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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示优秀达标测试
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示优秀达标测试，文件包含第04讲13空间向量及其运算的坐标表示12类热点题型讲练原卷版docx、第04讲13空间向量及其运算的坐标表示12类热点题型讲练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共64页， 欢迎下载使用。
知识点01：空间向量的正交分解及其坐标表示
1、空间直角坐标系
空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系.
(2)相关概念：叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分．
2、空间向量的坐标表示
2.1空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标．
2.2空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作.
【即学即练1】（2023春·高二课时练习）已知是空间的一个单位正交基底，向量用坐标形式可表示为________．
【答案】
【详解】因为是空间的一个单位正交基底，则有.
所以向量用坐标形式表示为.
故答案为：
知识点02：空间向量运算的坐标表示
设，空间向量的坐标运算法则如下表所示：
知识点03：空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示
1、两个向量的平行与垂直
特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了.
【即学即练2】（2023春·四川成都·高二四川省成都列五中学校考阶段练习）已知两个空间向量，，且，则实数的值为__________．
【答案】
【详解】因为，，且，
所以，即，即，解得.
故答案为：
2、向量长度的坐标计算公式
若，则，即
空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度
3、两个向量夹角的坐标计算公式
设，则
【即学即练3】（2023春·高二课时练习）已知向量，，，，.
(1)求x，y，z的值；
(2)求向量与所成角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵，，， ，
因为，设存在实数，使得，
所以，则.
因为，，则.
∴所以.
（2）由（1）知，，，
∴，，
∴，
，，
∴.
∴向量与所成角的余弦值为.
4、两点间的距离公式
已知，则
题型01空间向量的坐标表示
【典例1】（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）在空间直角坐标系中，已知三点，若点在平面内，则点的坐标可能是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（多选）（2023·全国·高二专题练习）如图，在正三棱柱中，已知的边长为2，三棱柱的高为的中点分别为，以为原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【典例3】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考开学考试）已知点，，点满足，则点的坐标是________.
【变式1】（2023秋·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，，则等于
A．B．C．D．
【变式2】（2023春·高二课时练习）若､，点在线段上，且，则点的坐标是___________.
题型02空间向量的坐标运算
【典例1】（2023春·高二课时练习）已知向量，，，求：
(1)；
(2)；
(3).
【典例2】（2023春·高二课时练习）如图，在长方体中，，，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)写出，，，四点的坐标；
(2)写出向量，，，的坐标．
【变式1】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知，，，若，，三向量共面，则实数等于（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式2】（2023秋·高二课时练习）已知点、，且满足，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
题型03空间向量数量积（坐标形式求空间向量的数量积）
【典例1】（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）若向量，满足条件，则（ ）
A．B．C．1D．2
【典例2】（2023春·高二课时练习）已知向量，．求．
【变式1】（2023秋·广东深圳·高二统考期末）已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023秋·天津·高二统考期末）已知空间向量，，，则（ ）
A．B．C．D．
题型04空间向量数量积（坐标形式求空间向量数量积的最值范围问题）
【典例1】（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）在长方体中，，，，，分别是棱，，上的点，且，，，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（ ）
A．B．17C．D．
【典例2】（2023春·山东烟台·高二山东省烟台第一中学校考开学考试）正四面体的棱长为2，动点在以为直径的球面上，则的最大值为（ ）
A．2B．C．4D．
【典例3】（2023·江苏·高二专题练习）在空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，______．
【变式1】（2023秋·河南郑州·高二郑州市第九中学校考阶段练习）已知空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023秋·上海徐汇·高二南洋中学校考期末）已知是长方体外接球的一条直径，点P在长方体表面上运动，长方体的棱长分别为1、1、，则的取值范围为________.
题型05空间向量的模（坐标形式求空间向量的模（距离，长度））
【典例1】（2023春·江苏南京·高二南京市第五高级中学校考期中）已知向量，，且，那么等于（ ）
A．B．C．D．5
【典例2】（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，在棱上，且，H为的中点．求||.
【典例3】（2023秋·山东日照·高二统考期末）已知，，且，则_____．
【变式1】（2023秋·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）已知，，且，则为______.
题型06空间向量的模（根据空间向量的模求参数）
【典例1】（2023·全国·高二专题练习）已知向量，且，则____________．
题型07空间向量的模（坐标形式求空间向量模的最值（范围）问题）
【典例1】（2022·高二课时练习）已知正方体的棱长为4，点是棱的中点，动点在正方形内（包括边界）运动，且平面，则长度的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（2023·高二课时练习）如图，在直三棱柱中，，，为的中点，点在线段上，点在线段上，求线段长的最小值．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知单位空间向量满足．若空间向量满足，且对于任意实数的最小值是2，则的最小值是_________．
【变式1】（2023春·上海宝山·高二统考期末）已知、是空间互相垂直的单位向量，且，，则的最小值是______.
【变式2】（2023·上海·高三专题练习）已知，，是空间两两垂直的单位向量，，且，则的最小值为________．
【变式3】（2023·江苏·高二专题练习）已知，，则的最小值为__________．
题型08空间向量的夹角问题（坐标形式）
【典例1】（2023秋·山东临沂·高二校考期末）已知空间向量，，且，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023春·江苏·高二南师大二附中校联考阶段练习）若向量，且与夹角的余弦值为，则等于（ ）
A．B．C．或D．2
【典例3】（2023秋·高二课时练习）已知空间三点，，，则与的夹角的大小是________．
【典例4】（2023秋·河南周口·高二统考期末）已知向量
(1)求；
(2)求向量与夹角的余弦值.
【变式1】（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）若向量，，且,的夹角的余弦值为，则实数等于（ ）.
A．0B．C．0或D．0或
【变式2】（2023春·甘肃白银·高二校考阶段练习）在空间直角坐标系中，已知，，则、夹角的余弦值是______．
【变式3】（2023秋·吉林辽源·高二校联考期末）已知向量，.
(1)求的值；
(2)求向量与夹角的余弦值.
题型09空间向量的投影向量（坐标形式）
【典例1】（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）．
A．B．C．D．
【典例2】（2023春·江苏徐州·高二统考期中）已知，，，则向量在上的投影向量的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（2023·全国·高二专题练习）已知，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023秋·广东广州·高二秀全中学校考期末）已知，，则在上的投影向量为（ ）
A．1B．C．D．
题型10空间向量的平行关系（坐标形式）
【典例1】（2023·江苏·高二专题练习）已知，，且，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【典例2】（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）已知两个向量，，且，则的值为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【典例3】（2023·高二单元测试）向量，，，且，，则______.
【变式1】（2023秋·江西宜春·高二校考期末）设，向量，，，且，，则（ ）
A．B．C．4D．3
【变式2】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知向量，，若，则实数（ ）
A．B．C．D．
题型11空间向量的垂直关系（坐标形式）
【典例1】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考开学考试）已知，，且与互相垂直，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习）已知向量．
(1)求；
(2)当时，若向量与垂直，求实数和的值；
(3)若向量与向量共面向量，求的值．
【典例3】（2023春·高二课时练习）已知点、、，，．
(1)若，且，求；
(2)求；
(3)若与垂直，求．
【变式1】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知向量，.
(1)求与的夹角余弦值；
(2)若，求的值.
【变式2】（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）已知向量，，，且．
(1)求实数的值；
(2)若，求实数的值．
题型12易错题型根据空间向量成锐角（钝角）求参数
【典例1】（多选）（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）若向量与的夹角为锐角，则实数的值可能为（ ）.
A．4B．5C．6D．7
【典例2】（2023春·江苏宿迁·高二校考阶段练习）已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______.
【典例3】（2023春·高二课时练习）已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为________．
【变式1】（2023春·高二课时练习）若，，若与的夹角是钝角，则的值的取值范围为__________.
【变式2】（2023春·高二课时练习）若，若与的夹角是锐角，则的值的取值范围为__________.
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023秋·山东滨州·高二统考期末）已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高二专题练习）已知向量，，则（ ）
A．B．40C．6D．36
3．（2023春·江苏扬州·高二统考期中），，，若，，共面，则实数为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高二专题练习）已知在空间单位正交基底下，是空间的一组单位正交基底，是空间的另一组基底.若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·吉林通化·高二梅河口市第五中学校考开学考试）设，向量，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023春·高二课时练习）已知，，与的夹角为120°，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·江苏·高二专题练习）已知长方体中，，若棱上存在点，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全国·高二专题练习）《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.在《九章算术》里，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知在“堑堵”中，，，动点在“堑堵”的侧面上运动，且，则的最大值为（ ）.
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023春·山东临沂·高二统考期末）空间中三点是坐标原点，则（ ）
A．
B．
C．点关于平面对称的点为
D．与夹角的余弦值是
10．（2023·全国·高二专题练习）已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．为钝角D．在方向上的投影向量为
三、填空题
11．（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）已知向量满足，且，则_________，在上的投影向量的坐标为______________．
12．（2023·高三课时练习）已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是___.
四、解答题
13．（2023春·高二课时练习）已知向量，，，且，.
(1)求向量，，；
(2)求向量与向量所成角的余弦值.
14．（2023·江苏·高二专题练习）（1）已知向量.
①计算和
②求.
（2）已知向量.
①若，求实数；
②若，求实数.
B能力提升
1．（2023秋·陕西西安·高二长安一中校考期末）在棱长为2的正方体中，点分别在棱和上，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
2．（2023春·高二课时练习）已知，，则取最小值时的值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·江苏连云港·高二江苏省海头高级中学校考期中）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，，M为PC上一动点，，若∠BMD为钝角，则实数t可能为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·高二课时练习）已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·高二课时练习）已知向量，，，若向量与所成角为钝角，则实数的范围是______.
C综合素养
1．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记，其中．则MN的长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）两个非零向量，，定义．若，，则___________．
3．（2023秋·江西吉安·高二江西省吉水县第二中学校考期末）已知，，点，．
(1)求的值．
(2)在线段AB上，是否存在一点E，使得？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（O为坐标原点）
4．（2023·江苏·高二专题练习）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：如图，在正方体，中，以为坐标原点，建立空间直角坐标系．已知点的坐标为，为棱上的动点，为棱上的动点，______，则是否存在点，，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
课程标准
学习目标
①理解和掌握空间向量的坐标表示及意义
②会用向量的坐标表达空间向量的相关运算
③会求空间向量的夹角、长度以及有关平行、垂直的证明
利用空间向量的坐标表示，将形与数有机结合，并能进行相关的计算与证明是学习空间向量及运算的关键.也是解决空间几何的重要手段与工具.
运算
坐标表示
加法
减法
数乘
数量积
平行（）
垂直（）
（均非零向量）
知识点01：空间向量的正交分解及其坐标表示
1、空间直角坐标系
空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系.
(2)相关概念：叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分．
2、空间向量的坐标表示
2.1空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标．
2.2空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作.
【即学即练1】（2023春·高二课时练习）已知是空间的一个单位正交基底，向量用坐标形式可表示为________．
【答案】
【详解】因为是空间的一个单位正交基底，则有.
所以向量用坐标形式表示为.
故答案为：
知识点02：空间向量运算的坐标表示
设，空间向量的坐标运算法则如下表所示：
知识点03：空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示
1、两个向量的平行与垂直
特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了.
【即学即练2】（2023春·四川成都·高二四川省成都列五中学校考阶段练习）已知两个空间向量，，且，则实数的值为__________．
【答案】
【详解】因为，，且，
所以，即，即，解得.
故答案为：
2、向量长度的坐标计算公式
若，则，即
空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度
3、两个向量夹角的坐标计算公式
设，则
【即学即练3】（2023春·高二课时练习）已知向量，，，，.
(1)求x，y，z的值；
(2)求向量与所成角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵，，， ，
因为，设存在实数，使得，
所以，则.
因为，，则.
∴所以.
（2）由（1）知，，，
∴，，
∴，
，，
∴.
∴向量与所成角的余弦值为.
4、两点间的距离公式
已知，则
题型01空间向量的坐标表示
【典例1】（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）在空间直角坐标系中，已知三点，若点在平面内，则点的坐标可能是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（多选）（2023·全国·高二专题练习）如图，在正三棱柱中，已知的边长为2，三棱柱的高为的中点分别为，以为原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【典例3】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考开学考试）已知点，，点满足，则点的坐标是________.
【变式1】（2023秋·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，，则等于
A．B．C．D．
【变式2】（2023春·高二课时练习）若､，点在线段上，且，则点的坐标是___________.
题型02空间向量的坐标运算
【典例1】（2023春·高二课时练习）已知向量，，，求：
(1)；
(2)；
(3).
【典例2】（2023春·高二课时练习）如图，在长方体中，，，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)写出，，，四点的坐标；
(2)写出向量，，，的坐标．
【变式1】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知，，，若，，三向量共面，则实数等于（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式2】（2023秋·高二课时练习）已知点、，且满足，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
题型03空间向量数量积（坐标形式求空间向量的数量积）
【典例1】（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）若向量，满足条件，则（ ）
A．B．C．1D．2
【典例2】（2023春·高二课时练习）已知向量，．求．
【变式1】（2023秋·广东深圳·高二统考期末）已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023秋·天津·高二统考期末）已知空间向量，，，则（ ）
A．B．C．D．
题型04空间向量数量积（坐标形式求空间向量数量积的最值范围问题）
【典例1】（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）在长方体中，，，，，分别是棱，，上的点，且，，，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（ ）
A．B．17C．D．
【典例2】（2023春·山东烟台·高二山东省烟台第一中学校考开学考试）正四面体的棱长为2，动点在以为直径的球面上，则的最大值为（ ）
A．2B．C．4D．
【典例3】（2023·江苏·高二专题练习）在空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，______．
【变式1】（2023秋·河南郑州·高二郑州市第九中学校考阶段练习）已知空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023秋·上海徐汇·高二南洋中学校考期末）已知是长方体外接球的一条直径，点P在长方体表面上运动，长方体的棱长分别为1、1、，则的取值范围为________.
题型05空间向量的模（坐标形式求空间向量的模（距离，长度））
【典例1】（2023春·江苏南京·高二南京市第五高级中学校考期中）已知向量，，且，那么等于（ ）
A．B．C．D．5
【典例2】（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，在棱上，且，H为的中点．求||.
【典例3】（2023秋·山东日照·高二统考期末）已知，，且，则_____．
【变式1】（2023秋·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）已知，，且，则为______.
题型06空间向量的模（根据空间向量的模求参数）
【典例1】（2023·全国·高二专题练习）已知向量，且，则____________．
题型07空间向量的模（坐标形式求空间向量模的最值（范围）问题）
【典例1】（2022·高二课时练习）已知正方体的棱长为4，点是棱的中点，动点在正方形内（包括边界）运动，且平面，则长度的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（2023·高二课时练习）如图，在直三棱柱中，，，为的中点，点在线段上，点在线段上，求线段长的最小值．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知单位空间向量满足．若空间向量满足，且对于任意实数的最小值是2，则的最小值是_________．
【变式1】（2023春·上海宝山·高二统考期末）已知、是空间互相垂直的单位向量，且，，则的最小值是______.
【变式2】（2023·上海·高三专题练习）已知，，是空间两两垂直的单位向量，，且，则的最小值为________．
【变式3】（2023·江苏·高二专题练习）已知，，则的最小值为__________．
题型08空间向量的夹角问题（坐标形式）
【典例1】（2023秋·山东临沂·高二校考期末）已知空间向量，，且，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023春·江苏·高二南师大二附中校联考阶段练习）若向量，且与夹角的余弦值为，则等于（ ）
A．B．C．或D．2
【典例3】（2023秋·高二课时练习）已知空间三点，，，则与的夹角的大小是________．
【典例4】（2023秋·河南周口·高二统考期末）已知向量
(1)求；
(2)求向量与夹角的余弦值.
【变式1】（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）若向量，，且,的夹角的余弦值为，则实数等于（ ）.
A．0B．C．0或D．0或
【变式2】（2023春·甘肃白银·高二校考阶段练习）在空间直角坐标系中，已知，，则、夹角的余弦值是______．
【变式3】（2023秋·吉林辽源·高二校联考期末）已知向量，.
(1)求的值；
(2)求向量与夹角的余弦值.
题型09空间向量的投影向量（坐标形式）
【典例1】（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）．
A．B．C．D．
【典例2】（2023春·江苏徐州·高二统考期中）已知，，，则向量在上的投影向量的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（2023·全国·高二专题练习）已知，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023秋·广东广州·高二秀全中学校考期末）已知，，则在上的投影向量为（ ）
A．1B．C．D．
题型10空间向量的平行关系（坐标形式）
【典例1】（2023·江苏·高二专题练习）已知，，且，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【典例2】（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）已知两个向量，，且，则的值为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【典例3】（2023·高二单元测试）向量，，，且，，则______.
【变式1】（2023秋·江西宜春·高二校考期末）设，向量，，，且，，则（ ）
A．B．C．4D．3
【变式2】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知向量，，若，则实数（ ）
A．B．C．D．
题型11空间向量的垂直关系（坐标形式）
【典例1】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考开学考试）已知，，且与互相垂直，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习）已知向量．
(1)求；
(2)当时，若向量与垂直，求实数和的值；
(3)若向量与向量共面向量，求的值．
【典例3】（2023春·高二课时练习）已知点、、，，．
(1)若，且，求；
(2)求；
(3)若与垂直，求．
【变式1】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知向量，.
(1)求与的夹角余弦值；
(2)若，求的值.
【变式2】（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）已知向量，，，且．
(1)求实数的值；
(2)若，求实数的值．
题型12易错题型根据空间向量成锐角（钝角）求参数
【典例1】（多选）（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）若向量与的夹角为锐角，则实数的值可能为（ ）.
A．4B．5C．6D．7
【典例2】（2023春·江苏宿迁·高二校考阶段练习）已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______.
【典例3】（2023春·高二课时练习）已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为________．
【变式1】（2023春·高二课时练习）若，，若与的夹角是钝角，则的值的取值范围为__________.
【变式2】（2023春·高二课时练习）若，若与的夹角是锐角，则的值的取值范围为__________.
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023秋·山东滨州·高二统考期末）已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高二专题练习）已知向量，，则（ ）
A．B．40C．6D．36
3．（2023春·江苏扬州·高二统考期中），，，若，，共面，则实数为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高二专题练习）已知在空间单位正交基底下，是空间的一组单位正交基底，是空间的另一组基底.若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·吉林通化·高二梅河口市第五中学校考开学考试）设，向量，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023春·高二课时练习）已知，，与的夹角为120°，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·江苏·高二专题练习）已知长方体中，，若棱上存在点，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全国·高二专题练习）《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.在《九章算术》里，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知在“堑堵”中，，，动点在“堑堵”的侧面上运动，且，则的最大值为（ ）.
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023春·山东临沂·高二统考期末）空间中三点是坐标原点，则（ ）
A．
B．
C．点关于平面对称的点为
D．与夹角的余弦值是
10．（2023·全国·高二专题练习）已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．为钝角D．在方向上的投影向量为
三、填空题
11．（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）已知向量满足，且，则_________，在上的投影向量的坐标为______________．
12．（2023·高三课时练习）已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是___.
四、解答题
13．（2023春·高二课时练习）已知向量，，，且，.
(1)求向量，，；
(2)求向量与向量所成角的余弦值.
14．（2023·江苏·高二专题练习）（1）已知向量.
①计算和
②求.
（2）已知向量.
①若，求实数；
②若，求实数.
B能力提升
1．（2023秋·陕西西安·高二长安一中校考期末）在棱长为2的正方体中，点分别在棱和上，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
2．（2023春·高二课时练习）已知，，则取最小值时的值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·江苏连云港·高二江苏省海头高级中学校考期中）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，，M为PC上一动点，，若∠BMD为钝角，则实数t可能为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·高二课时练习）已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·高二课时练习）已知向量，，，若向量与所成角为钝角，则实数的范围是______.
C综合素养
1．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记，其中．则MN的长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）两个非零向量，，定义．若，，则___________．
3．（2023秋·江西吉安·高二江西省吉水县第二中学校考期末）已知，，点，．
(1)求的值．
(2)在线段AB上，是否存在一点E，使得？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（O为坐标原点）
4．（2023·江苏·高二专题练习）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：如图，在正方体，中，以为坐标原点，建立空间直角坐标系．已知点的坐标为，为棱上的动点，为棱上的动点，______，则是否存在点，，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
课程标准
学习目标
①理解和掌握空间向量的坐标表示及意义
②会用向量的坐标表达空间向量的相关运算
③会求空间向量的夹角、长度以及有关平行、垂直的证明
利用空间向量的坐标表示，将形与数有机结合，并能进行相关的计算与证明是学习空间向量及运算的关键.也是解决空间几何的重要手段与工具.
运算
坐标表示
加法
减法
数乘
数量积
平行（）
垂直（）
（均非零向量）
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