专题11 反比例函数的核心知识点精讲（讲义）-备战2024年中考数学一轮复习考点全预测（全国通用）

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1.了解反比例函数的概念，以及反比例函数解析式的变形.
2.掌握反比例函数的图象与性质.
3.掌握用待定系数法求反比例函数的解析式.
4.熟悉反比例函数与其他几何图形结合.


【题型1：反比例函数的图像和性质】
【典例1】（2023•武汉）关于反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A．图象位于第二、四象限
B．图象与坐标轴有公共点
C．图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小
D．图象经过点（a，a+2），则a＝1
1.（2023•重庆）反比例函数y＝﹣的图象一定经过的点是（ ）
A．（1，4）B．（﹣1，﹣4）C．（﹣2，2）D．（2，2）
2．（2023•呼和浩特）在同一直角坐标系中，函数y＝﹣kx+k与的大致图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023•济南）已知点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y1＜y3＜y2C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1
【题型2：求反比例函数解析式】
【典例2】（2022•湖北）在反比例函数y＝的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，且整式x2﹣kx+4是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为 ．
1．（2023•青岛）反比例函数y＝的图象经过点A（m，），则反比例函数的表达式为 ．
【答案】见试题解答内容
2．（2022•陕西）已知点A（﹣2，m）在一个反比例函数的图象上，点A'与点A关于y轴对称．若点A'在正比例函数y＝x的图象上，则这个反比例函数的表达式为 ．
故答案为：y＝﹣．
3．（2022•黔东南州）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的斜边BC⊥x轴于点B，直角顶点A在y轴上，双曲线y＝（k≠0）经过AC边的中点D，若BC＝2，则k＝ ．
4．（2022•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，tan∠ABO＝3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图象经过点C的反比例函数的解析式是y＝，则图象经过点D的反比例函数的解析式是 ．
【题型3：反比例函数系数K的几何意义】
【典例3】（2023•连云港）如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，顶点B、C在第一象限，对角线AC∥x轴，交y轴于点D．若矩形OABC的面积是6，cs∠OAC＝，则k＝ ．
1．（2023•锦州）如图，在平面直角坐标系中，△AOC的边OA在y轴上，点C在第一象限内，点B为AC的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过B，C两点．若△AOC的面积是6，则k的值为 ．
2．（2023•黄石）如图，点A（a，） 和B（b，）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，其中a＞b＞0．过点A作AC⊥x轴于点C，则△AOC的面积为 ；若△AOB的面积为，则＝ ．
3．（2023•衢州）如图，点A，B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方形OACD，ABEF，反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交边CD，BE于点P，Q．作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N．若OA＝2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 ．
【题型4：与反比例函数有关的综合题】
【典例4】（2023•广安）如图，一次函数y＝kx+（k为常数，k≠0）的图象与反比例函数y＝（m为常数，m≠0）的图象在第一象限交于点A（1，n），与x轴交于点B（﹣3，0）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）点P在x轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
1．（2023•淄博）如图，直线y＝kx+b与双曲线y＝相交于点A（2，3），B（n，1）．
（1）求双曲线及直线对应的函数表达式；
（2）将直线AB向下平移至CD处，其中点C（﹣2，0），点D在y轴上．连接AD，BD，求△ABD的面积；
（3）请直接写出关于x的不等式kx+b＞的解集．
2．（2023•营口）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB⊥y轴于点B，tan∠AOB＝，AB＝2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点C在这个反比例函数图象上，连接AC并延长交x轴于点D，且∠ADO＝45°，求点C的坐标．
一．选择题（共9小题）
1．若点（﹣1，4）在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）
A．B．（﹣4，﹣1）C．D．（﹣4，1）
2．已知反比例函数y＝﹣，下列结论不正确的是（ ）
A．图象必经过点（﹣1，2）
B．y随x的增大而增大
C．图象在第二、四象限内
D．若x＞1，则﹣2＜y＜0
3．反比例函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣3B．a＞﹣3C．a≤﹣3D．a＜﹣3
4．厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度y（m）是面条横截面面积S（mm2）的反比例函数，其图象经过A（4，30），B（2，b）两点（如图），则下列说法错误的是（ ）
A．y与S之间满足的函数关系式为
B．点B的坐标为（2，60）
C．若面条的总长度为100m，则面条的横截面面积为1.2mm2
D．若面条的横截面面积不超过0.8mm2，则面条的总长度不超过150m
5．函数和y＝﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，AB⊥y轴于点B，函数（k＞0，x＞0）的图象与线段AB交于点C，且AB＝3BC．若△AOB的面积为12，则k的值为（ ）
A．4B．6C．8D．12
7．下列函数中，其图象一定不经过第三象限的是（ ）
A．y＝x2+2x﹣3B．y＝2xC．y＝﹣x+2D．
8．如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A、B两点，其中A点的横坐标为3，当y1＜y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣3或x＞3B．x＜﹣3或0＜x＜3
C．﹣3＜x＜0或0＜x＜3D．﹣3＜x＜0或x＞3
9．如图，点A是反比例函数图象上一点，AC⊥x轴于点C，与反比例函数图象交于点B，AC＝3BC，连接OA，OB，若△OAB的面积为2，则m+n＝（ ）
A．﹣4B．﹣8C．﹣10D．﹣12
二．填空题（共4小题）
10．若反比例函数的图象分布在第一、三象限，则k的取值范围是 ．
11．反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣1），则k的值为 ．
12．反比例函数在第一象限的图象如图，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于点B，交y轴于点C，连接OA、OB，若S△AOB＝2，则k的值为 ．
13．已知近视眼镜的度数D（度）与镜片焦距f（米）成反比例关系，且400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米．小慧原来戴400度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗后，现在只需戴镜片焦距为0.4米的眼镜了，则小慧所戴眼镜的度数降低了 度．
三．解答题（共3小题）
14．已知y是x的反比例函数，当x＝2时，y＝12．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当y＝﹣6时，求x的值．
15．如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为y℃，从加热开始计算的时间为x分钟．据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为4℃，加热一段时间使材料温度达到28℃时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时间x成反比例函数关系，已知第12分钟时，材料温度是14℃．
（1）分别求出该材料加热和停止加热过程中y与x的函数关系式（写出x的取值范围）；
（2）根据该食品制作要求，在材料温度不低于12℃的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？
16．已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（﹣3，2）、B（1，n）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）结合图象直接写出不等式kx+b的解集．
1．反比例函数的图象一定经过点（ ）
A．（3，﹣2）B．（2，﹣3）C．（2，4）D．（3，2）
2．如图，点A是反比例图数图象上一点，AC⊥x轴于点C，与反比例函数y＝图象交于点B，AB＝2BC，连接OA、OB，若△OAB的面积为6，则m+n＝（ ）
A．﹣8B．﹣12C．﹣16D．﹣24
3．如图，在平面直角坐标系中有菱形OABC，点A的坐标为（5，0），对角线OB、AC相交于点D，AD＝OB，双曲线经过AB的中点F，交BC于点E，下列四个结论：
①；
②S菱形OABC＝40；
③E点的坐标是；
④连OF、CF，则S△COF＝10，则正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．如图，函数y＝kx+b（k≠0）与的图象交于点A（﹣2，3），B（1，﹣6）两点，则不等式的解集为（ ）
A．x＞﹣2B．﹣2＜x＜0或x＞1
C．x＞1D．x＜﹣2或0＜x＜1
5．在如图，Rt△AOB中，∠BAO＝90°，∠B＝60°，△AOB的面积为6，AO与x轴负半轴的夹角为30°，双曲线y＝经过点A，则k的值为（ ）
A．B．﹣9C．D．﹣6
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形OABC是边长为3的正方形，反比例函数的图象与BC，AB边分别交于E，D两点，△DOE的面积为4，点P为y轴上一点，则PD+PE的最小值为（ ）
A．3B．C．D．5
7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数的图象交于A（m，1），两点，与x轴、y轴交于点C，D两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若点P是第四象限内反比例函数图象上的一点，△COP的面积是△AOD的面积的2倍，求点P的坐标．
8．如图，已知反比例函数和一次函数y＝2x﹣1交于点A，其中一次函数的图象经过（a，b）、（a+k，b+k+2）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点A的坐标为（1，1），在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？
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1．（2023•上海）下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（ ）
A．y＝6xB．y＝﹣6xC．y＝D．y＝﹣
2．（2023•海南）若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（2，﹣1），则k的值是（ ）
A．2B．﹣2C．D．
3．（2023•永州）已知点M（2，a）在反比例函数的图象上，其中a，k为常数，且k＞0，则点M一定在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4.（2023•浙江）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）均在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1
5．（2023•怀化）已知压力F（N）、压强P（Pa）与受力面积S（m2）之间有如下关系式：F＝PS．当F为定值时，如图中大致表示压强P与受力面积S之间函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022•广西）已知反比例函数y＝（b≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝cx﹣a（c≠0）和二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023•张家界）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上，且AD＝AB，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，连接OD，OM，DM．若△ODM的面积为3，则k的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．（2023•内蒙古）如图，直线y＝ax+b（a≠0）与双曲线y＝（k≠0）交于点A（﹣2，4）和点B（m，﹣2），则不等式0＜ax+b＜的解集是（ ）
A．﹣2＜x＜4B．﹣2＜x＜0
C．x＜﹣2或0＜x＜4D．﹣2＜x＜0或x＞4
9．（2023•绥化）在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，AC平行于x轴，点B，C的横坐标都是3，BC＝2，点D在AC上，且其横坐标为1，若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，D，则k的值是（ ）
A．1B．2C．3D．
10．（2023•广西）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S1，S2，S3，S4，若，则k的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
11．（2023•温州）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了 mL．
12．（2023•徐州）如图，点P在反比例函数的图象上，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA＝PB．一次函数y＝x+1的图象与PB交于点D，若D为PB的中点，则k的值为 ．
知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质
关键点拨与对应举例
1.反比例函数的概念
（1）定义：形如y＝eq \f(k,x)(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．
（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：
①y＝eq \f(k,x)；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)
例：函数y=3xm+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数．
2.反比例函数的图象和性质
k的符号
图象
经过象限
y随x变化的情况
（1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k.
失分点警示
（2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断.
k>0
图象经过第一、三象限
（x、y同号）
每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.
k