人教A版（2019）选择性必修三 第六章 计数原理 章节测试题(含答案)

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人教A版（2019）选择性必修三 第六章 计数原理 章节测试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．计算的值是( )A.252 B.70 C.56 D.212．若,则( )A.27 B. C.54 D.3．某停车场行两排空车位,每排4个,现有甲、乙、丙、丁4辆车需要泊车,若每排都有车辆停泊,且甲、乙两车停泊在同一排,则不同的停车方案有( )A.288种 B.336种 C.384种 D.672种4．现安排甲,乙,丙,丁,戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译,导游,礼仪,司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加.甲,乙不会开车但能从事其他三项工作,丙丁戊都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是( )A.152 B.126 C.90 D.545．A,B,C,D,E五人站成一排,如果A,B必须相邻,那么排法种数共有( )A.24 B.120 C.48 D.606．如图,一个地区分为5个行政区域,现给地图涂色,要求相邻区域不得使用同一颜色.现有5种颜色可供选择,则不同的涂色方法的有_____种( )A.540 B.360 C.300 D.4207．2023年5月21日,中国羽毛球队在2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛决赛中以总比分战胜韩国队,实现苏迪曼杯三连冠.甲、乙、丙、丁、戊五名球迷赛后在现场合影留念,其中甲、乙均不能站左端,且甲、丙必须相邻,则不同的站法共有( )A.18种 B.24种 C.30种 D.36种8．某公园有如图所示A至H共8个座位,现有2个男孩2个女孩要坐下休息,要求相同性别的孩子不坐在同一行也不坐在同一列,则不同的坐法总数为( )A.168 B.336 C.338 D.84二、多项选择题9．我校111周年校庆将于2023年5.20进行,为了宣传需要,现在对我校3男3女共6名学生排队照相,则下列说法正确的是( )A.6名学生排成两排,女生在第一排,男生在第二排,一共有720种不同的排法B.6名学生排成一排,男生甲只能排在队伍的两端的共有120种排法C.6名学生排成一排,男生甲,乙相邻的排法总数为240种D.6名学生排成一排,男女生相间排法总数为72种10．甲学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门课程中选三门作为选考科目，则下列说法正确的有( )A.若任意选择三门课程，则有种选法B.若物理和化学至少选一门，则有种选法C.若物理和历史不能同时选，则有种选法D.若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，则有种选法11．下列等式中,正确的是( )A. B. C. D.12．某医院派出甲,乙,丙,丁4名医生到A,B,C三家企业开展“面对面”义诊活动,每名医生只能到一家企业工作,每家企业至少派1名医生,则下列结论正确的是( )A.所有不同分派方案共种B.所有不同分派方案共36种C.若甲必须到A企业,则所有不同分派方案共12种D.若甲,乙不能安排到同一家企业,则所有不同分派方案共30种三、填空题13．的展开式中,的系数为______.14．某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有__________种（用数字作答）.15．已知,其中,则_______________.16．将2名教师､4名学生分成2组,分别安排到甲､乙两个基地实习,要求每组有1名教师和2名学生,则不同的安排方法有___________种四、解答题17．已知的展开式中第9项,第10项,第11项的二项式系数成等差数列.（1）求n的值;（2）求展开式中x的系数.18．5名师生站成一排照相留念，其中教师1人，男生2人，女生2人.（1）求2名女生相邻而站的概率；（2）求教师不站中间且女生不站两端的概率.19．一个口袋内有3个红球，4个白球.（1）从中任取3个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取4个球，使总分不少于6分的取法有多少种？20．某次文艺晚会上共演出8个节目,其中2个唱歌,3个舞蹈,3个曲艺节目,求分别满足下列条件排节目单的方法种数.（1）一个唱歌节目开头,另一个压台;（2）两个唱歌节目不相邻;（3）两个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻.21．定义：为广义组合数，其中,m是正整数，且.这是组合数(n,m是正整数，且)的一种推广.(1)计算：与；(2)猜想并证明：__________（用的形式表示，其中,m是正整数）.22．现有如下定义：除最高数位上的数字外，其余每一个数字均比其左边的数字大的正整数叫“幸福数”（如3467和1579都是四位“幸福数”）.（1）求四位“幸福数”的个数；（2）如果把所有的四位“幸福数”按照从小到大的顺序排列，求第125个四位“幸福数”.参考答案1．答案：C解析：故选:C.2．答案：B解析：,令可得,令可得,两式相加可得,.故选:B.3．答案：D解析：甲乙两车停泊在同一排,丙、丁两车停泊在同一排时,种方案,丙、丁选一辆与甲、乙停泊在同一排,另一辆单独一排,种方案,所以共有种方案.故选：D.4．答案：B解析：试题分析:根据题意,按甲乙的分工情况不同分两种情况讨论,①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一,②甲乙不同时参加一项工作;分别由排列,组合公式计算其情况数目,进而由分类计数的加法公式,计算可得答案.根据题意,分情况讨论,①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一:C31×A33=18种;②甲乙不同时参加一项工作,进而又分为2种小情况;丙,丁,戊三人中有两人承担同一份工作,有种;甲或乙与丙,丁,戊三人中的一人承担同一份工作:种;由分类计数原理,可得共有种,故选B.考点:排列,组合的实际应用.5．答案：C解析：将A,B看成一体,A,B的排列方法有种方法,然后将A和B当成一个整体与其他三个人一共个元素进行全排列,即不同的排列方式有,根据分步计数原理可知排法种数为,故选:.6．答案：D解析：分两种情况讨论即可：(i)②和④涂同种颜色时,从①开始涂,①有5种涂法,②有4种涂法,④有1种涂法,③有3种涂法,⑤有3种涂法,此时有5×4×1×3×3＝180种涂法;(ii)②和④涂不同种颜色时,从①开始涂,①有5种涂法,②有4种涂法,④有3种涂法,③有2种涂法,⑤有2种涂法,此时有种涂法;总共有种涂色方法.故选：D﹒7．答案：C解析：当丙站在左端时,甲、丙必须相邻,其余人全排列,有种站法;当丙不站在左端时,从丁、戊两人选一人站左边,再将甲、丙捆绑,与余下的两人全排,有种站法,所以一共有种不同的站法.故选：C.8．答案：B解析：第一步：排男生,第一个男生在第一行选一个位置有四个位置可选,第二个男生在第二行有三个位置可选,由于两名男生可以互换,故男生的排法有种,第二步：排女生,若男生选AF,则女生有BE,BG,BH,CE,CH,DE,DG共7种选择,由于女生可以互换,故女生的排法有种,根据分步计数原理,共有种,故选：B.9．答案：CD解析：对于A,女生在第一排则,男生在第二排则,所以共有种不同的排法,故A不正确.对于B,男生甲只能排在队伍的两端的共有,故B不正确;对于C,男生甲,乙相邻,将男生甲,乙捆绑在一起有种不同的排法,再与其他学生全排列,则种不同的排法,所以共有种不同的排法,故C正确;对于D,男女生相间,共有两种情况:男女男女男女,女男女男女男,共有种不同的排法,故D正确.故选:CD.10．答案：AC解析：对于A，从六门课程中选三门，共有种选法，故A正确；对于B，只选择物理、化学中的一门、除物理、化学之外的其他课程中任选两门，有种选法；物理、化学都选，其他课程中任选一门，有种选法.因此，共有种选法，故B错误；对于C，六门课程中任选三门有种选法，物理、历史同时选有种选法，则物理和历史不能同时选有种选法，故C正确；对于D，应分三种情况：①只选物理且物理和历史不同时选，有种选法；②只选化学，不选物理，有种选法；③若物理与化学都选，则有种选法.故共有种选法，故D错误.故选AC.11．答案：ACD解析：A:,正确;B:,错误;C:,正确;D:,正确;故选:ACD12．答案：BCD解析：由题意,所有不同分派方案共种,故A错误,B正确;对于C,若甲必须到A企业,若企业有两人,则将其余三人安排到三家企业,每家企业一人,则不同分派方案有种,若企业只有一人,则不同分派方案有种,所以所有不同分派方案共种,故正确;对于D,若甲,乙安排到同一家企业,则将剩下的两人安排到另外两家企业,每家企业一人,则有种不同的分派方法,所以若甲,乙不能安排到同一家企业,则所有不同分派方案共种,故D正确.故选:BCD.13．答案：30解析： 表示5个因式的乘积,在这5个因式中,有2个因式选y,其余的3个因式中有一个选,剩下的两个因式选,即可得到含的项,故含的项系数是 故答案为：30.14．答案：64解析：解法一：由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有种方案.综上，不同的选课方案共有（种）.解法二：若学生从这8门课中选修2门课，则有（种）选课方案；若学生从这8门课中选修3门课，则有（种）选课方案.综上，不同的选课方案共有（种）.15．答案：5解析：的二项式展开式第项为,令,则,所以,解得.故答案为：5.16．答案：12解析：第一步,为甲地选一名老师,有2种选法;第二步,为甲地选两个学生,有种选法;第三步,为乙地选1名教师和2名学生,有1种选法;故不同的安排方案共有种.故答案为:12.17．答案：（1）14或23（2）当时,的系数为364;当时,的系数为1012.解析：（1）因为的展开式中,第9项,第10项,第11项的二项式系数成等差数列,所以,即,化简可得,解得或.（2）因为的展开式的通项公式为,由（1）知,当时,,取,得到,此时展开式中x的系数为364,当时,,取,得到,此时展开式中x的系数为1012.18、（1）答案：解析：5名师生站成一排照相留念共有种站法.记“2名女生相邻而站”为事件A，将2名女生“捆绑”视为一个整体与其余3个人全排列，有种排法，再将2名女生排序，有种站法，所以共有种不同的站法，则，故2名女生相邻而站的概率为.（2）答案：解析：5名师生站成一排照相留念共有种站法.记“教师不站中间且女生不站两端”为事件B，事件B分两类：①教师站在一端，另一端由男生站，有种站法；②两端全由男生站，教师站除两端和正中间外的2个位置之一，有种站法，所以事件B共包含种站法，则，故教师不站中间且女生不站两端的概率为.19．答案：（1）13（2）22解析：（1）有2种取法：3个红球，2个红球和1个白球.当取3个红球时，取法有1种；当取2个红球和1个白球时，取法有种.根据分类计数原理知，共有种取法.（2）有2种取法：2个红球和2个白球，3个红球和1个白球.当取2个红球和2个白球时，取法有种；当取3个红球和1个白球时，取法有种.根据分类计数原理知，共有种取法.20．答案：（1）1440（2）30240（3）2880解析：（1）种排法.（2）种排法.（3）种排法.21．答案：(1)，(2)，证明见解析解析：（1）所以（2）猜想：时，，猜想成立.时，由得又所以.综上，.22．答案：(1)126(2)5789解析：(1)根据题意, 可知四位“幸福数”中不能有0,故只需在数字 1,2,3,···,9中任取4个,将其从小到大排列, 即可得到一个四位“幸福数”,每种取法对应1个“幸福数”,则四位“幸福数”共有个(2)对于所有的四位“幸福数”,1在最高数位上的有个,2在最高数位上的有个,3在最高数位上的有个,4在最高数位上的有个,5在最高数位上的有 个因为,所以第125个四位“幸福数”是最高数位为 5 的最大的四位“幸福数”,为5789.