2023-2024学年河北省保定市部分地区高三上学期1月期末联考调研数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省保定市部分地区高三上学期1月期末联考调研数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.集合A=xx2+x−6=0，B=2 , 3，则A∩B=
A. ⌀B. 2C. 3D. 2 , 3
2.已知i为虚数单位，且zi=1+i，则z⋅z=( )
A. 1B. 2C. 3D. 2
3.已知m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列结论正确的为
( )
A. α//β，m//α，则m//β
B. m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//β
C. m⊥n，m⊥α，n//β，则α⊥β
D. m⊥α，m//n，α//β，则n⊥β
4.若f(x)=2x+m,x<0nx+1,x>0是奇函数，则
( )
A. m=−1，n=2B. m=1，n=−2
C. m=1，n=2D. m=−1，n=−2
5.已知锐角α的顶点在原点，始边在x轴非负半轴，现将角α的终边绕原点逆时针转π3后，交以原点为圆心的单位圆于点P(−45,y)，则csα的值为
( )
A. 3 3+410B. 4 3+310C. 4 3−310D. 3 3−410
6.已知向量a=(35,45)，b为单位向量，且满足|a+b|=|b−2a|，则向量b在向量a方向的投影向量为
( )
A. (15,15)B. (35,45)C. (310,25)D. (65,85)
7.保定的府河发源于保定市西郊，止于白洋淀藻杂淀，全长26公里.府河作为保定城区主要的河网水系，是城区内主要的排沥河道.府河桥其桥拱曲线形似悬链线，桥型优美，是我市的标志性建筑之一，悬链线函数形式为y=a2(exa+e−xa)，当其中参数a=1时，该函数就是双曲余弦函数csℎx=ex+e−x2，类似地有双曲正弦函数sinℎx=ex−e−x2.若设函数f(x)=sinℎx⋅csℎx，若实数x满足不等式f(3x−4)+f(x2)<0，则x的取值范围为
( )
A. (−4,1)B. (−1,4)C. (−4,−1)D. (1,4)
8.在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)中，F1，F2分别是左，右焦点，P为椭圆上一点(非顶点)，I为△PF1F2内切圆圆心，若S△IF1F2S△PF1F2=13，则椭圆的离心率e为
( )
A. 13B. 12C. 33D. 32
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 从50个个体中随机抽取一个容量为20的样本，则每个个体被抽到的概率为0.4
B. 数据11，19，15，16，19众数是19，中位数是15
C. 数据0，1，5，6，7，11，12，这组数据的第70百分位数为7
D. 对于随机事件A与B，若P(B)= 0.3，P(B|A) = 0.7，则事件A与B独立
10.先将函数f(x)=sinx图象上所有点的横坐标缩小到原来的12，纵坐标不变，再把图象向右平移π12个单位长度，最后把所得图象向上平移一个单位长度，得到函数g(x)的图象，则关于函数g(x)，下列说法正确的是
( )
A. 最小正周期为πB. 在(0,π4)上单调递增
C. x∈(π4,π2)时，g(x)∈(2+ 32,2]D. 其图象关于点(π12,0)对称
11.已知曲线C:mx2+(1−m)y2=1，则以下说法正确的是
( )
A. 若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则0B. 若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则其短轴长取值范围是(2,2 2)
C. 曲线C为椭圆时，离心率为 1−2m1−m
D. 若曲线C为双曲线，则渐近线方程为y=± mm−1x
12.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在四面体S−ABC中，△ABC是直角三角形，∠B为直角，点E，F分别是SB，BC的中点，且AE⊥SC，SA=AB=2，SC=2 6，BC=4，则
( )
A. BC⊥平面SAB
B. 四面体S−ABC是鳖臑
C. E是四面体S−ABC外接球球心
D. 过A、E、F三点的平面截四面体S−ABC的外接球，则截面的面积是14π3
三、填空题：本题共5小题，共30分。
13.已知圆O:x2+y2= 4，过M(1, 3)作圆O的切线l，则直线l的倾斜角为 ．
14.保定某中学举行歌咏比赛，每班抽签选唱5首歌曲中的1首(歌曲可重复被抽取)，则高三1班和高三2班抽到不同歌曲的概率为 ．
15.等差数列{an}前13项和为91，正项等比数列{bn}满足b7=a7，则lg7b1+lg7b2+⋯+lg7b13= ．
16.已知不等式ex−1a≥3ax+2b对任意的实数x恒成立，则ba的最大值为 ．
17.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 3ccsA+asinC= 3b.
(1)求角C的大小;
(2)若∠ACB的角平分线交AB于点D，CD=4，AD=2DB，求a．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题12分)
在菱形ABCD中，AB=2 3，∠BCD=60∘，E，F分别为AB，CD的中点，将菱形ABCD沿BD折起，使AC= AB，M为线段BD中点．
(1)求∠EMF大小;
(2)求直线AC与平面EFM所成角的大小．
19.(本小题12分)
在正项数列{an}中，a1=3，且a1a2⋯an=ann+12．
(1)求证：数列{lgann}是常数列，并求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=an(an−1)(an+1−1)，记数列{bn}的前n项和为Sn，求证：316≤Sn<14．
20.(本小题12分)
已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，准线交y轴于点E，点H(p2,−p)，若△EFH的面积为1，过点H作抛物线C的两条切线切点分别为M，N．
(1)求p的值及直线MN的方程;
(2)点B是抛物线弧MN上一动点，点B处的切线与HM，HN分别交于点C，D，证明：|MC||CH|=|HD||DN|．
21.(本小题12分)
杭州亚运会吉祥物为一组名为“江南忆”的三个吉祥物“宸宸”，“琮琮”，“莲莲”，聚焦共同的文化基因，蕴含独特的城市元素.本次亚运会极大地鼓舞了中国人民参与运动的热情.某体能训练营为了激励参训队员，在训练之余组织了一个“玩骰子赢礼品”的活动，他们来到一处训练场地，恰有20步台阶，现有一枚质地均匀的骰子，游戏规则如下：掷一次骰子，出现3的倍数，则往上爬两步台阶，否则爬一步台阶，再重复以上步骤，当队员到达第7或第8步台阶时，游戏结束.规定：到达第7步台阶，认定失败;到达第8步台阶可赢得一组吉祥物.假设平地记为第0步台阶.记队员到达第n步台阶的概率为Pn(0≤n≤8)，记P0=1．
(1)投掷4次后，队员站在的台阶数为第X阶，求X的分布列;
(2)(ⅰ)求证：数列{Pn−Pn−1}(1≤n≤7)是等比数列;
(ⅱ)求队员赢得吉祥物的概率．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex−12ax2．
(1)若f(x)在(0,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围;
(2)若f(x)有两个极值点分别为x1，x2(x11时，证明：x1+λx2>λ+1．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查集合的交集运算，属于基础题．
化简集合A，再由交集的定义可得结果．
【解答】
解：A=x|x2+x−6=0，所以A={2,−3}，
并且B=2 , 3，
∴A∩B={2}．
故选B．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查复数的运算及共轭复数，属于基础题．
依题意先对原式进行化简，可求得 z ，利用共轭复数的定义可得 z ，再利用复数的运算可求得答案．
【解答】
解：由题意得： z=1+ii=(1+i)ii2=1−i ，则 z=1+i ，
∴z⋅z=(1−i)(1+i)=1−i2=2 ．
选D．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查空间中的线、面位置关系，属于基础题．
利用空间中的线、面位置关系，对选项逐个判断即可．
【解答】
解：A.若α/​/β，m/​/α，则m/​/β或m⊂β，故A错误;
B.若m⊂α，n⊂α，m/​/β，n/​/β，则α/​/β或α与β相交，故B错误;
C.若m⊥n，m⊥α，n/​/β，则α/​/β或α与β相交，故C错误;
D.若m⊥α，m/​/n，则n⊥α，又α/​/β，则n⊥β，故D正确，
故选：D．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了函数的奇偶性，属于基础题．
根据奇函数得f(−x)+f(x)=0，取特殊值即可得出结果．
【解答】
解：∵函数f(x)=2x+m,x<0nx+1,x>0是R上的奇函数，
∴f(1)+f(−1)=0，即n+1+m−2=0①，
f(2)+f(−2)=0，即2n+1+m−4=0②，
由①②解得m=−1，n=2，
经检验，符合题意，
故m=−1，n=2．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查任意角三角函数的定义，同角三角函数基本关系式，诱导公式及两角和与差的三角函数公式，属于基础题．
先得出csα+π3和sinα+π3的值，由展开计算可得结果．
【解答】
解：由题意，csα+π3=−45，
因为α为锐角，
所以，
所以，
则
=−45×12+35× 32=3 3−410．
故选D．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考向量的数量积和投影向量，属于基础题．
求出|a|和a·b，利用投影向量的定义即可求解．
【解答】
解：由向量a=(35,45)，得|a|= 352+452=1，
由|a+b|=|b−2a|，得|a+b|2=|b−2a|2，
化简整理，得a2=2a·b，
则a·b=a22=12，
则向量b在向量a方向的投影向量为a·baaa=12a=(310,25)
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化是解决本题的关键，属于中档题．
先判断函数的奇偶性与单调性，利用函数的性质解不等式即可求解．
【解答】
解：由题意得，f(x)=sinℎx⋅csℎx=e2x−e−2x4，
定义域为R，关于原点对称，
f(−x)=e−2x−e2x4=−e2x−e−2x4=−f(x)，
∴f(x)为奇函数；
f(x)=e2x−e−2x4=e2x−1e2x4=1−2e2x+1在R上为增函数；
∵f(3x−4)+f(x2)<0，
∴f(3x−4)<−f(x2)，即f(3x−4)∴−x2>3x−4，
解得：−4∴x∈(−4,1)．
故选：A．
8.【答案】B
【解析】【分析】
先利用三角形内心的性质，将已知面积关系转化为焦点三角形PF1F2的边长间的关系，再利用椭圆的定义和椭圆离心率定义，即可算得该椭圆的离心率
本题主要考查了椭圆的定义、椭圆的标准方程、椭圆的几何性质，椭圆的离心率的定义及其计算方法，属中档题．
【解答】
解：设△PF1F2的内切圆半径为r，
则由S△IF1F2S△PF1F2=13，得12×F1F2×r12×F1F2+PF1+PF2×r==13
即PF1+PF2=2F1F2
即2a=2×2c
∴椭圆的离心率e=ca=12．
故选：B．
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查简单随机抽样、众数、中位数、百分位数和独立事件的判断，属于基础题．
对选项逐个判断即可．
【解答】
解：对于A、从50个个体中随机抽取一个容量为20的样本，
则每个个体被抽到的概率为2050=0.4，故A正确；
对于B、数据11，19，15，16，19从小到大排序为11，15，16，19，19，
则众数是19，中位数是16，故B错误；
对于C、数据0，1，5，6，7，11，12，
则7×70％=4.9，
则这组数据的第70百分位数为7，故C正确；
对于D、对于随机事件A与B，
若P(B)= 0.3，则P(B)=1−P(B)=0.7，
又P(B|A)=P(AB)P(A)=0.7=P(B)，
则P(AB)=P(A)P(B)，即事件A与B独立，故D正确
10.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查三角函数的图像变换和性质，属于一般题．
求出g(x)的解析式，再对选项逐个判断即可．
【解答】
解：将函数f(x)=sinx图象上所有点的横坐标缩小到原来的12，得到y=sin2x，
再将所得函数图像纵坐标不变，再把图象向右平移π12个单位长度，得到，
最后把所得图象向上平移一个单位长度，得到函数，，
对于A、函数g(x)的最小正周期为2π2=π，故A正确；
对于B、当x∈(0,π4)时，，g(x)递增，故B正确；
对于C、当x∈(π4,π2)时，，，则g(x)∈(32,2]，故C错误；
对于D、因为g(π12)=1，故g(x)的图象关于点(π12,1)对称，故D错误
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查圆锥曲线的基本知识，处理椭圆和双曲线的基本性质的基本方法，属于中档题．
对于A，若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，满足条件为1m>011−m>01m>11−m，解得即可，判断A正确；对于B，求得b2=11−m，由0【解答】
解：对于A，若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则曲线C:mx2+(1−m)y2=1化简为x21m+y211−m=1，满足的条件为1m>011−m>01m>11−m，解得0对于B，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则b2=11−m，由0对于C，若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则离心率为 1−2m1−m，若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则离心率为 2m−1m，故C错误；
对于D，若曲线C为双曲线，则渐近线方程为mx2+(1−m)y2=1，化简为y=± mm−1x，故D正确．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查线面垂直的判定，考查球的截面的面积，属于中档题．
利用线面垂直的判定定理判断A；证明四个面都为直角三角形，判断B；确定球心的位置判断C；求出截面的半径，判断D．
【解答】
解：因为SA=AB=2，E是SB的中点，所以AE⊥SB，
因为AE⊥SC，SB∩SC=S，所以AE⊥平面SBC，
因为BC⊂平面SBC，所以AE⊥BC，
因为△ABC是直角三角形，∠B为直角，所以BC⊥AB，
因为AE∩AB=A，所以BC⊥平面SAB，A正确；
因为∠B为直角，AB=2，BC=4，所以AC=2 5，
因为SA=2，SC=2 6，所以∠A为直角，
因为BC⊥平面SAB，所以BC⊥SB，∠SBC为直角，
所以SB=2 2，
因为SA=AB=2，所以∠SAB为直角，
所以四面体S−ABC是鳖臑，B正确；
由于E是SB的中点，所以ES=EA=EB，
因为∠SBC为直角，所以EB≠EC，所以E不是四面体S−ABC外接球球心，C错误；
取SC的中点O，则OS=OS=OB=OC，即O是四面体S−ABC的外接球的球心，球的半径为 6，
△AEF中，AE= 2,AF=2 2,EF= 6，所以AE2+EF2=AF2，所以AE⊥EF，
所以S△AEF=12× 2× 6= 3，
O到截面的距离等于C到截面的距离，设为ℎ，则13× 3ℎ=13×12×2×2×1，所以ℎ=2 3，
所以截面的半径为 6−(2 3)2= 143，
所以截面的面积是，D正确．
故选：ABD．
13.【答案】56π
【解析】【分析】本题主要考查的是直线与圆的位置关系，倾斜角与斜率关系，过两点的斜率公式，直线垂直关系的判断，属于中档题．
根据条件求出直线OM的斜率，即可得到切线的斜率，从而求得倾斜角．
【解答】解：由题，圆O:x2+y2= 4的圆心为O(0,0)，
则kOM= 3，所以直线l的斜率为− 33，
令直线l的倾斜角为α，则tanα=− 33，解得α=56π．
故答案为56π．
14.【答案】45
【解析】【分析】本题主要考查的是古典概型，排列与排列数，分步乘法计数原理，属于中档题．
根据古典概型直接求解即可．
【解得】解：由题，高三1班和高三2班每班抽签选唱5首歌曲中的1首，共有5×5=25个基本事件，
其中，高三1班和高三2班抽到不同歌曲有4×5=20个基本事件，
故高三1班和高三2班抽到不同歌曲的概率为P=2025=45．
故答案为45．
15.【答案】13
【解析】【分析】本题主要考查的是等比数列的性质，对数运算，等差数列的前n项和，等差数列的性质，属于中档题．
由等差数列前n项和与等差数列的性质可得a7=7，则b7=7，根据等比数列的性质对对数运算，即可求解．
【解答】解：由等差数列{an}前13项和为91，可得S13=13·a1+a132=13×2a72=13a7=91，
所以a7=7，则b7=7，
所以lg7b1+lg7b2+⋯+lg7b13=lg7b1·b2·⋯·b13=lg7b713=lg7713=13．
故答案为13．
16.【答案】−32ln3
【解析】【分析】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性，利用导数研究恒成立问题，利用导数求最值，属于难题．
原不等式转化为ex−1a−3ax−2b≥0，令f(x)=ex−1a−3ax−2b，显然当a>0时，利用导数可得f(x)有最小值fxmin=f1a+ln3a⩾0，则2b⩽3a−3−3aln3a，转化为ba⩽32−32a−32ln3a，令g(a)=32−32a−32ln3a，利用导数求其最值即可得到ba的最大值．
【解答】解：因为不等式ex−1a≥3ax+2b对任意的实数x恒成立，即ex−1a−3ax−2b≥0对任意的实数x恒成立，
令f(x)=ex−1a−3ax−2b，则f′x=ex−1a−3a，
当a⩽0时，f′(x)>0，f(x)在R上单调递增，
当x→−∞时，f(x)→−∞，不满足fx⩾0在R上恒成立，
当a>0时，令f′(x)=0，则x=1a+ln3a，
当x∈−∞,1a+ln3a时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈1a+ln3a,+∞时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
所以fxmin=f1a+ln3a=3a−3−3aln3a−2b⩾0，所以2b⩽3a−3−3aln3a，
则ba⩽32−32a−32ln3a，
令g(a)=32−32a−32ln3a，则g′a=32a2−32a=3−3a2a2，
显然当a∈0,1上单调递增，在a∈1,+∞上单调递减，
所以gxmax=g1=−32ln3，所以ba⩽−32ln3，
即ba的最大值为−32ln3．
故答案为−32ln3．
17.【答案】 解：(1)由 3ccsA+asinC= 3b及正弦定理，可得
3sinCcsA+sinAsinC= 3sinB.
因为sinB=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC，所以sinAsinC= 3sinAcsC.
又sinA>0，所以sinC= 3csC，则tanC= 3，
又C∈(0,π)，所以C=π3；
(2)方法1:∵CD为∠ACB的平分线，AD=2DB，
设点D到BC和AC的距离为d，则S△BCDS△ACD=12BC·d12AC·d=BDAD，即BCAC=BDAD，
∴b=2a，
又∵S△ACD+S△BCD=S△ABC，
∴12×4×b×sinπ6+12×4×a×sinπ6=12×a×b×sinπ3，
则有3a= 32a2，
∴a=2 3或a=0(舍去)，所以a=2 3．
方法2:∵CD为∠ACB的平分线，AD=2DB，由内角平分线性质定理，b=2a，
又∵AD=2DB，∴SΔABC=3SΔBCD，
即122a⋅asinπ3=12a⋅4sinπ6，
∴a=2 3．
方法3:∵CD为∠ACB的平分线，AD=2DB，由内角平分线性质定理，b=2a，
又∵C=π3由余弦定理AB= 3a，
∴B=π2，
又∵AD=2DB，∴BD= 33a，
又∵CD=4∴在RtΔCBD中，a2+a23=16，
∴a=2 3．
方法4:∵CD为∠ACB的平分线，AD=2DB，由内角平分线性质定理，b=2a，
又∵AD=2DB，∴CD=13CA+23CB，
CD2=19CA2+213CA⋅23CB+49CB2，即42=194a2+492a⋅a12+49a2，
解得：∴a=2 3．
方法5:∵CD为∠ACB的平分线，AD=2DB，由内角平分线性质定理，b=2a，
在△ABC中由余弦定理得：12=4a2+a2−c22⋅2a·a ①
又因为∠CDB+∠CDA=π，因此cs∠CDB=−cs∠CDA，
即42+19c2−a22⋅4·13c=−42+49c2−4a22⋅4·23c ②
由 ① ②解得a=2 3．
【解析】【分析】本题主要考查正、余弦定理，三角形的面积公式，属于中档题．
(1)由题意及正弦定理得 3sinCcsA+sinCsinA= 3sinB，再利用两角和公式化简即可得tanC= 3，进而求出结果；
(2)根据CD平分∠ACB，且AD=2DB，利用角平分线定理得到b=2a，
方法1:由S△ACD+S△BCD=S△ABC，可得a=2 3；
方法2:由AD=2DB，SΔABC=3SΔBCD，可得a=2 3；
方法3:由C=π3及余弦定理AB= 3a，B=π2，BD= 33a，又CD=4可得a=2 3；
方法4:∵AD=2DB，CD=13CA+23CB，可得a=2 3；
方法5:cs∠CDB=−cs∠CDA，由余弦定理可得a=2 3．
18.【答案】解：(1)由已知得三棱锥A−BCD为正四面体，棱长为2 3，
又∵E，M，F分别为AB，BD，CD中点
∴EM=MF= 3又∵AF=BF=3∴EF= 6．
∵EM2+MF2=EF2∴EM⊥MF
∴∠EMF=90∘；
(2)∵M为BD中点，∴AM⊥BD，CM⊥BD，
∵AM⋂CM=M，AM、CM⊂平面AMC，
∴BD⊥平面AMC，
∵BD⊂平面BCD，
∴平面AMC⊥平面BCD，平面AMC∩平面BCD=CM，
∴过A作AO⊥CM，AO⊂平面AMC，
则AO⊥平面BCD，
以O为坐标原点，OM所在直线为x轴，过O作CD垂线为y轴，OA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．
B(1,− 3,0)，D(1, 3,0)，C(−2,0,0)，A(0,0,2 2);
EM=12AD=12(1, 3,−2 2)，MF=12BC=12(−3, 3,0)
设平面EMF法向量为n=(x,y,z)，
n⋅EM=0n⋅MF=0得x+ 3y−2 2z=0−3x+ 3y=0
令x=1，则y= 3，z= 2
∴n=(1, 3, 2)
AC=(−2,0,−2 2)
∴sinθ=|cs|=|−2−4| 6− 12= 22
∴AC与平面EMF所成角为45∘
【解析】本题考查直线与平面所成角，属于中档题；
(1)由已知得三棱锥A−BCD为正四面体，计算可得EM2+MF2=EF2即EM⊥MF，故∠EMF=90∘；
(2)以O为坐标原点，OM所在直线为x轴，过O作CD垂线为y轴，OA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．
平面EMF法向量为n=(1, 3, 2)，AC=(−2,0,−2 2)，由sinθ=|cs即可求解
19.【答案】解：(1)∵a1a2·⋯·an−1an=ann+12
∴n≥2时，
a1a2·⋯·an−1=an−1n2
∵an>0，∴相除得an=an n+12an−1 n2，
∴ann−12=an−1n2，
∴(n−1)lgan=nlgan−1，
∴lgann=lgan−1n−1，
又∵lga11=lg3，
即数列{lgann}是常数列，
所以lgan=nlg3=lg3n，所以an=3n；
(2)bn=an(an−1)(an+1−1)
=3n(3n−1)(3n+1−1)
=12(13n−1−13n+1−1)，
Sn=12(131−1−132−1+132−1−133−1+⋯+13n−1−13n+1−1)，
Sn=12(131−1−13n+1−1)<14，
又因为Sn=14−12(13n+1−1)单调递增，
所以Sn≥S1=316，
即316≤Sn<14．
【解析】本题考查了数列的递推关系、数列的通项公式以及裂项相消法，是中档题．
(1)当n≥2时，a1a2·⋯·an−1=an−1n2，与已知相除化简得ann−12=an−1n2，取对数得lgann=lgan−1n−1，可得数列{lgann}是常数列，进而得出an=3n；
(2)易得bn=12(13n−1−13n+1−1)，由裂项相消求和即可得证．
20.【答案】解：(1)S△EFH=12|EF|xH=12p，可得p2=1，所以p=2
即抛物线方程为C:x2=4y，
设切点(x0,x024)，切线斜率为x02，
切线方程为y−x024=12x0(x−x0)，此切线过H(1,−2)
解得x0=−2，或x0=4，得两切点坐标M(−2,1)，N(4,4)
所以直线MN方程为x−2y+4=0；
(2)设切点B(xB,yB)，(−2可得过B点切线为：y−xB24=12xB(x−xB)化简得y=12xBx−xB24
由(1)知M(−2,1)，H(1,−2)点，可得直线HM方程为y=−x−1
联立解得C点横坐标xC=12xB−1
同理由N，H坐标可得直线HN方程y=2x−4，
可得D点横坐标xD=12xB+2，
|MC||CH|=xC+21−xC=12xB+12−12xB，
|HD||DN|=xD−14−xD=12xB+12−12xB，
结论得证
【解析】本题考查抛物线的性质及几何意义，抛物线的概念及标准方程以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题；
(1)S△EFH=12|EF|xH=12p，可得p=2即抛物线方程为C:x2=4y，设切点(x0,x024)，可得切线方程为y−x024=12x0(x−x0)，
此切线过H(1,−2)，即可求解；
(2)设切点B(xB,yB)，(−2可得D点横坐标xD=12xB+2，再由|MC||CH|=xC+21−xC=12xB+12−12xB=|HD||DN|，得证
21.【答案】解：(1)由题意得每轮游戏爬一步台阶的概率为23，爬两步台阶的概率为13，
所以随机变量X可能取值为4，5，6，7，8，
可得P(X=4)=(23)4=1681，
P(X=5)=C41×13×(23)3=3281，
P(X=6)=C42×(13)2×(23)2=2481，
P(X=7)=C43×(13)3×23=881，
P(X=8)=(13 )4=181，
所以X的分布列：
(2)(i)证明：n=1，即爬一步台阶，是第1次掷骰子，
向上点数不是3的倍数概率p1=23，则p1−p0=−13，
到达第n步台阶有两种情况：
①前一轮爬到第n−2步台阶，
又掷骰子是3的倍数得爬两步台阶，其概率为13pn−2，
②前一轮爬到第n−1步台阶，又掷骰子不是3的倍数爬一步台阶，其概率为23pn−1
所以pn=13pn−2+23pn−1(n=2,3,⋯,7)，
所以pn−pn−1=−13(pn−1−pn−2)(n=2,3,⋯,7)，
所以数列{pn−pn−1}(n=1,2,⋯,7)是首项为−13，公比为−13的等比数列，
(ii)因为数列{pn−pn−1}是首项为−13，公比为−13的等比数列，
所以pn−pn−1=(−13)n，
所以p1−p0=−13，p2−p1=(−13)2，⋯，pn−pn−1=(−13)n，
各式相加，得：Pn−p0=−14[1−(−13)n]，
所以pn=34+14(−13)n(n=1,2,⋯,7)，
所以活动参与者得到纪念品的概率为p8=13p6=13×[34+14×(−13)6]=14+14×(13)7=5472187．
【解析】本题考查了离散型随机变量及其分布列、等比数列和相互独立事件同时发生的概率，是较难题．
(1)易得随机变量X可能取值为4，5，6，7，8，得出对应概率，可得X的分布列;
(2)(i)n=1，易得p1−p0=−13，n≥2时pn=13pn−2+23pn−1(n=2,3,⋯,7)，则pn−pn−1=−13(pn−1−pn−2)(n=2,3,⋯,7)，由等比数列的定义即可得证；
(ii)由(i)得pn，活动参与者得到纪念品的概率为为p8=13p6，可得结果．
22.【答案】解：(1)法1:f′(x)≥0得ex−ax≥0(x>0)，
即a≤exx(x>0)设ℎ(x)=exx(x>0)，则ℎ′(x)=(x−1)exx2，
当x∈(0,1)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，
当x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增
所以ℎ(x)≥ℎ(1)=e，所以a≤e，此时f′(x)≥0，f(x)在(0,+∞)上单调递增
故a的取值范围是(−∞,e]．
(1)法2:∵f(x)=ex−ax，(x>0)，
令g(x)=ex−ax，(x>0)
则g′(x)=ex−a，(x>0)
∵x>0，∴当a≤1时，g′(x)≥0，f′(x)在(0,+∞)上单调递增，
f(x)>1，f(x)在(0,+∞)上单调递增，
当a>1时，令g′(x)=0得x=lna，
当x∈(0,lna)时g′(x)≤0，f′(x)单调递减，x∈(lna,+∞)时g′(x)≥0，f(x)单调递增．
若使f(x)在(0,+∞)上单调递增，则f(x)min=f′(lna)=a(1−lna)≥0，则1≤a≤e
综上所述：若f(x)在(0,+∞)上单调递增，则a的取值范围是(−∞,e]．
(2)法1:因为f(x)有两个极值点x1x2，即方程exx=a有两个不同的实数根x1x2
则ex1=ax1，ex2=ax2，
x10)，即x2=x1+t，
ex1+t=a(x1+t)联立ex1=ax1得et=1+tx1
解得x1=tet−1，x2=tet−1+t，要证x1+λx2>λ+1即证tet−1+λ(tet−1+t)>λ+1
即(λt−λ−1)et+λ+t+1>0，即(λt−λ−1)etλ+t+1>−1(∗)，
令g(t)=(λt−λ−1)etλ+t+1，t>0
求导化简可得g′(t)=etλt2+(λ2−1)t(λ+t+1)2=eλλt[t+(λ−12)](λ+t+1)2，
由λ>1，可知λ−1λ>0，即g′(t)>0，所以函数g(t)在(0,+∞)上递增，
得到g(t)>g(0)=−1，即(∗)式成立，所以原不等式成立．
(2)法2:因为f(x)有两个极值点x1x2，即方程exx=a有两个不同的实数根x1，x2
令g(x)=exx，则g′(x)=(x−1)exx2，则
x1<1欲证x1+λx2>λ+1
即证x2−11−x1>1λ
而λ> 1
只需证：x2−11−x1>1
即证x1+x2>2，
由(1)可知：a>e时，函数f′(x)有两个极值点分别为x1，x2，不妨设x1证明：x1+x2>2⇔x2>2−x1>1⇔ex2x2>e2−x12−x1，
由ex1x1=ex2x2，因此即证ex1x1>e2−x12−x1，
构造函数ℎ(x)=exx−e2−x2−x，01．
ℎ′(x)=ex(x−1)x2−−e2−x(2−x)+e2−x(2−x)2=(x−1)(exx2−e2−x(2−x)2)，
令函数u(x)=exx2，(0u′(x)=ex(x−2)x3<0
可得函数u(x)在(0,2)内单调递减，于是函数v(x)=exx2−e2−x(2−x)2在(0,1)内单
调递减．
v(x)≥v(1)=0．∴ℎ′(x)=(x−1)(exx2−e2−x(2−x)2)<0，ℎ(x)在(0,1)内单调递减．
∴ℎ(x)>ℎ(1)=0，
，
因此x1+x2>2成立．
【解析】本题考查函数的基本知识，运用导数处理函数的增减性和不等式的证明的基本方法，属于中档题．
(1)由f′(x)≥0，化简为a≤exx(x>0)，研究ℎ(x)=exx(x>0)单调性，可得a≤e，即可解决；
(2)等价于方程exx=a有两个不同的实数根x1x2
则ex1=ax1，ex2=ax2，解得x1=tet−1，x2=tet−1+t，要证x1+λx2>λ+1即证(λt−λ−1)etλ+t+1>−1，研究g(t)=(λt−λ−1)etλ+t+1的单调性，函数g(t)在(0,+∞)上递增，
得到g(t)>g(0)=−1，即可解决．X
4
5
6
7
8
P
1681
3281
2481
881
181