2024北京东城区高二上学期期末考试数学含解析

这是一份2024北京东城区高二上学期期末考试数学含解析，共21页。试卷主要包含了 直线的倾斜角为， 设F为抛物线C， 双曲线渐近线方程为， 曲线等内容，欢迎下载使用。

本试卷共6页，满分100分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知空间中直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则（ ）
A. 直线与平面平行B. 直线平面内
C. 直线与平面垂直D. 直线与平面不相交
3. 设F为抛物线C：的焦点，则F到其准线的距离为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
4. 已知是数列的前项和，，则（ ）
A. 1B. 3C. 5D. 8
5. 双曲线渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
6. 线上支付已成为当今社会主要的支付方式，为了解某校学生12月份A，B两种支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，对样本中仅用一种支付方式及支付金额的人数情况统计如下：
从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，两人支付金额均多于500元的概率是（ ）
A. B. C. D.
7. 哈雷彗星大约每76年环绕太阳一周，因英国天文学家哈雷首先测定其轨道数据并成功预言回归时间而得名.已知哈雷是1682年观测到这颗彗星，则人们最有可能观测到这颗彗星的时间为（ ）
A. 2041年～2042年B. 2061年～2062年
C. 2081年～2082年D. 2101年～2102年
8. 在平面直角坐标系中，M，N分别是x，y轴正半轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则该圆半径的最小值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
9. 已知，则“，，，为等比数列”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
10. 曲线：，其中，均为正数，则下列命题错误的是（ ）
A. 当，时，曲线关于中心对称
B. 当，时，曲线是轴对称图形
C. 当，时，曲线所围成的面积小于
D. 当，时，曲线上的点与距离的最小值等于
第二部分（非选择题 共70分）
二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.
11. 直线：的斜率为________；过点且垂直于的直线方程是_________.
12. 如图，已知M是正方体的棱的中点，则直线与所成角的余弦值为_________.
13. 已知圆，则圆心坐标为_________；半径为_________.
14. 2023年10月第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京胜利召开.某校准备进行“一带一路”主题知识竞赛活动.要求每位选手回答A，B两类问题，且至少一类问题的成绩达到优秀才能获奖.已知张华答A，B两类问题成绩达到优秀的概率分别为0.6，0.5，则张华在这次比赛中获奖的概率为__________.
15. 如图，正方形的边长为1，连接各边的中点得到正方形，连接正方形各边的中点得到正方形，依此方法一直进行下去.记为正方形的面积，为正方形的面积，为正方形的面积，…….. 为的前项和.给出下列四个结论：
①存在常数，使得恒成立；②存在正整数，当时，；③存在常数，使得恒成立；④存在正整数，当时，其中所有正确结论序号是_________.
三、解答题共5小题，共50分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，在直三棱柱中，，，D，E分别为，的中点.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
17. 2023年9月23日第19届亚运会开幕式在杭州隆重举行.为调查某地区全体学生收看开幕式情况，采用随机抽样的方式进行问卷调查，统计结果如下：
假定每人只用一种方式观看，且每人观看的方式相互独立、用频率估计概率.
（1）若该地区有10000名学生，试估计该地区观看了亚运会开幕式的学生人数；
（2）从该地区所有学生中随机抽取2人，求这2人都观看了亚运会开幕式的概率；
（3）从该地区所有观看了亚运会开幕式的学生中随机抽取2人，求这2人中至少有1人使用电脑观看了亚运会开幕式的概率.
18. 已知为等差数列的前n项和，为等比数列的前项和，，.
（1）若，求值；
（2）从以下三个条件中选择一个条件作为已知，使得单调递增，求出的通项公式以及.
条件①：；条件②：；条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
19. 已知椭圆：，点，在上.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作与x轴不垂直的直线，与椭圆C交于不同的两点A，B，点D与点A关于x轴对称，直线与轴交于点Q，O为坐标原点、若的面积为2，求直线的斜率.
20. 已知各项均为正整数的有穷数列：满足，有.若等于中所有不同值的个数，则称数列具有性质P.
（1）判断下列数列是否具有性质P；
①：3，1，7，5；②：2，4，8，16，32.
（2）已知数列：2，4，8，16，32，m具有性质P，求出m的所有可能取值；
（3）若一个数列：具有性质P，则是否存在最小值?若存在，求出这个最小值，并写出一个符合条件的数列；若不存在，请说明理由.支付金额（元）
支付方式
大于1000
仅使用A
20人
8人
2人
仅使用B
10人
6人
4人
方式
手机
电脑
电视
未观看
频率
0.5
0.2
0.1
0.2
东城区2023—2024学年度第一学期期末统一检测
高二数学2024.1
本试卷共6页，满分100分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 直线倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．
【详解】由，化简得，
所以直线斜率，又因为直线的倾斜角，
所以，得，故A正确.
故选：A.
2. 已知空间中直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则（ ）
A. 直线与平面平行B. 直线在平面内
C. 直线与平面垂直D. 直线与平面不相交
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量共线即可得是平面的一个法向量求解.
【详解】由， ，可得，所以，故是平面的一个法向量，故直线与平面垂直，
故选：C
3. 设F为抛物线C：的焦点，则F到其准线的距离为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线方程求解出焦点和准线方程，则结果可知.
【详解】因为抛物线方程，所以焦点为，准线为，
所以焦点到准线的距离为，
故选：B.
4. 已知是数列的前项和，，则（ ）
A. 1B. 3C. 5D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】利用及从而可求解.
【详解】由题意知，所以，故C正确.
故选：C.
5. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线渐近线的求法求得正确答案.
【详解】由解得双曲线的渐近线方程为.
故选：A
6. 线上支付已成为当今社会主要的支付方式，为了解某校学生12月份A，B两种支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，对样本中仅用一种支付方式及支付金额的人数情况统计如下：
从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，两人支付金额均多于500元的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据表格数据，分析事件后，再代入古典概型概率公式，即可求解.
【详解】由表格数据可知，仅使用的有30人，其中支付金额多于元的有10人，
仅使用的有20人，其中支付金额多于元的有10人，
则仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，两人支付金额均多于500元的概率.
故选：D
7. 哈雷彗星大约每76年环绕太阳一周，因英国天文学家哈雷首先测定其轨道数据并成功预言回归时间而得名.已知哈雷是1682年观测到这颗彗星，则人们最有可能观测到这颗彗星的时间为（ ）
A. 2041年～2042年B. 2061年～2062年
C. 2081年～2082年D. 2101年～2102年
【答案】B
【解析】
【分析】构造等差数列求出其通项公式，给赋值即可．
【详解】由题意，可将哈雷彗星的回归时间构造成一个首项是1682，公差为76的等差数列，
则等差数列的通项公式为，
，，
可预测哈雷彗星在本世纪回归的年份为2062年．
故选：B．
8. 在平面直角坐标系中，M，N分别是x，y轴正半轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则该圆半径的最小值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】首先确定以为直径的圆过原点，则以原点到直线的距离为直径的圆的半径最小，利用点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】因为是直径，，
所以原点在圆上，
过作垂直直线，垂足为点，
因为圆与直线相切，
所以要使圆的半径最小，此时为圆的直径，
点到直线的距离
所以圆的半径的最小值为1.
故选：B
9. 已知，则“，，，为等比数列”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用等比数列的性质及充分性，必要性知识即可求解.
【详解】充分性：当“，，，为等比数列”时，可得，故充分性满足；
必要性：当“”时，不妨设，，此时“，，，为，，，不等比数列”，故必要性不满足；
所以“，，，为等比数列”是“”的充分不必要条件，故A正确.
故选：A.
10. 曲线：，其中，均为正数，则下列命题错误的是（ ）
A. 当，时，曲线关于中心对称
B. 当，时，曲线是轴对称图形
C. 当，时，曲线所围成的面积小于
D. 当，时，曲线上的点与距离的最小值等于
【答案】C
【解析】
【分析】根据给出的的值，A项从而可判断求解，B项，不难发现其曲线关于对称，从而判断求解；C项利用转化法不难证明曲线上任意一点到原点的距离大于或等于，从而可判断求解；D项结合的取值范围，即可判断求解.
【详解】对A：当，时，，即，由函数为奇函数其关于原点
中心对称，所以得关于中心对称，故A正确.
对B：当，时，，对于曲线上任意一点，
则点关于直线对称点也在曲线上，所以曲线关于直线对称，故B正确.
对C：当，时，，所以，，可知曲线图象是一个封闭的图形，
所以可设曲线上任意一点，且到原点距离，
又因为，所以，
因为，所以，所以当，即或，
而此时，又因为曲线是个封闭图形，所以其面积，故C错误；
对D：当，时，，所以，，设曲线上任意一点，则，
又因为，所以，因为，所以，
所以当，即或时，有最小值，所以的最小值为，故D正确.
故选：C.
【点睛】方法点睛：C项中转化法求出曲线上任一点到原点距离都大于或等于，从而可求解；D项中根据的取值范围从而可求出最小值.
第二部分（非选择题 共70分）
二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.
11. 直线：的斜率为________；过点且垂直于的直线方程是_________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据直线的斜截式方程即可求解斜率，根据垂直的斜率关系，结合点斜式即可求解直线方程.
【详解】直线可化为，故斜率为，
过点且垂直于的直线的斜率为1，故方程为，即
故答案为：，
12. 如图，已知M是正方体的棱的中点，则直线与所成角的余弦值为_________.
【答案】
【解析】
【分析】首先根据异面直线所成角的定义，转化为相交直线所成角，再求解其余弦值.
【详解】因为，所以直线与所成角即为直线与所成角,
即为所求角，，
设正方体棱长为2，点为的中点，所以，,
所以，
所以直线与所成角的余弦值为.
故答案为：
13. 已知圆，则圆心坐标为_________；半径为_________.
【答案】 ①. ②. 1
【解析】
【分析】将圆的方程化简为标准方程，即可求圆心和半径.
【详解】将圆的一般方程，化简为圆的标准方程为
，
即圆的圆心为，半径为1.
故答案为：；
14. 2023年10月第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京胜利召开.某校准备进行“一带一路”主题知识竞赛活动.要求每位选手回答A，B两类问题，且至少一类问题的成绩达到优秀才能获奖.已知张华答A，B两类问题成绩达到优秀的概率分别为0.6，0.5，则张华在这次比赛中获奖的概率为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】由题意知可从反面考虑求出不获奖的概率，从而求解出获奖的概率，即可求解.
【详解】由题意知，当张华不获奖时的概率为，
所以张华获奖的概率为.
故答案为：.
15. 如图，正方形的边长为1，连接各边的中点得到正方形，连接正方形各边的中点得到正方形，依此方法一直进行下去.记为正方形的面积，为正方形的面积，为正方形的面积，…….. 为的前项和.给出下列四个结论：
①存在常数，使得恒成立；②存在正整数，当时，；③存在常数，使得恒成立；④存在正整数，当时，其中所有正确结论的序号是_________.
【答案】①②③
【解析】
【分析】根据题意，正方形边长成等比数列，正方形的面积等于边长的平方，也为等比数列，利用等比数列求和公式，然后逐项判断即可求解.
【详解】记第个正方形的边长为，面积为，
由每个正方形都是由上一个正方形各边中点连接得到，可知第个正方形的边长为，
面积为，
所以，又因为，所以正方形面积构成的数列是首项为，公比为的等比数列，
其通项公式为，
对①：，因为，所以恒成立，故①正确；
对②：当时，即且为正整数，所以存在，故②正确；
对③、④：，又因为，
所以，因此当时，恒成立，故③正确；
因此当时，恒成立，故④错误.
故答案为：①②③.
【点睛】方法点睛：本题主要是找到面积之间为公比为的等比数列，然后利用等比数列的求和公式及恒成立问题即可求解.
三、解答题共5小题，共50分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，在直三棱柱中，，，D，E分别为，的中点.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用法向量与方向向量的关系即可求证，
（2）利用法向量的夹角即可求解.
【小问1详解】
因为是直三棱柱，
所以底面.
因为底面，底面，
所以，.
因为，如图建立空间直角坐标系.
设，则，，，，.
因为D，E分别为，的中点，
所以，.
所以，.
因为底面，所以是平面的一个法向量.
因为，所以.
因为平面，所以平面.
【小问2详解】
因为，，设平面的法向量为，
所以即令，则，.于是.
设平面与平面的夹角为，
所以.
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17. 2023年9月23日第19届亚运会开幕式在杭州隆重举行.为调查某地区全体学生收看开幕式的情况，采用随机抽样的方式进行问卷调查，统计结果如下：
假定每人只用一种方式观看，且每人观看的方式相互独立、用频率估计概率.
（1）若该地区有10000名学生，试估计该地区观看了亚运会开幕式的学生人数；
（2）从该地区所有学生中随机抽取2人，求这2人都观看了亚运会开幕式的概率；
（3）从该地区所有观看了亚运会开幕式的学生中随机抽取2人，求这2人中至少有1人使用电脑观看了亚运会开幕式的概率.
【答案】（1）8000
（2）0.64 （3）
【解析】
【分析】（1）首先求观看了亚运会开幕式的学生的频率，再求学生人数；
（2）根据（1）的结果可知，每个学生观看亚运会开幕式的概率，再利用独立事件概率公式，即可求解；
（3）首先求观看了亚运会开幕式的学生中使用电脑观看的频率，再利用对立事件概率公式，即可求解.
【小问1详解】
因为该地区观看了亚运会开幕式的学生的频率为，
所以该地区观看了亚运会开幕式的学生人数估计为.
【小问2详解】
设事件A：从该地区所有学生中随机抽取1人，该学生观看了亚运会开幕式.由频率估计概率，得.
设事件B：从该地区所有学生中随机抽取2人，这2名学生都观看了亚运会开幕式.由于这两名学生观看亚运会开幕式相互独立，则.
【小问3详解】
设事件C：从该地区所有观看了亚运会开幕式的学生中随机抽取1人，该学生使用电脑观看了开靠式，则.
设事件D：从该地区所有观看了亚运会开幕式的学生中随机抽取2人，至少1人用电脑观看了开幕式，则.
18. 已知为等差数列的前n项和，为等比数列的前项和，，.
（1）若，求的值；
（2）从以下三个条件中选择一个条件作为已知，使得单调递增，求出的通项公式以及.
条件①：；条件②：；条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用等差数列，等比数列的知识及性质，即可求解.
（2）根据所给的三个条件中进行分别计算是否满足题意，从而求解.
【小问1详解】
因为为等比数列，，，
设的公比为，则.
解得.所以.
因为，所以.
因为为等差数列，，所以公差，
所以.
【小问2详解】
若选择条件①
因为为等差数列，为等比数列，，，，
设的公差为，所以，，
所以不是递增数列，故不符题意，所以不能选条件①.
若选择条件②
因为为等差数列，为等比数列，，，，
设的公差为d，的公比为q，
则即
解得或（舍），故条件②符合题意，
所以，.
若选择条件③
因为为等差数列，为等比数列，，，，
所以，设的公差，所以，，
所以不是递增数列，故不符题意，所以不能选条件③.
19. 已知椭圆：，点，在上.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作与x轴不垂直的直线，与椭圆C交于不同的两点A，B，点D与点A关于x轴对称，直线与轴交于点Q，O为坐标原点、若的面积为2，求直线的斜率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将点代入方程，求出系数即可.
（2）用斜率表示关键点的坐标，再解方程求参数即可.
【小问1详解】
由题意得，则椭圆C的方程为，代入，可得.
故椭圆C的方程为
【小问2详解】
第二问图见下
设直线的方程为，.
由得.
由，得.
设，，则.
，.
直线的方程为，
令，得.
所以.
因为，
所以.经检验满足.
所以直线的斜率为.
20. 已知各项均为正整数的有穷数列：满足，有.若等于中所有不同值的个数，则称数列具有性质P.
（1）判断下列数列是否具有性质P；
①：3，1，7，5；②：2，4，8，16，32.
（2）已知数列：2，4，8，16，32，m具有性质P，求出m的所有可能取值；
（3）若一个数列：具有性质P，则是否存在最小值?若存在，求出这个最小值，并写出一个符合条件的数列；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）答案见解析
（2）或
（3）存在，4045；一个满足条件的数列：1，3，5，…，4043，4047，4045
【解析】
【分析】（1）根据数列具有性质的定义进行判断即可求解.
（2）由具有性质，然后利用其性质对分奇偶进行讨论即可求解.
（3）根据具有性质，然后利用其性质分别对，分情况讨论，从而其存在最小值，即可求解.
【小问1详解】
①：3，1，7，5，任意两项和的结果有4，6，8，10，12共5个，而，所以具有性质P.
②：2，4，8，16，32，任意两项和的结果有6，10，12，18，20，24，34，36，40，48共10个，而，所以不具有性质P.
【小问2详解】
对于数列：2，4，8，16，32，m，任意两项和不同的取值最多有15个，所以.而：2，4，8，16，32中任意两项和的结果有10个，且全是偶数.
（i）当为奇数时，都是奇数，与前5项中任意两项和的值均不相同，则：2，4，8，16，32，中所有的值共有15个，所以.
（ii）当为偶数时，都是偶数，所以.
所以.
时，在前项中任两项和结果中未出现，
所以：2，4，8，16，32，中任意两项和的不同值的个数大于，即，矛盾.
时，，，这三个结果在前项中任意两项和的结果中未出现，所以：2，4，8，16，32，中任意两项和的不同值的个数大于，即，矛盾.
时，：2，4，8，16，32，中任意两项和的不同值有6，10，12，16，18，20，22，24，30，34，36，40，46，48共个，成立.
综上，或.
【小问3详解】
存在最小值，且最小值为.
将的项从小到大排列构成新数列：，
所以.
所以的值至少有个.
即的值至少有个，即.
数列：1，3，5，…，4043，4047，4045符合条件.
：1，3，5，…，4043，4047，4045可重排成等差数列：1，3，5，…，4045，4047，
考虑，根据等差数列的性质，
当时，；当时，，
因此每个等于中的一个，
或者等于中的一个.
所以：1，3，5，…，4045，4047中共有4045个不同值.
即：1，3，5，…，4043，4047，4045中共有4045个不同值.
综上，的最小值是4045，一个满足条件的数列：1，3，5，…，4043，4047，4045.
【点睛】方法点睛：对于数列的新定义，可根据数列具有性质，根据其定义中所有不同值的个数作为解题的思路进行分类讨论，从而即可求解.支付金额（元）
支付方式
大于1000
仅使用A
20人
8人
2人
仅使用B
10人
6人
4人
方式
手机
电脑
电视
未观看
频率
0.5
0.2
01
0.2