石家庄市第二中学2023届高三下学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份石家庄市第二中学2023届高三下学期开学考试数学试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,则中元素的个数为( )
A.3B.2C.1D.0
2．已知（i是虚数单位）是关于x的方程的一个根,则( )
A.-7B.-11C.-19D.
3．已知,,设,的夹角为,则在上的投影向量是( )
A.B.C.D.
4．已知函数的局部图象如图所示,则的解析式可以是( )
A.B.
C.D.
5．已知正四面体的内切球的表面积为,过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体,则所得截面的面积为( )
A.B.C.D.
6．已知袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和8个白球,现从中有放回地摸球8次（每次摸出一个球,放回后再进行下一次摸球）,规定每次摸出红球计3分,摸出白球计0分,记随机变量X表示摸球8次后的总分值,则( )
A.8B.C.D.16
7．已知,,,,则a,b,c的大小关系为( )
A.B.C.D.
8．已知椭圆,,过点P的直线与椭圆交于A,B,过点Q的直线与椭圆交于C,D,且满足,设AB和CD的中点分别为M,N,若四边形PMQN为矩形,且面积为,则该椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．投掷一枚质地均匀的股子,事件“朝上一面点数为奇数”,事件“朝上一面点数不超过2”,则下列叙述正确的是( )
A.事件A,B互斥B.事件A,B相互独立
C.D.
10．已知数列为等比数列,首项,公比,则下列叙述正确的是( )
A.数列的最大项为B.数列的最小项为
C.数列为递增数列D.数列为递增数列
11．已知AC为圆锥SO底面圆O的直径（S为顶点,O为圆心）,点B为圆O上异于A,C的动点,,则下列结论正确的为( )
A. 圆锥SO的侧面积为
B.的取值范围为
C.若,E为线段AB上的动点,则
D. 过该圆锥顶点S的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为
12．已知是的导函数,,则下列结论正确的为( )
A.与的图像关于直线对称
B.与有相同最大值
C.将图像上所有的点向右平移个单位长度可得的图像
D.当时,与都在区间上单调递增
三、填空题
13．的展开式中,的系数为______.
14．某省示范性高中安排5名教师去A,B,C三所乡村中学支教,每所中学至少去1人,因工作需要,其中的教师甲不能去A中学,则分配方案的种数为__________.（用数字作答）
15．已知双曲线C的左顶点为A,右焦点为F,离心率为e,动点B在双曲线C的右支上且不与右顶点重合,若恒成立,则双曲线C的渐近线方程为__________.
16．已知,若过点的动直线l与有三个不同交点,自左向右分别为P,E,F,则线段EF的中点纵坐标的取值范围为__________.
四、解答题
17．在中,a、b,c分别是角A、B、C的对边,且．
（1）求角A的大小;
（2）若是方程的一个根,求的值．
18．某中药企业计划种植A,B两种药材,通过大量考察研究得到如下统计数据.药材A的亩产量约为300公斤,其收购价格处于上涨趋势,最近五年的价格如下表：
药材B的收购价格始终为20元/公斤,其亩产量的频率分布直方图如下：
（1）若药材A的单价y（单位：元/公斤）与年份编号x间具有线性相关关系;请求出y关于x的回归直线方程,并估计2024年药材A的单价;
（2）利用上述频率分布直方图估计药材B的平均亩产量（同一组数据用中点值为代表）;
（3）若不考虑其他因素影响,为使收益最大,试判断2024年该药企应当种植药材A还是药材B？并说明理由.
参考公式：回归直线方程,其中,.
19．已知数列的前n项和满足,.
（1）求数列的通项公式;
（2）记数列的前n项和为,若对任意的,不等式恒成立,求实数a的取值范围.
20．如图,在四棱锥中,底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,,,,E是PB上的点.
（1）若平面ACE,求的值;
（2）若E是PB的中点,且二面角的余弦值为,求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.
21．设抛物线的焦点为F,过点的直线l与抛物线C交于A,B两点,点A在第二象限,当F在l上时,A与B的横坐标和为-4．
（1）求抛物线C的方程;
（2）过A作斜率为的直线与轴交于点M,与直线OB交于点N（O为坐标原点）,求．
22．已知函数.
（1）讨论的单调性;
（2）当时,不等式恒成立,求a的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：由题可知：集合A表示半圆上的点,集合B表示直线上的点,
联立与,
可得,整理得,即,
当时,,不满足题意;
故方程组有唯一的解.
故.
故选：C.
2．答案：A
解析：因为是关于x的方程的一个根,所以也是方程的根.
根据根与系数的关系可得
即得,
所以
故选：A.
3．答案：C
解析：在上的投影向量
故选：C.
4．答案：D
解析：由图可得的图象关于y轴对称,即为偶函数,
其中A选项,,故为奇函数,与图象不符,故排除A;
C选项,,故为奇函数,与图象不符,故排除C;
B选项,当时,,,则,与图象不符,故排除B.
故选：D.
5．答案：C
解析：由内切球的表面积,得内切球半径
如图,过点A作平面BCD,则点H为等边的中心
连接BH并延长交CD于点E,且点E为CD中点,连接AE,
记内切球球心为O,过O作,设正四面体边长为a,
则,,,
又因为,所以
由,得,即,解得
因为过棱AB和球心O,所以即为所求截面
且
故选：C.
6．答案：D
解析：由题意,袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和8个白球,
从袋中随机取出一个球,该球为红球的概率为,现从中有放回地摸球8次,
每次摸球的结果不会相互影响,表示做了8次独立重复试验,用Y表示取到红球的个数,
则故：

又因为
根据方差的性质可得：.
故选：D.
7．答案：B
解析：因为,,且,
则,,即;
所以,即,
所以,即.
所以.
故选：B.
8．答案：D
解析：如图,不妨设,两条直线的斜率大于零,连结OM,
由题意知,
解得,,或,（舍）,
所以,,
在中,因为,所以,
故此时,,
设,,则,
两式相减得,
即,即,
因此离心率,所以,
故选：D．
9．答案：BD
解析：对于A,若朝上一面的点数为1,则事件A,B同时发生,事件A,B不互斥,A错误;
对于B,事件A不影响事件B的发生,事件A,B相互独立,B正确;
对于C,,C错误;
对于D,,,,D正确.
故选：BD.
10．答案：ABC
解析：对于A,由题意知：当n为偶数时,;
当n为奇数时,,,最大;
综上所述：数列的最大项为,A正确;
对于B,当n为偶数时,,,最小;
当n为奇数时,;
综上所述：数列的最小项为,B正确;
对于C,,,
,
,,,
数列为递增数列,C正确;
对于D,,,
;
,,,又,
,数列为递减数列,D错误.
故选：ABC.
11．答案：AC
解析：对选项A：母线长,侧面积为,正确;
对选项B：中,,,则当时,
,错误;
对选项C：为等腰直角三角形,,
将放平得到,如图2所示,当,E,C三点共线时最小,F为AB中点,
连接,则,,
,正确;
对选项D：如图3,设截面为SMN,Q为MN中点,
连接OQ,SQ,设,,
则,
当,即时等号成立,D错误.
故选：AC.
12．答案：BC
解析：已知的图像与的图像关于直线对称,
,故A选项错误;
,其中,
最大值为,
,其中,
最大值为,故B选项正确;
,.
将的图像向右平移个单位得的图像,故C选项正确;
当时,,,
当时,在上单调递增,在上单调递增,
当时,在上单调递减,在上单调递减,
综上可知和在上单调性相同,但可能递增也可能递减,故D选项错误.
故选：BC.
13．答案：30
解析： 表示5个因式的乘积,
在这5个因式中,有2个因式选y,其余的3个因式中有一个选,剩下的两个因式选,即可得到含的项,
故含的项系数是
故答案为：30.
14．答案：100
解析：①若三所学校分配人数分别为1,1,3时,共有种安排方法;
其中甲去A中学的安排方法有种;
则此时分配方案的种数为种;
②若三所学校分配人数分别为1,2,2时,共有种安排方法;
其中甲去A中学安排方法有种;
则此时分配方案的种数为种;
综上所述：满足题意的分配方案的种数为种.
故答案为：100.
15．答案：
解析：如图：
因为恒成立,取特殊位置轴时,此时,所以,
在中,,
双曲线中,,
将代入双曲线方程得,整理可得：,
取点位于第一象限,所以,
则,
所以,
当时,,,此时不符合题意,故不成立,
当时,,,此时不符合题意,故不成立,
当时,,
所以,即,可得,所以,
所以,,
所以双曲线的渐近线方程为,
故答案为：.
16．答案：
解析：设,,线段EF的中点,,
易得在上,
由,得,
故,为方程的两个根,所以,故点M在直线上,
,,解得或;,解得,
在和上单调递增,在上单调递减,,,
过P作的切线,设切点坐标为,
则有,即,解得,
此时切线斜率,切线方程为．
又,则P点处的切线方程．
如图所示,
两条切线与的交点纵坐标分别为,,
故．
故答案为：．
17．答案：（1）;
（2）．
解析：（1）,
,即,
,
又三角形内角,
;
（2）等价于,解得或;
,,,
.
18．答案：（1）,33.8元/公斤
（2）401公斤
（3）应该种植药材A,理由见解析
解析：（1）由题意可得：,
,
则,,
故回归直线方程为,
当时,,
即2024年药材A的单价预计为元/公斤.
（2）由频率分布直方图可得：组距为20,自左向右各组的频率依次为,
故B药材的平均亩产量为公斤.
（3）预计2024年药材A每亩产值为元,
药材B每亩产值为元元,
所以药材A的每亩产值更高,应该种植药材A.
19．答案：（1）
（2）或
解析：（1）
当时,,即
当时,由,
故,得.
易见不符合该式,故
（2）由,易知递增;
当时,.
从而.
又由,故,解得或
即实数a的取值范围为或
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）连接BD,交AC于点G,连接EG;
平面ACE,平面PBD,平面平面,
,;
,,,
,即的值为.
（2）取AB中点M,连接CM;
,,四边形AMCD为平行四边形,,
又,四边形AMCD为矩形,则,
则以C为坐标原点,,,正方向为x,y,z轴,可建立如图所示空间直角坐标系,
,,即;
平面ABCD,平面ABCD,;
PC,平面PAC,,平面PAC;
设,
则,,,,,
,,,
设平面EAC的法向量,
则,
令,则,,;
又平面PAC的一个法向量为,
,解得：;
,,,
直线PA与平面EAC所成角的正弦值为.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）设,,
由题,,
由,则直线l斜率,
又,,则,从而有,所以,
从而抛物线C的方程为．
（2）由题意直线l斜率存在,设,
由得,
则,解得或,
又点A在第二象限,所以,,．
设,由题,．
联立解得,
,
将,代入上式得
,即．
22．答案：（1）答案见解析
（2）
解析：（1）函数的定义域为,且.
当时,因为,则,此时函数的单调递减区间为;
当时,由可得,由可得.
此时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为.
综上所述,当时,函数的单调递减区间为;
当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为.
（2）,
设,其中,则,
设,则,
当时,,,且等号不同时成立,则恒成立,
当时,,,则恒成立,则在上单调递增,
又因为,,
所以,存在使得,
当时,;当时,.
所以,函数在上单调递减,在上单调递增,且,
作出函数的图象如下图所示：
由（1）中函数的单调性可知,
①当时,上单调递增,
当时,,当时,,
所以,,此时,不合乎题意;
②当时,,且当时,,
此时函数的值域为,即.
（i）当时,即当时,恒成立,合乎题意;
（ii）当时,即当时,取,
结合图象可知,不合乎题意.
综上所述,实数a的取值范围是.
年份
2018
2019
2010
2021
2022
年份编号x
1
2
3
4
5
单价y（元/公斤）
18
20
23
25
29