人教A版（2019）必修二 第六章 平面向量及其应用 章节测试题(含答案)

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人教A版（2019）必修二 第六章 平面向量及其应用 章节测试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知在中,角A,B,C对边分别为a,b,c,且,,则能将全部覆盖的所有圆中,最小的圆的面积为( )A. B. C. D.2．如图,在中,M为线段BC的中点,G为线段AM上一点,,过点G的直线分别交直线AB,AC于P,Q两点,,,则的最小值为( ).A. B. C.3 D.93．已知向量,满足,,,则向量,夹角的大小等于( )A.30° B.45° C.60° D.120°4．已知向量,,若与共线,则实数( )A. B.5 C. D.15．已知向量，满足，且，则的值为( )A.2 B. C.1 D.6．已知向量,,,,的夹角为,若存在实数m使得,则m的取值范围是( )A. B. C. D.7．如图,在平行四边形ABCD中,,,若,则( )A. B. C. D.08．已知向量与单位向量所成的角为,且满足对任意的,恒有,则的最小值为( )A. B. C. D.二、多项选择题9．如图，已知点O为正六边形ABCDEF的中心，下列结论中正确的有( )A. B.C. D.10．已知在等腰直角三角形ABC中，，的面积为1，则下列结论正确的是( )A. B. C. D.11．已知O为的外心,且.若向量在向量上的投影向量为,则的值可能为( )A. B. C. D.12．已知非零单位向量和,若,向量在向量上的投影向量为,向量在向量上的投影向量为,则下列结论正确的是( )A. B. C. D.三、填空题13．设向量,为单位正交基底,若,,且,则_________．14．已知向量,,若向量与向量平行,则实数___________.四、双空题15．已知的垂心为点D,面积为15,且,则_________;若,则______________.16．如图，在四边形中，，，，且，，则实数的值为_________，若M，N是线段上的动点，且，则的最小值为_________.五、解答题17．如图,在中,,,P为CD上一点,且满足,若的面积为.(1)求m的值;(2)求的最小值.18．如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度，一艘船从点A出发航行到河对岸，船航行速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为.（1）当多大时，船能垂直到达对岸？（2）当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最短？为什么？19．一个人在静水中游泳时，速度的大小为.当他在水流速度的大小为的河中游泳时.（1）如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进（角度精确到1°）？实际前进速度的大小为多少？（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进（角度精确到1°）？实际前进速度的大小为多少？20．如图，在中，D是边OB的中点，C是边OA上靠近点O的一个三等分点，AD与BC交于点M.设，.（1）用a，b表示；（2）过点M的直线与边OA，OB分别交于点E，F.设，，求的值.21．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求A；（2）若，证明：是直角三角形.22．如图,在四边形ABCD中,,,,且,.（1）求实数的值;（2）若M,N是线段BC上的动点,且,求的最小值.参考答案1．答案：B解析：由,则,又,由正弦定理得,由余弦定理得,又,则设的外接圆半径为R,由正弦定理得,故,所以能将全部覆盖的所有圆中,最小的圆即的外接圆,其面积为.故选:B.2．答案：B解析：因为M为线段BC的中点,所以,又因为,所以,又,,所以,又P,G,Q三点共线,所以,即,所以,当且仅当,即,时取等号.故选:B3．答案：B解析：因为,,,所以,即,所以所以,因为,所以故选：B.4．答案：B解析：由题意,解得.故选：B.5．答案：B解析：，在等式两边平方并化简得，，故选B.6．答案：C解析:,则,,则,故,,由题意可知,.故选:C.7．答案：D解析：平行四边形ABCD中,,,所以,若,则,则．故选：D．8．答案：C解析：已知向量与单位向量所成的角为,,,又对任意的,恒有,即,对任意的恒成立,即,且,即,,的最小值为,故选：C.9．答案：BC解析：A选项，，故A错误；B选项，，，由正六边形的性质知，，故B正确；C选项，设正六边形的边长为1，则，，，式子显然成立，故C正确；D选项，设正六边形的边长为1，，，故D错误.故选BC.10．答案：ABD解析：在等腰直角三角形ABC中，，的面积为1，则，解得，则.易知，选项A正确；，选项B正确；，选项C不正确；向量在上投影的数量为，即，选项D正确.故选ABD.11．答案：BCD解析：因为,所以,即,又因为为的外心,则,所以,,,则,即,且O为斜边BC的中点,过A作BC的垂线AQ,垂足为Q.因为在上的投影向量为,所以在上的投影向量为.当时,点Q与点O重合,则,,;当时,如图1,;当时,如图2,.所以,因为,所以当时,取得最小值,且最小值为.当时,,当时,.故的取值范围是.故选:BCD12．答案：ACD解析:,,对选项A:,正确;对选项B:,,不共线,错误;对选项C:,正确;对选项D:,正确.选:ACD.13．答案：2解析：因为向量,为单位正交基底,,,所以,即所以,即故答案为：2.14．答案：或解析：由题可得,因为向量与向量平行,所以,解得.故答案为:15．答案：30,5解析：如图AH是的BC边上的高,则,设,因为, 面积为15 ,所以,即,，由第一空可知,所以,所以,由,可得,即,因为,所以，故答案为:30;5.16．答案：；解析：，，，，解得，以点B为坐标原点，所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系，，，，，A的坐标为，又，则，设，则(其中)，，，，所以，当时，取得最小值.故答案为：；.17．答案：(1)(2)当,时取得等号解析：(1)建立如图所示直角坐标系,设,,则,,由得,故,由得,所以,因为C,P,D三点共线,所以,所以,解得.(2)由(1)得,因为,所以,所以,所以,当且仅当,时取得等号.18．答案：（1）（2）不是最短，理由见解析解析：（1）船垂直到达对岸，即与垂直，即，所以，即，所以，解得.（2）设船航行到对岸所需的时间为t，则.故当时，船的航行时间最短，而当船垂直到达对岸时，由（1）知，并不是最短.19．答案：（1）沿与水流方向成的方向前进，实际前进速度为（2）沿与河岸夹角的余弦值为的方向逆着水流方向前进，实际前进速度为解析：（1）如图（1），设人游泳的速度为，水流的速度为，以OA，OB为邻边作，则此人的实际速度为.在中，，所以.实际前进的速度，故此人沿与水流方向成的方向前进，实际前进速度为.（2）如图（2），设此人的实际速度为，水流速度为，则游速为.在中，，，所以.，故此人应沿与河岸夹角的余弦值为的方向逆着水流方向前进，实际前进速度为.20、（1）答案：解析：设，则，，A，M，D三点共线，，共线，从而.①又C，M，B三点共线，，共线，同理可得.②联立①②，解得，故.（2）答案：5解析：，，，共线，，整理得.21、（1）答案：解析：因为，所以，即，解得.又，所以.（2）答案：见解析解析：由（1）知，，即.①又，②所以将②代人①得，，整理可得，解得或.又因为，所以，所以，故，所以是直角三角形.22．答案：（1）;（2）.解析：（1）, ,, ,,.（2）过A作,垂足为O,则,,,以O为原点,以BC,OA所在直线为坐标轴建立平面坐标系如图所示：则,设,,,,,,当时,取得最小值.