分，高于八年级的中位数为73分，可得答案；
（3）由总人数280乘以不低于75分的百分比即可得到答案．
【小问1详解】
解：由频数分布表可得：第15个，第16个数据分别为：73，75，
∴中位数：（分）；
【小问2详解】
七年级的中位数为74分，高于八年级的中位数为73分，
∴七年级有一个同学A的成绩为75分，八年级恰好也有一位同学B的成绩也是75分，这两名学生在各自年级抽取的测试成绩排名中更靠前的是B同学．
【小问3详解】
七年级共有学生280人，估计七年级所有学生中成绩不低于75分的约有：
（人）；
答：七年级所有学生中成绩不低于75分的约有140人．
【点睛】本题考查的是频数分布直方图，统计表，平均数，众数，中位数的含义，利用样本估计总体，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键．
20. 如图，双曲线上有一点，过点A的直线与该双曲线交于点B，且点B的纵坐标为1

（1）求反比例函数和一次函数的解析式．
（2）连接，求的面积．
（3）根据图象直接写出在第一象限内一次函数的值大于反比例函数的值时，x的取值范围；
【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为
（2）12 （3）
【解析】
【分析】（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把点A和点B的坐标代入一次函数解析式求出一次函数解析式即可；
（2）如图所示，过点A作轴于G，过点B作轴于H，根据反比例函数比例相系数的几何意义证明，然后根据梯形面积公式求解即可；
（3）利用函数图象进行求解即可．
【小问1详解】
解：把代入中得：，
∴，
∴反比例函数解析式为；
在中，当时，，则
∴；
把，代入中得：，
∴，
∴一次函数解析式为；
【小问2详解】
解：如图所示，过点A作轴于G，过点B作轴于H，
∴，
∴，
∵，，
∴
；
【小问3详解】
解：由函数图象可知当是，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，反比例函数比例系数的几何意义，灵活运用所学知识是解题的关键．
21. 如图，在四边形ABCD中，，，垂足为O，过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）若AC=4，AD=2，，求BC的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）BC长为
【解析】
【分析】（1）先判定，再根据题中所给的条件即可利用平行四边形判定定理证出；
（2）根据三角函数值设，，利用平行四边形性质得到平行及线段相等，从而根据确定的相似比代值求解即可．
【小问1详解】
证明：，，
，
，
在四边形ABCD中，，
四边形ACED是平行四边形；
小问2详解】
解：中，，设，，
在中，，，，
，
，即，解得（舍弃）或，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数定义等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
22. 已知函数（m，n，k为常数且）．
（1）若的图象经过点，求该函数的表达式．
（2）若函数 的图象始终经过同一定点M．
①求点M的坐标和k的值．
②若，当时，总有，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）①，；②
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①先求出函数经过定点，则，且在函数的图象上，由此把代入解析式中求出k的值即可；②先求出抛物线的对称轴在定点的左侧，再结合函数图象可知当时，一次函数的函数值要大于等于二次函数的函数值，由此建立不等式求解即可．
【小问1详解】
解：把代入中得：，
解得，
∴；
【小问2详解】
解：①在中，当时，，
∴函数经过定点，
∵函数 的图象始终经过同一定点M，
∴，且在函数的图象上，
∴，
∴；
②∵，抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线的对称轴在定点的左侧，
由①得，
∵，当时，总有，
∴如图所示，当时，一次函数的函数值要大于等于二次函数的函数值
∴

∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与不等式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23. 如图，在平行四边形中，P是线段中点，连接交于点E，连接．

（1）如果．
①求证：平行四边形为菱形；
②若，求线段的长．
（2）分别以为半径，点A，B为圆心作圆，两圆交于点E，F，点F恰好在射线上，如果，求的值．
【答案】（1）①证明见解析；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①如图所示，连接交于O，证明，得，从而得，则，即可由菱形的判定定理得出结论；②先证点E是的重心，由重心性质得，然后设，则，在中，由勾股定理，得，在中，由勾股定理，得，从而得，解得，即可得，再由平行四边形性质即可得出长；
（2）先证明，由点E是的重心，在直线上，则是的中线，则，根据重心性质得 ， ，在中，由勾股定理，得，则，在中，由勾股定理，得，，则．
【小问1详解】
证明：①如图所示，连接交于O，

∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形；
②∵，
∴是的中线，
∵为中点，
∴是的中线，
∴点E是的重心，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理，得，
在中，由勾股定理，得，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴；
小问2详解】
解：∵与相交于E、F，
∴，
∴，
由（1）②知点E是的重心，
又∵在直线上，
∴是的中线，
∴，
∵，
∴， ，
在中，由勾股定理，得，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查圆，平行四边形的性质，菱形的判定，重心的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，熟知重心的性质是解题的关键．张老师 李老师
A
B
C
A
AA
AB
AC
B
BA
BB
BC
C
CA
CB
CC
平均数
中位数
众数
七年级
m
80
八年级
72
73
73