江西省景德镇市乐平市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份江西省景德镇市乐平市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．一组数据2，3，5，2，4，则这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A．3和5B．2和5C．2和3D．3和2
2．如图，分别过的顶点A，B作．若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，直线和直线相交于点，则方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ）
A．B．C．D．
5．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，绳长尺，根据题意列方程组得（ ）
A．B．C．D．
6．下列由三条线段构成的三角形：①如果；②；③如果；④（为大于1的整数），其中能构成直角三角形的是（ ）
A．①④B．①②④C．②③④D．①②③
二、填空题
7．函数中，自变量x的取值范围是 ．
8．“如果，那么”的逆命题是 ．
9．用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则∠2的度数为 ．

10．定义新运算：，其中，，，为实数．例如：．如果，那么 ．
11．如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，则的值是 ．

12．如图，在平面直角坐标系中，分别平行于轴、轴的两直线、相交于点．连接，若在直线上存在点，使是以为腰的等腰三角形．请写出所有满足条件的点的坐标是 ．
三、解答题
13．（1）计算：；
（2）解方程组：．
14．已知的平方根是，的算术平方根是1，c是的整数部分．
(1)求a，b，c的值；
(2)求的立方根．
15．先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a-2b）+2a（b-a），其中a＝-，b＝+．
16．请仅用无刻度直尺在规定的网格中完成以下作图(保留作图痕迹)．
(1)在图1中直接画出一次函数的图象，标出直线与轴交点A和与轴交点B：
(2)在图2中画出；使得的面积是图1中面积的3倍，且点C在轴上．
17．在△ABC中，D是BC上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求△ABC的面积．
18．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚．问兽、鸟各有多少？
根据译文，解决下列问题：
(1)设兽有x个，鸟有y只，可列方程组为 ；
(2)求兽、鸟各有多少．
19．已知，直线经过点和点，点C在线段上，将沿折叠后，点O恰好落在边上点D处．
(1)求直线的表达式；
(2)求的面积．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
21．某地旅游部门为了促进本地生态特色城镇和新农村建设，将甲、乙、丙三家民宿的相关资料放到某网络平台上进行推广宣传，该平台邀请部分曾在这三家民宿体验过的游客参与调查，得到了这三家民宿的“综合满意度”评分，评分越高表明游客体验越好，现从这三家民宿“综合满意度”的评分中各随机抽取10个评分数据，并对所得数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．甲、乙两家民宿“综合满意度”评分的折线图：
b．丙家民宿“综合满意度”评分：
c．甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的平均数、中位数：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表中的值是__________，的值是__________；
(2)设甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的方差分别是，直接写出之间的大小关系；
(3)根据“综合满意度”的评分情况，该平台打算将甲、乙、丙三家民宿中的一家置顶推荐，你认为该平台会将这三家民宿中的哪家置顶推荐？说明理由（至少从两个方面说明）．
22．在平面直角坐标系中，点，，若，则称点与点互为“等差点”，例如：点，点，因为，所以点与点互为“等差点”．
(1)若点的坐标是，则在点，，中，点的“等差点”为点______ ；
(2)若点的坐标是的“等差点”在坐标轴上，求点的坐标；
(3)若点的坐标是与点互为“等差点”，且、互为相反数，求点的坐标．
23．综合探究：
“在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积”．
小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法．

(1)直接写出图1中的面积是______；
(2)若的边长分别为、、（，，且），试运用构图法在图2中画出相应的，并求出的面积．
(3)拓展应用：求代数式：的最小值．
甲
乙
丙
平均数
中位数
参考答案：
1．C
【分析】根据众数和中位数的概念求解．
【详解】解：将数据重新排列为2，2，3，4，5，
所以这组数据的众数为2，中位数3，
故选C．
【点睛】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
2．B
【分析】根据两直线平行，同位角相等，得到，利用三角形内角和定理计算即可．
【详解】∵，，
∴，
∵，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线性质是解题的关键．
3．A
【分析】方程组的解即为直线和直线相交于点的横、纵坐标．
【详解】解：∵直线和直线相交于点，
∴方程组的解是．
故选：A
【点睛】本题考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
4．B
【分析】根据，得出，判断选项中的点所在的象限，即可得出答案．
【详解】∵
∴
选项Ａ：在第一象限
选项Ｂ：在第二象限
选项Ｃ：在第三象限
选项Ｄ：在第四象限
小手盖住的点位于第二象限
故选：B
【点睛】本题考查了点的象限的判断，熟练进行正负的判断是解题的关键．
5．A
【分析】设木长尺，绳长尺，根据用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，列出二元一次方程组，即可求解．
【详解】设木长尺，绳长尺，根据题意列方程组得
故选：A．
【点睛】本题考查了列二元一次方程组，根据题意列出方程组是解题的关键．
6．B
【分析】判断一组数能否成为直角三角形：①是否有一个角是直角；②是否满足两较小边的平方和等于最大边的平方．将题目中的各题一一作出判断即可．
解题的关键是熟知直角三角形的判断方法.
【详解】①∵,,
∴,则,故能构成直角三角形，符合题意；
②∵,,
故能构成直角三角形，符合题意；
③∵,
∴最大角,
故不能构成直角三角形，不符合题意；
④∵,且m为大于1的整数,
∴则
∴,则最长边为a
∴
故能构成直角三角形，符合题意；
综上所述,①②④正确.
故选：B
7．x≥-2且x≠1
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可求出结论．
【详解】解：由题意可得
解得x≥-2且x≠1
故答案为：x≥-2且x≠1．
【点睛】此题考查的是求自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解决此题的关键．
8．如果，那么
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，从而得出答案．
【详解】解：“如果，那么”的逆命题是：
“如果，那么”，
故答案为：如果，那么．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是理解题意，掌握逆命题的定义．
9．/度
【分析】如图，先标注点与角，由对折可得：，求解，利用，从而可得答案．
【详解】解：如图，先标注点与角，

由对折可得：，
∴，
∵，
∴；
故答案为：
【点睛】本题考查的是折叠的性质，平行线的性质，熟记两直线平行，同位角相等是解本题的关键．
10．
【分析】根据新定义列出一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵
∴
即
解得：
故答案为：．
【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，根据题意列出方程解题的关键．
11．－1
【分析】如图，过点A作，点C作，垂足分别为G，F，可证，得比例线段，由，得线段长度，，代入比例线段求解．
【详解】如图，过点A作，点C作，垂足分别为G，F

由题意知，，
∴
∴
∵，
∴，
∴
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，直角坐标系内点坐标的含义，添加辅助线构建相似三角形是解题的关键．
12．、 、
【分析】根据题意可得 ，再根据等腰三角形的性质求解即可.
【详解】∵A(3，4)，
∴OB=3，AB=4，
∴
①若AP=OA，则点P的坐标为：(8，4)或(−2，4)，
②若OA=OP，设P的坐标为(x，4)，
则
解得：x=±3，
∴点P的坐标为：(−3，4)；
∴所有满足条件的点P的坐标是：(8，4)或(−2，4)或(−3，4)．
故答案为、 、 ．
【点睛】考查了坐标与图形的性质以及等腰三角形的性质，注意分类讨论，不要漏解．
13．（1）2 ；（2） ．
【分析】（1）先根据乘方的意义、负整数指数幂、绝对值运算，然后合并即可；
（2）利用加减消元法解方程组．
【详解】（1）解：
；
（2）解：．
①＋②，得，
∴．
将代入②，得，
∴．
所以原方程组的解为，
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，以及乘方、负整数指数幂、绝对值运算．熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．(1)，．
(2)
【分析】（1）根据平方根的定义列式求出a的值，再根据算术平方根的定义列式求出b的值，根据45可得c的值；
（2）把a、b、c的值代入所求代数式的值，再根据立方根的定义计算即可．
【详解】（1）解：∵的平方根是，的算术平方根是1，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
（2）∵，，
∴，
∵的立方根是，
∴的立方根是．
【点睛】本题考查了算术平方根与平方根的定义和估算无理数的大小，熟记概念，先判断所给的无理数的近似值是解题的关键．
15．
【分析】直接利用完全平方公式、平方差公式化简，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案．
【详解】解：原式＝
；
a＝-，b＝+，
∴原式
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算与整式的混合运算——化简求值，正确掌握整式的混合运算法则是解题关键．
16．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了画一次函数图象，坐标与图形：
（1）根据一次函数解析式可得A、B坐标，描出A、B，则直线即为所求；
（2），则，根据点P的位置可得，根据网格的特点找到点C的位置即可．
【详解】（1）解；如图所示，直线即为所求；
当时，；当时，
（2）解：如图所示，即为所求．
17．△ABC的面积为84．
【分析】先根据AB=10，BD=6，AD=8，利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形，再利用勾股定理求出CD的长，然后利用三角形面积公式即可得出答案．
【详解】∵BD2+AD2=62+82=102=AB2，
∴△ABD是直角三角形，
∴AD⊥BC，
在Rt△ACD中，CD==15，
∴BC=BD+CD=6+15=21，
∴S△ABC=BC•AD=×21×8=84．
∴△ABC的面积为84．
【点睛】此题主要考查学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形．
18．(1)
(2)兽有8只，鸟有7只．
【分析】（1）根据“兽与鸟共有76个头与46只脚”，即可得出关于x、y的二元一次方程组；
（2）解方程组，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵兽与鸟共有76个头，
∴6x+4y=76；
∵兽与鸟共有46只脚，
∴4x+2y=46．
∴可列方程组为．
故答案为：；
（2）解：原方程组可化简为，
由②可得y=23-2x③，
将③代入①得3x+2（23-2x）=38，
解得x=8，
∴y=23-2x=23-2×8=7．
答：兽有8只，鸟有7只．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
19．(1)
(2)15
【分析】本题考查了求一次函数表达式，勾股定理，折叠的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，以及直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方．
（1）设直线的表达式为，把、代入求出k和b的值，即可得出函数表达式；
（2）根据勾股定理得出 ，由折叠的性质可知，，则，设，根据勾股定理列出方程求出x的值，进而得出，最后根据即可求解．
【详解】（1）解：设直线的表达式为，
把、代入得：
，
解得：，
∴直线的表达式为；
（2）解：∵、
∴，
∴，
∵由沿着折叠所得，
∴，
∴，
设，则，
根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
∴，
∴．
20．(1) 65°；(2) 25°
【分析】（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=90°﹣∠A=50°，由邻补角定义得出∠CBD=130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE=∠CBD=65°；
（2）先根据直角三角形两锐角互余的性质得出∠CEB=90°﹣65°=25°，再根据平行线的性质即可求出∠F=∠CEB=25°．
【详解】（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，
∴∠CBD=130°．
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE=∠CBD=65°；
（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，
∴∠CEB=90°﹣65°=25°．
∵DF∥BE，
∴∠F=∠CEB=25°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余的性质，平行线的性质，邻补角定义，角平分线定义．掌握各定义与性质是解题的关键．
21．(1)，
(2)
(3)推荐乙，理由见解析
【分析】（1）根据折线统计图得出甲家民宿“综合满意度”评分，求得平均数，将丙甲家民宿“综合满意度”评分，重新排序，求得中位数即可求解；
（2）根据数据的波动范围即可求解；
（3）根据平均数与方差两方面分析即可求解．
【详解】（1）解：甲家民宿“综合满意度”评分：
∴，
丙家民宿“综合满意度”评分：
从小到大排列为：
∴中位数
故答案为：，．
（2）根据折线统计图可知，乙的评分数据在分与分之间波动，甲的数据在分和分之间波动，
根据丙的数据可以在至分之间波动，
∴
（3）推荐乙，理由：乙的方差最小，数据稳定，平均分比丙高，
答案不唯一，合理即可．
【点睛】本题考查了折线统计图，求一组数据的平均数，中位数，方差的意义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
22．(1)，
(2)或
(3)
【分析】（1）、（2）读懂新定义，根据新定义解题即可；
（3）根据新定义，列出方程组，求出，，即可求出点坐标．
【详解】（1）解：根据新定义可以得、与点互为“等差点”；
因为点的坐标是，点，则有，所以点与点不是互为“等差点”．
因为点的坐标是，点，则有，所以点与点互为“等差点”．
因为点的坐标是，点，则有，所以点与点互为“等差点”．
故答案为：，；
（2）①当点在轴上时，
设，由题意得，
解得，
．
②当点在轴上时，
设，
由题意得，
解得，
．
综上所述：的“等差点”点的坐标为或．
（3）由题意得，
．
、互为相反数，
，
解得，
，．
，．
【点睛】本题考查了直角坐标系中点的坐标的新定义，解题的关键在于读懂新定义，利用新定义给出的公式，找到规律，解决问题．
23．(1)
(2)图见解析，
(3)5
【分析】（1）分割法求出三角形的面积即可；
（2）易得此三角形的三边分别是直角边长为m，的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个长方形的面积减去三个直角三角形的面积．
（3）将代数式转化为平面直角坐标系中轴上一点到点的距离与到点的距离和的最小值，利用成轴对称的性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：由图可知：的面积是；
故答案为：；
（2）的边长分别为、、（，，且），
∴的三边分别是直角边长为m，的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边，构造三角形如图：

由图可知：的面积是；
（3），可以看成平面直角坐标系中轴上一点到点的距离与到点的距离和的最小值，如图：

设，，，则：，
过点作轴的对称点，则：，，当且仅当，，三点共线时，的值最小，即为的长，
∵，，
∴．
∴的最小值为5．
【点睛】本题考查勾股定理与网格问题，坐标与轴对称．解题的关键是理解并掌握构图法，将代数问题转化为几何问题，利用数形结合的思想进行求解．