高中2.4 圆的方程精品当堂达标检测题

这是一份高中2.4 圆的方程精品当堂达标检测题，文件包含第11讲第二章直线和圆的方程重点题型章末大总结原卷版docx、第11讲第二章直线和圆的方程重点题型章末大总结解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共80页， 欢迎下载使用。

二、题型精讲
题型01直线的倾斜角和斜率
【典例1】（2023春·上海黄浦·高二上海市敬业中学校考期中）直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意知,若 a = 0 ,则倾斜角为,
若,则,
①当时，(当且仅当时，取“”)，
②当时，(当且仅当时，取“”)，
，故，
综上，，
故选：C.
【典例2】（2023秋·安徽六安·高二六安一中校考期末）已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【详解】
直线恒过定点，且，，由图可知，或.
故选：C.
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）直线的倾斜角的取值范围是_______.
【答案】
【详解】若，则直线方程为，即倾斜角；
若，则直线方程为，即，
∵，∴或，
即或，解得
综上可得.
故答案为：
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）若过点的直线与以点为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】如图所示，设的倾斜角为，的倾斜角为，则所求直线的倾斜角的取值范围为，
易得，，
又因为，所以，
所以所求直线的倾斜角的取值范围为.
故选：A.
.
【变式2】（2023·江苏·高二假期作业）已知点、，若直线过点且总与线段有交点，求直线的斜率的取值范围．
【答案】
【详解】解：设过点且垂直于轴的直线交线段于点，如下图所示：

当直线由位置绕点转动到位置时，的斜率从逐渐变大，
此时，；
当直线由位置绕点转动到位置时，的斜率为负值，且逐渐增大至，
此时，.
综上所述，直线的斜率的取值范围是.
题型02直线方程
【典例1】（2023秋·高二课时练习）过点且在坐标轴上的截距相等的直线一般式方程为__________．
【答案】或
【详解】当直线过原点时，设，过点，则，即；
当直线不过原点时，设，过点，则，即；
综上所述：直线方程为或.
故答案为：或.
【典例2】（2023秋·广西防城港·高二统考期末）已知直线与轴，轴的交点分别为.直线经过点且倾斜角为.
(1)求直线的一般方程；
(2)求线段的中垂线方程.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设直线的斜率为，则
过令，得，所以，
由直线的点斜式方程，代入可得，，
化简得，所以所求的直线方程为.
（2）设线段的中垂线斜率为，线段的中点为，设直线的斜率为，
由直线可得，则，
由垂直关系可知，，解得；
令，得，所以，
由中点坐标公式可知，，即，
由直线的点斜式方程，代入可得，，
化简得，即线段的中垂线方程是.
【典例3】（2023·全国·高三对口高考）过点作直线分别交，的正半轴于，两点．

(1)求面积的最小值及相应的直线的方程；
(2)当取最小值时，求直线的方程；
(3)当取最小值时，求直线的方程．
【答案】(1)，此时直线的方程为．
(2)
(3)
【详解】（1）依题意设，，，
设直线的方程为，代入得，
所以，则，当且仅当，即、时取等号，
从而，当且仅当，即、时取等号，
此时直线的方程为，即，
所以，此时直线的方程为．
（2）由（1）可得，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
此时直线的方程为，即．
（3）依题意直线的斜率存在且，设直线，
令，解得，令，解得，所以，，
则，
当且仅当，即，即时，取最小值，
此时直线的方程为．
【变式1】（2023秋·广东广州·高二校考期末）过点，倾斜角是直线的倾斜角的一半的直线方程为____________．
【答案】
【详解】直线的斜率为，
设过点直线的倾斜角为，则的倾斜角为，所以，
其斜率为，因为 所以,则
故所求直线方程为,即,
故答案为：
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）若过点且互相垂直的两条直线分别与轴、轴交于、两点，则中点的轨迹方程为______.
【答案】
【详解】设，则，连接，
，，即，化简即得.
故答案为：
【变式31】（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）已知、在直线上.
(1)求直线的方程；
(2)若直线倾斜角是直线倾斜角的2倍，且与的交点在轴上，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为、在直线上，
所以，所以直线的方程为，即.
（2）设直线的倾斜角为，则，
所以，
所以直线的斜率，
对于，令得，即直线与轴交于点，
所以直线的方程为.
【变式4】（2023·江苏·高二假期作业）已知的三个顶点分别为．
(1)求边和所在直线的方程；
(2)求边上的中线所在直线的方程．
【答案】(1)边所在直线的方程为，边所在直线的方程为．
(2)中线所在直线的方程
【详解】（1）解：，，直线的截距式方程得：，化简得．
，，由直线的两点式方程，
得方程为，即，
综上所述，边所在直线的方程为，
边所在直线的方程为．
（2）解：设中点，由线段的中点坐标公式，
可得，，中点坐标为．
再由直线的两点式方程，得所在直线的方程为，
化简得，即为所求边上的中线所在的直线的方程．
题型03两直线的平行与垂直
【典例1】（2023秋·河南平顶山·高二统考期末）已知，“直线与平行”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】直线与平行
则，
所以，
解得，
经检验，均符合题意，
故选：C.
【典例2】（2023秋·四川凉山·高二宁南中学校考期末）已知，，直线：，：，且，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．8D．9
【答案】C
【详解】因为，所以，即，
因为，，所以，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为8.
故选：C.
【典例3】（2023春·浙江温州·高二校考阶段练习）“”是“直线：与直线：互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】依题意，，解得或，
所以“”是“直线：与直线：互相垂直”的充分不必要条件.
故选：A
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知直线，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：，则，∴，
所以，
二次函数的抛物线的对称轴为，
当时，取最小值.
故选：A．
【变式2】（2023·上海·高二专题练习）已知直线，，若，则的值是___________.
【答案】
【详解】因为，，，
所以当，即时，，，显然不满足题意；
当，即时，，
由解得或，
当时，，舍去；
当时，，满足题意；
综上：.
故答案为：.
题型04两直线的交点与距离问题
【典例1】（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）已知直线：，直线过点且与直线垂直.
(1)求直线的方程；
(2)直线与直线关于轴对称，求直线，，所围成的三角形的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意知直线：的斜率为，
直线过点且与直线垂直，则，
故直线的方程为，即；
（2）直线与直线关于轴对称，则直线的方程为，
即，

如图示，设直线，，所围成的三角形为,
则,
联立，解得，即,
联立，解得，即,
直线与y轴的交点为，
故直线，，所围成的三角形的面积为.
【典例2】（2023·高二课时练习）已知点，点P在x轴上使最大，求点P的坐标．
【答案】
【详解】点关于x轴的对称点为,如图所示，若点不在直线上则,
连接并延长交x轴于点P，即为最大值．
直线的方程是，
即.
令，得．
则点P的坐标是.
【典例3】（2023·高三课时练习）已知点，且，.
(1)求直线CD的方程；
(2)求点C的坐标，并求四边形ABCD的面积.
【答案】(1)
(2)，四边形ABCD的面积为
【详解】（1）直线的斜率为，
由于，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为.
（2）设，则①，
由于，所以直线的斜率为②，
由①②解得，所以.
，
直线的方程为，
到直线的距离为，
所以三角形的面积为.
，
到直线的距离为，
所以三角形的面积为，
所以四边形的面积为.
【变式1】（2023秋·高二课时练习）求过直线和的交点并且与原点距离为1的直线l的方程．
【答案】直线l的方程为或．
【详解】由，解得，即两直线的交点为.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，显然满足与原点距离为1.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为.
由题意可得，两边平方整理得，即.
即直线l的方程为.
综上，直线l的方程为或.
【变式2】（2023秋·青海西宁·高二校联考期末）已知的三个顶点分别为．求：
(1)边上的中线所在直线的方程；
(2)的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设AC边上的中点为D，则，即，
故AC边上的中线BD所在直线的方程的斜率为，故为：，即．
（2）边AC所在直线的方程为：，
且，
点B到直线AC的距离为：，
故的面积：
【变式3】（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）已知点，，点在轴上，则的取值范围是______.
【答案】
【详解】作点关于轴的对称点，则，
过的中点作交轴于点，当点在点时，
，此时；
当，，三点共线时，，
所以的取值范围是.
故答案为：.

题型05直线中的对称问题
【典例1】（2023秋·吉林白城·高二校考期末）点关于直线的对称点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设点关于直线的对称点的坐标为，
则，解得.
所以点的坐标为
故选：A.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）的顶点，边上的中线所在的直线为，的平分线所在直线方程为，求边所在直线的方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】解：由，得，
所以点的坐标为，
设点关于直线的对称点为，
则，解得，
所以，
因为点在直线上，
所以直线的方程为，即，
设点的坐标为，则的中点坐标为，
所以，解得，
所以点的坐标为，
所以，
所以边所在直线的方程为，即，
故选：B
【典例3】（2023·上海·高二专题练习）一束光从光源射出，经轴反射后（反射点为），射到线段上处．
(1)若，求光从出发，到达点时所走过的路程；
(2)若，求反射光的斜率的取值范围；
(3)若，求光从出发，到达点时所走过的最短路程．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）关于轴的对称点，，
由 ，则此时，
所以光所走过的路程即．
（2）对于线段，令其端点，
则，
所以反射光斜率的取值范围是．
（3）若反射光与直线垂直，则由．
①当，即时，光所走过的最短路程为点到直线的距离，
所以路程．
②当，即时，光所走过的最短路程为线段，其中，
所以．
综上：．
【典例4】（2023秋·江西吉安·高二吉安三中校考期末）已知直线l：3x－y＋3＝0，求：
(1)点P(4,5)关于l的对称点；
(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程；
(3)直线l关于(1,2)的对称直线．
【答案】（1）(－2,7)；（2）7x＋y＋22＝0；（3）3x－y－5＝0.
【详解】(1)设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)，
因为kPP′·kl＝－1，即×3＝－1.（1）
又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，
所以3×＋3＝0. （2）
由（1）（2）得
把x＝4，y＝5代入（3）（4）得x′＝－2，y′＝7，
所以点P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2,7)．
(2)用（3）（4）分别代换x－y－2＝0中的x，y，
得关于l对称的直线方程为，
化简得7x＋y＋22＝0.
(3)在直线l：3x－y＋3＝0上取点M(0,3)，关于(1,2)的对称点M′(x′，y′)，
所以，x′＝2，，y′＝1，所以M′(2,1)．
l关于(1,2)的对称直线平行于l，所以k＝3，
所以对称直线方程为y－1＝3×(x－2)，
即3x－y－5＝0.
【变式1】（2023春·上海杨浦·高一上海市杨浦高级中学校考期末）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】联立，得，
取直线上一点，设点关于直线的对称点为，则，解得：，
直线的斜率，所以直线的方程为，
整理为：.
故选：A
【变式2】（2023·高二课时练习）已知A（3，1），B（-1，2），若的平分线在上，求AC所在的直线方程．
【答案】
【详解】解：设点关于直线对称的点，，
则，解得，即．
所以直线的斜率为.
所以直线的方程为.
直线的方程为．
由得，
解得．
所以直线的斜率为.
所以直线的方程为
直线的方程为．
【变式3】（2023·全国·高三专题练习）已知直线，点．求：
(1)点关于直线的对称点的坐标；
(2)直线关于直线对称的直线的方程；
(3)直线关于点对称的直线的方程．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：因为点，设点关于直线的对称点的坐标为，，
直线，
解得，所以，
（2）解：设直线与直线的交点为，
联立直线与直线，，解得，所以；
在直线上取一点，如，
则关于直线的对称点必在直线上，
设对称点，则，解得，所以，
经过点，所以
所以直线的方程为整理得．
（3）解：设直线关于点对称的直线的点的坐标为，
关于点对称点为，
在直线上，
代入直线方程得：，所以直线的方程为：．
【变式4】（2023·全国·高三专题练习）直线关于直线对称的直线方程是_______．
【答案】
【详解】联立，解得，
即两直线的交点为．
在直线上取一点，
设点P关于直线的对称点为，
则，解得，即．
所以直线MQ的方程为，
即.
故答案为: ．
题型06圆的方程
【典例1】（2023春·河南开封·高二统考期末）已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上．
(1)求圆的标准方程；
(2)求与直线平行且与圆相切的直线方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）的中点为，，所以线段的中垂线方程为，
由垂径定理可知，圆心在线段的垂直平分线上，
所以它的坐标是方程组的解，解之得
所以圆心的坐标是，圆的半径，
所以圆的标准方程是．
（2）设所求直线方程为，圆心到直线的距离，
所以，即，所以所求直线方程为．
【典例2】（2023·江苏·高二假期作业）求经过点和坐标原点，并且圆心在直线上的圆的方程．
【答案】
【详解】法一（待定系数法）：
设圆的标准方程为，
则有，解得，
∴圆的标准方程是．
法二（几何法）：
由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为．
∵弦的垂直平分线过圆心，
∴由，得，
即圆心坐标为，半径r＝＝5．
∴圆的标准方程是．
【典例3】（2023春·河南·高二校联考阶段练习）已知直线过点且与直线垂直，圆的圆心在直线上，且过，两点．
(1)求直线的方程；
(2)求圆的标准方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题设，
代入得，于是的方程为.
（2）设圆心，则，
即，
解得：，
，又圆心，
圆的标准方程为.
【变式1】（2023秋·新疆昌吉·高二校考期末）已知圆C的圆心在直线2x－y－7＝0上，且圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的标准方程为（ ）
A．(x－2)2＋(y－3)2＝5B．(x－2)2＋(y＋3)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋3)2＝5D．(x＋2)2＋(y－3)2＝5
【答案】B
【详解】设圆心，因为，所以，
解得，则半径为，圆心.
即圆C的标准方程为.
故选：B
【变式2】（2023春·安徽·高二校联考开学考试）已知直线过点，且与轴分别交于点，为等腰直角三角形．
(1)求的方程；
(2)设为坐标原点，点在轴负半轴，求过，，三点的圆的一般方程．
【答案】(1)或
(2)
【详解】（1）因为直线过点，所以设直线为，，
令，得，所以
令，得，所以，
又因为为等腰直角三角形，所以，
得，
解或，
当时直线过原点，不满足题意，
故直线的方程为或，
即或.
（2）由题意可知直线的方程为，即，
设圆的方程为，
将，，代入
得，解得，
所以所求圆的方程为.
【变式3】（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）已知圆的圆心在直线上，且圆过点，．
(1)求圆的标准方程；
(2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）解：设圆C的方程为，
已知圆的圆心在直线上，且圆过点，，
则，解得，
即圆C的方程为，
∴圆C的标准方程为．
（2）解：由（1）得圆C的圆心，半径，
设圆的圆心坐标为，∵圆与圆C关于直线对称，
则有，解得，即．
∴圆的标准方程为．
题型07切线和切线长问题
【典例1】（2023秋·云南曲靖·高三校考期末）已知直线经过点，且与圆相切，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】直线经过点，且与圆相切，则,
故直线的方程为，即.
故选：A.
【典例2】（2023春·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习）已知圆，过直线上的动点作圆的切线，切点为，则的最小值是（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【详解】圆，圆心，半径，
设圆心到直线：的距离为，则，
易得，则，
故当圆心到直线上点的距离最小时，即圆心到直线的距离，此时最小，
因为，所以，
故最小值是．
故选：D.
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知为圆C：上任意一点，且点．
（1）求的最大值和最小值．
（2）求的最大值和最小值．
（3）求的最大值和最小值．
【答案】【小问1】最大值为，最小值为
【小问2】最大值为，最小值为
【小问3】最大值为9，最小值为1
【详解】（1）圆C：，如图所示，连接QC交圆C于AB两点，当M与A重合时取得最小值，
即，
与B重合时取得最大值即，故最大值为，最小值为；
（2）易知，由图形知当与圆C相切时取得最值，如图所示.
可设，则C到其距离为，解得，
故最大值为，最小值为
（3）设，如图所示，即过点M的直线的截距，如图所示，当该直线与圆相切时截距取得最值.圆心C到该直线的距离为，所以或9，故最大值为9，最小值为1.
【变式1】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知圆为圆O上位于第一象限的一点，过点M作圆O的切线l．当l的横纵截距相等时，l的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由题意，点在第一象限，故过点M的的切线l斜率存在；
点在圆上，故，即
故直线l的方程为：
令令
当l的横纵截距相等时，
又
解得：
即，即
故选：A
【变式2】（2023春·上海杨浦·高二校考期中）已知圆心在轴上的圆经过两点、．
(1)求此圆的标准方程；
(2)求过点且与此圆相切的直线的一般式方程．
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）解：设圆心的坐标为，由可得，解得，
则圆的半径为，
所以，圆的标准方程为.
（2）解：若直线的斜率不存在，则直线的方程为，
圆心到直线的距离为，此时直线与圆相切，合乎题意；
若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
由题意可得，解得，
此时，直线的方程为，即.
综上所述，直线的方程为或.
【变式3】（2023秋·广东清远·高二统考期末）已知的顶点分别为．
(1)求外接圆的方程；
(2)设P是直线上一动点，过点P作外接圆的一条切线，切点为Q，求最小值及点P的坐标．
【答案】(1)
(2)，
【详解】（1）设外接圆的方程为，
将分别代入圆方程可得，解得，
所以△ABC外接圆的方程为.
（2）外接圆的圆心为,半径；
因为，所以要使最小，只需最小即可，
当时，最小，所以，
所以；
设，则；
解得，
即点P的坐标为.
题型08弦长问题
【典例1】（2023秋·天津红桥·高三统考期末）若直线被圆截得的弦长为4，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由可得，
即圆心，半径，
则圆心到直线的距离，
所以，即，解得，
故选：A
【典例2】（2023·海南·统考模拟预测）已知直线，直线过点且与直线相互垂直，圆，若直线与圆C交于M，N两点，则_________．
【答案】
【详解】由直线，可得斜率，
因为且直线过点，所以直线的斜率为，
所以的方程为，
又由圆，即，
可得圆的圆心坐标为，半径为，
则圆心到直线的距离为，
所以弦长.
故答案为：.
【典例3】（2023·江西·统考模拟预测）已知直线，圆，，直线和圆交于，两点．
(1)当的中点为时，求圆的方程；
(2)已知圆的方程与（1）中所求圆的方程相同，若斜率存在且不为0的直线过点，与圆交于，两点，为轴正半轴上一点，，，且直线与线段相交，求直线的斜率．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）圆即，所以圆心，
当的中点为时，所以，解得，
，，
圆的方程为；
（2）设直线的方程为，、，
联立，消去得，
，，
设，，对恒成立，
，，
，
，
，，
对恒成立，
，解得，
，，
化简得，
解得或，
当时，直线与轴的交点为，不符合题意，
当时，直线与轴的交点为，符合题意，
故直线的斜率为．
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）以点为圆心，3为半径的圆与直线相交于A，B两点，则的取值范围为________.
【答案】
【详解】对于直线l： 有 ，
令 ，解得 ，所以直线l过定点 ，
又当 时， 不存在， 所以直线l不过圆心，
，所以点Q在圆P内，
当是A，B的中点时，最短，又圆的直径为6， .
故答案为： .
【变式2】（2023春·河北邯郸·高三校联考开学考试）若直线与圆相交于A，B两点，当取得最小值时，直线l的斜率为______.
【答案】2
【详解】由题意，得圆C的圆心，半径，直线l过定点，
因为，所以点P在圆C内.
所以当时，取得最小值，此时的斜率，故l的斜率为2.
故答案为：2.
【变式3】（2023春·上海浦东新·高二统考期中）已知圆，点.
(1)求过点P的圆C的切线l的方程；
(2)若直线m过点P且被圆C截得的弦长为8，求直线m的方程.
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）解：当直线斜率不存在时，直线方程为：，
圆心到直线的距离为，不成立；
当直线的斜率存在时：设直线方程为，即，
圆心到直线的距离等于半径为：，
解得，所以直线方程为：，
即；
（2）当直线斜率不存在时，直线方程为：，
圆心到直线的距离为，则直线被截的弦长为，成立；
当直线的斜率存在时：设直线方程为，即，
圆心到直线的距离为：，
直线被截的弦长为，解得，
所以直线方程为：，
即，
综上：直线方程为：或
【变式4】（2023春·河南安阳·高二安阳一中校联考开学考试）已知圆过两点且圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)已知直线被圆截得的弦长为，求实数的值.
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）设，半径为，
所以圆的方程为，
所以
解得
所以圆的方程为.
（2）圆心到直线的距离
由垂径定理得，
解得或.
题型09三角形面积问题
【典例1】（2023秋·高一单元测试）已知圆，M是y轴上的动点，MA、MB分别与圆C相切于A、B两点，
(1)如果点M的坐标为，求直线MA、MB的方程；
(2)求面积的最大值．
【答案】(1)答案见解析；
(2).
【详解】（1）由题意可知显然切线斜率存在，故设过点的圆C的切线方程为，则圆心C到切线距离等于半径1，即或.
则直线MA方程为，MB的方程为.或直线MA方程为，MB的方程为.
（2）设M，因MA、MB分别与圆C相切于A、B两点，
则，则以M为圆心，为半径的圆的方程为：，将其与圆C方程相减得直线AB方程：.则中，AB边上的高，即C到直线AB距离为：，
则由垂径定理，，
则，注意到函数在上单调递增，，则，当且仅当时取等号.
则面积的最大值为.
【典例2】（2023春·江西·高二校联考开学考试）已知圆：，为圆上任意一点，
(1)求中点的轨迹方程.
(2)若经过的直线与的轨迹相交于，在下列条件中选一个，求的面积.
条件①：直线斜率为；②原点到直线的距离为.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）依题意，设，
因为是的中点，，
所以,
将代入圆：，得，化简得，
故的轨迹方程为.
（2）记的轨迹为圆，则，半径为，
选择①：
因为直线斜率为，直线（即直线）经过，
所以直线的方程为，即，
所以点到直线的距离为，
所以，
又点到直线的距离为，
所以.
选择②：
当直线斜率不存在时，由直线（即直线）经过，得直线为，
此时原点到直线的距离为，与原点到的距离为矛盾，舍去；
当直线斜率存在时，设直线为，即，
所以原点到直线的距离为，解得，
所以直线为，即，
此时点到直线的距离为，
所以，
所以.
【典例3】（2023春·上海闵行·高二校考阶段练习）已知直线和的交点为，求：
(1)以点为圆心，且与直线相交所得弦长为12的圆的方程；
(2)直线过点，且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）直线和的交点为，
由，得，即，
点到直线的距离，
设所求圆的半径为，
由垂径定理得弦长，解得，
所以所求圆的方程为；
（2）设过点，且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为的直线的斜率为，则，
所以的方程为，即，
它与两个坐标轴的交点分别为，，
则，解得或，
当时，直线的方程为，
当时，直线的方程为，
综上，直线的方程为或．
【变式1】（2023春·上海杨浦·高一上海市杨浦高级中学校考期末）已知直线.
(1)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(2)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值和此时直线l的方程.
【答案】(1)
(2)4；
【详解】（1）直线可化为，
要使直线不经过第四象限，则,
解得，
∴k的取值范围为；
（2）由题意可得中取得,
取得,
故，
当且仅当时，即时取“=”，
此时S的最小值为4，直线l的方程为﹒
【变式2】（2023春·浙江·高二校联考阶段练习）已知圆经过，，三点，且交直线于，两点.
(1)求圆的标准方程；
(2)求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设圆,
则
∴圆
（2）因为到直线的距离为，
圆心到直线的距离为，
故弦长，
所以.
题型10圆与圆的位置关系
【典例1】（2023秋·高二课时练习）当为何值时，两圆和.
(1)外切；
(2)相交；
(3)外离.
【答案】(1)或
(2)或
(3)或
【详解】（1）设圆，半径为，得，
圆心，.
，半径为，得，圆心，.
圆心距，
因为两圆外切，则，所以，
解得或.
（2）因为两圆相交，则，
即，所以，解得或.
（3）因为两圆外离，则，即 ，
所以，解得或.
【典例2】（2023秋·河北石家庄·高二石家庄二十三中校考期末）在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上．
(1)求圆的方程；
(2)若圆与圆相交于A、B两点，求弦长．
【答案】(1)
(2)4
【详解】（1）曲线与轴的交点为，与轴的交点为,，,．
可知圆心在直线上，故可设该圆的圆心为，
则有，解得，
故圆的半径为，所以圆的方程为；
（2）的方程为．即
圆D：，即
两圆方程相减，得相交弦AB所在直线方程为
圆C的圆心到直线距离为，
所以.
【变式1】（2023春·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期中）已知圆经过，圆.
(1)求圆的标准方程；
(2)若圆与圆相切，求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设圆，因为圆过三点，
则，所以，所以，
即；
（2）圆化为标准方程为，
因为圆与圆的半径相等，故两圆不会内切，只有外切，且，
则有，解得.
【变式2】（2023·高二课时练习）已知圆：与圆：，当m为何值时，
(1)两圆外切；
(2)两圆内含．
【答案】(1)或；
(2)
【详解】（1）方程可化为，
所以圆的圆心坐标为，半径，
方程可化为，
所以圆的圆心坐标为，半径，
因为圆与圆外切，
所以，
所以
所以或；
（2）因为圆与圆内含，
所以，
所以，
所以.
题型11两圆公共线方程和公共弦长
【典例1】（2023秋·湖南张家界·高二统考期末）已知两圆，．
(1)取何值时两圆外切？
(2)当时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
【答案】(1)
(2)两圆的公共弦所在直线的方程为，两圆的公共弦的长为
【详解】（1）因为圆的标准方程为，
所以两圆的圆心分别为，，半径分别为，.
当两圆外切时，圆心距为半径之和，则，结合，
解得；
（2）当时，圆的一般方程为
两圆一般方程相减得：，
所以两圆的公共弦所在直线的方程为
圆圆心到的距离为
故两圆的公共弦的长为．
【典例2】（2023·高二课时练习）已知圆与圆．
(1)求证：圆与圆相交；
(2)求两圆公共弦所在直线的方程；
(3)求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）证明：圆：化为标准方程为，
，
圆的圆心坐标为，半径为，
，
，两圆相交；
（2）解：由圆与圆，
将两圆方程相减，可得，
即两圆公共弦所在直线的方程为；
（3）解：由，解得，
则交点为，，
圆心在直线上，设圆心为，
则，即，解得，
故圆心，半径，
所求圆的方程为．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知圆和动圆交于A，B两点．
（1）若直线过原点，求a；
（2）若直线交轴于Q，当面积最小时，求．
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由圆和动圆，
可得圆心坐标分别为，半径都是，
因为圆和动圆交于A，B两点，
可得圆心距小于半径之和，,即，解得，
又由两圆相减，可得公共弦直线，
因为直线过原点，可得，解得，检验成立，
所以实数的值为.
（2）由直线，
令，即，解得，即
则，
所以当且仅当时取得等号，且满足，
此时直线，
又由圆心到直线距离为，所以弦长为.
【变式1】（2023秋·重庆渝北·高二重庆市两江育才中学校校考期末）已知圆过点，且圆心在直线，圆．
(1)求圆的标准方程；
(2)求圆与圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．
【答案】(1)
(2)直线方程为，公共弦长为
【详解】（1）由题意可设圆心，
则，
解得，
此时圆的半径为，
所以圆的标准方程为：；
（2）将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，
即，
化简得，
所以圆的圆心到直线的距离为，
则，
解得，
所以所求公共弦长为．
所以圆与圆的公共弦所在的直线方程为，公共弦长为
【变式2】（2023春·甘肃兰州·高二校考开学考试）已知两圆C1：x2＋y2﹣2x﹣6y﹣1＝0，C2：x2＋y2﹣10x﹣12y＋45＝0．
(1)求证：圆C1和圆C2相交；
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线方程和公共弦长．
【答案】(1)证明见解析
(2)4x＋3y－23＝0；公共弦长
【详解】（1）圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0的圆心C1（1，3），半径，
C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0的圆C2（5，6），半径，
|C1C2|＝，
∵4－＜|C1C2|＝5＜4＋，
∴圆C1和圆C2相交．
（2）∵两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0，C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0，
∴两圆相减，得圆C1和圆C2的公共弦所在直线方程为：
8x＋6y－46＝0，即4x＋3y－23＝0．
圆心C2（5，6）到直线4x＋3y－23＝0的距离，
∴圆C1和圆C2的公共弦长．
【变式3】（2023秋·江西吉安·高二江西省泰和中学校考期末）已知圆和相交于两点．
(1)求直线的方程，
(2)求弦长
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为圆，圆，
两圆方程相减得 即，
所以直线的方程为.
（2）由圆可得，
所以圆心，半径，
圆心到直线：的距离是，
所以.
【变式4】（2023春·四川达州·高二校考期中）已知两圆.
求：（1）它们的公共弦所在直线的方程；
（2）公共弦长.
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）联立两圆的方程：；
两式相减得：，
所以两圆的公共弦所在直线的方程为．
（2）由题可知，圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
所以公共弦长为：．
题型12与圆有关的最值问题
【典例1】（2023秋·广西河池·高二统考期末）已知圆与圆关于直线对称.
(1)求圆的标准方程；
(2)直线与圆相交于两点，且的外接圆的圆心在内部，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设，则，
解得
所以圆的标准方程为；
（2）因为的外接圆的圆心在内部，
所以是锐角三角形，
又是以为腰的等腰三角形，
，
令到的距离为，则，
，
解得：.

【典例2】（2023春·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，过点且互相垂直的两条直线分别与椭圆交于点，与圆交于点．
(1)若，求的斜率；
(2)记中点为，求面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得，直线的斜率存在，设为，所以，
由，半径知，圆心到的距离为，
所以，解得，
因为与垂直，所以的斜率为．
（2）当直线的斜率不存在时，
直线，与联立可得，，，
此时，与重合，由，可得，且，
所以．
当直线的斜率存在，设，，
所以，即，
所以恒成立，，，
所以，
因为，，所以，
所以，而到的距离为，
所以，
令，则，
所以，
显然，所以由与圆相交得，
故，所以，所以，故，
综上：．
【典例3】（2023秋·福建福州·高二福建省福州第一中学校考期末）已知圆.
(1)设点，过点M作直线l与圆C交于A，B两点，若，求直线l的方程；
(2)设P是直线上一点，过P作圆C的切线PE，PF，切点分别为E，F，求的最小值.
【答案】(1)或；
(2)50.
【详解】（1）圆的圆心，半径，
因为直线l被圆C截得的弦AB长为8，则圆心C到直线l的距离为，
因为点到直线的距离为3，因此直线l的方程可为：，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：，即，
则有，解得，直线l的方程为：，即，
所以直线l的方程为或.
（2）由（1）知，圆心到直线的距离，
依题意，，≌，PC垂直平分弦EF，如图，
四边形面积，
于是
，当且仅当垂直于直线时取等号，
所以的最小值为50.
【变式1】（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）已知圆，直线.
(1)证明：直线和圆恒有两个交点；
(2)若直线和圆交于两点，求的最小值及此时直线的方程.
【答案】(1)证明见解析
(2)最小值为，此时直线方程为
【详解】（1）直线，即，
联立解得所以不论取何值，直线必过定点.
圆，圆心坐标为，半径，
因为，所以点在圆内部，
则直线与圆恒有两个交点.
（2）直线经过圆内定点，圆心，
记圆心到直线的距离为d.
因为，所以当d最大时，取得最小值，
所以当直线时，被圆截得的弦最短，
此时，
因为，所以直线的斜率为，又直线过点，
所以当取得最小值时，直线的方程为，即，
综上：最小值为，此时直线方程为.

【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知圆,,若斜率为的直线l与圆C相交于不同的两点，求的取值范围.
【答案】
【详解】设直线l的方程为，
由题意直线l与圆C相交于不同两点，故，解得﹒
联立，
消去y得，设
则，，

，
由于，∴ ，
故的取值范围是．
题型13轨迹方程
【典例1】（2023春·河南南阳·高二镇平县第一高级中学校考阶段练习）已知圆：．
(1)求圆的圆心坐标及半径；
(2)设直线：
①求证：直线与圆恒相交；
②若直线与圆交于，两点，弦的中点为，求点的轨迹方程，并说明它是什么曲线．
【答案】(1)圆心坐标为，半径长为2
(2)①证明见解析；②的轨迹方程为，它表示以为圆心，以为半径的圆（去除与轴的交点）
【详解】（1）由圆的标准方程知，圆的圆心坐标为，半径长为2．
（2）①证明：直线恒过点，
因为，所以点在圆内部，即直线与圆恒相交．
②解：设，其中，则，，
由垂径定理知，，

所以，即，整理得，
所以点的轨迹方程为，它表示以为圆心，以为半径的圆（去除与轴的交点）．
【典例2】（2023春·上海静安·高二校考期中）已知圆的方程为，过点作直线l交圆于A、B两点．
(1)当直线l的斜率为1时，求弦AB的长；
(2)当直线l的斜率变化时，求动弦AB的中点Q的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)，其中.
【详解】（1）直线l的斜率为1时，此时过P的直线可表示为：，
设圆心到的距离为d,圆的半径为r，则.
由题意可得r=3，，所以.
（2）
如图所示，根据垂径定理，易知AB中点Q与O的连线垂直于AB，即可得Q在以OP为直径的圆上，同时Q应在圆内，即圆弧.
设圆心为C，则，，则Q在上，与联立可得
故Q轨迹方程为，其中.
【典例3】（2023春·上海闵行·高二校考阶段练习）已知圆，直线．
(1)判断直线与圆的位置关系；
(2)设直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程；
(3)设直线与圆相交于，两点，求弦中点的轨迹方程．
【答案】(1)相交
(2)或
(3)
【详解】（1）直线l：，过定点，
圆C的圆心到该点的距离为，所以直线l过圆内一点，直线与圆相交.
（2）设圆心到直线的距离为d，因为，则，
解得，所以，，
直线方程为或.
（3）直线l：，过定点，
设弦AB的中点，则，
所以，即，
所以弦AB的中点的轨迹方程为.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知圆.过原点的动直线与圆相交于不同的两点，求线段AB的中点M的轨迹方程.
【答案】，其中.
【详解】
当直线斜率存在时，设直线，，其中点，
联立方程组，整理得，
则，解得或，
且，则
可得，
消去，可得，其中，
当直线斜率不存在时，线段AB的中点为，符合，
故线段AB的中点M的轨迹方程为，其中.
【变式2】（2023春·湖北·高二宜昌市三峡高级中学校联考期中）已知圆.
(1)若直线过点且被圆截得的弦长为2，求直线的方程；
(2)从圆外一点向圆引一条切线，切点为，为坐标原点，满足，求点的轨迹方程.
【答案】(1)或
(2)
【详解】（1）根据题意，圆的方程为：，其圆心为，半径为，
当直线的斜率不存在时，其方程为，
此时直线与圆的交点为，，，符合题意；
当直线的斜率存在时，设其方程为，即，
则圆心到直线的距离，解得，
所以直线的方程为，
综上，直线的方程为或；
（2）如图，为圆的切线，连接，，则，
所以为直角三角形，即.
设，由（1）知，，
因为，所以，
化简得点的轨迹方程为.
题型14圆的对称问题
【典例1】（2023秋·安徽蚌埠·高二统考期末）若 圆被直线平分，则圆的半径为__________.
【答案】
【详解】若圆被直线平分，则直线过圆心，
圆的圆心为，即，
解得：，
则圆，则圆的半径为.
故答案为：
【典例2】（2023·江苏·高二假期作业）已知圆关于直线成轴对称图形，则________；的取值范围是________.
【答案】
【详解】因为圆可化为，所以其圆心为，
由题意知，直线过圆心，所以，得，
而圆的半径满足，故．
故答案为：；.
【典例3】（2023秋·高二课时练习）求圆关于直线的对称圆方程.
【答案】
【详解】由可得，
故圆心坐标为 ，半径为1，
设点P关于直线的对称点为 ，
则有 ，解得，故 ，
所以圆关于直线的对称圆的方程为：.
【变式1】（2023春·广东汕尾·高二陆丰市龙山中学校考阶段练习）若直线为圆的一条对称轴，则__________．
【答案】1
【详解】由题可知，圆心为，
因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，
即，解得．
故答案为：1.
【变式2】（2023秋·四川凉山·高二统考期末）圆关于直线对称的圆的标准方程为___________.
【答案】
【详解】圆，即，
表示以为圆心，半径为1的圆，
设圆心关于直线对称点的坐标为，
由，
解得，，
故圆心关于直线对称点的坐标为，
故对称圆的圆心为，
因为对称圆半径不变，所以对称圆半径为1，
故所求对称圆方程为.
故答案为：.
三、数学思想
01函数与方程的思想
【典例1】（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知直线与圆，过直线上的任意一点向圆引切线，设切点为，若线段长度的最小值为，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】圆，设，
则，则，，
则，所以圆心到直线的距离是，
，得，．
故选：A．
【典例2】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）在平面直角坐标系中，圆和外切形成一个8字形状，若，为圆M上两点，B为两圆圆周上任一点（不同于点A，P），则的最大值为______．
【答案】/
【详解】圆，，为圆上两点，
可得，解得，，所以，圆，
满足圆和外切，
为两圆圆周上任一点（不同于点，，如果取得最大值，可知在上，设，
则,,，当且仅当时取得最大值．
故答案为：

【典例3】（2023·高二课时练习）已知，，动点M满足，则点M的轨迹方程是______．
【答案】
【详解】设，则，.
因为，
所以，，
整理可得，，
即.
所以，点M的轨迹是圆，方程为.
故答案为：.
02数形结合思想
【典例1】（2022秋·广东肇庆·高二校考期中）已知两点，过点的直线与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由题意：如下图所示：
所以，，则，
若直线的倾斜角，则，所以，
故选：.
【典例21】（2022秋·湖南怀化·高二校考阶段练习）已知、，直线过点，且与线段相交，则直线的斜率取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】设直线交线段于点，记点，如下图所示：
当直线从点运动到点（不包括点）时，直线的倾斜角逐渐减小，且为钝角，
此时直线的斜率；
当直线从点运动到点（不包括点）时直线的倾斜角逐渐增大，且为锐角，
此时直线的斜率.
综上所述，直线的斜率的取值范围是.
故选：C.
【典例3】（2023春·湖南岳阳·高二统考期末）已知圆，过点的直线被该圆所截的弦长的最小值为______.
【答案】
【详解】将圆的一般方程化为
设圆心为，直线过点，与圆交于，两点，则，半径，

设圆心到直线的距离为，则弦长 ，
当直线与所在的直线垂直时最大，此时最小，
这时，
所以最小的弦长 ，
故答案为：.
03分类讨论思想
【典例1】（2023春·四川广安·高二广安二中校考阶段练习）已知在平面直角坐标系xOy中，，，平面内动点P满足．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)点P轨迹记为曲线，若C，D是曲线与x轴的交点，E为直线l：x＝4上的动点，直线CE，DE与曲线的另一个交点分别为M，N，直线MN与x轴交点为Q，求点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）设点为曲线上任意一点，
因为，，，
则，
化简得．
（2）由题意得，，
设，则直线的方程为，
直线的方程为，
联立得，
则，
即，，
所以
联立得，
则，即，，
所以
当时，直线的斜率，
则直线的方程为，
即，所以，
当时，直线垂直于轴，方程为，也过定点．
综上，直线恒过定点．
【典例2】（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考阶段练习）已知圆和定点，动点在圆上．
(1)过点作圆的切线，求切线方程；
(2)若满足，求证：直线过定点．
【答案】(1)或
(2)证明见解析
【详解】（1）因为圆，所以圆心，半径，
当直线斜率不存在时，直线为，易得圆心与的距离为，则直线与相离，不满足题意；
当直线斜率存在时，设切线方程为，即，
则，解得或，
所以切线方程为或，即或.
（2）若直线斜率不存在，由对称性得，
又，所以，故直线为，
联立，解得或（舍去），
故，则，直线方程为，
若直线斜率存在，设直线方程为，
联立，消去，得，
所以，，，
而，
化简得，解得或，
当时，直线为，显然过点，不符合题意，舍去，
故，直线为，显然过定点，而直线也过，
综上：直线过定点.
04转化与化归思想
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）求函数的最大值及最小值．
【答案】最大值为，最小值为0
【详解】解：表示过，的直线的斜率，
由几何意义，即过定点与单位圆相切时的切线斜率为最值，
所以设切线的斜率为，则直线方程为，即，
则，解得或，
所以函数的最大值为，最小值为0．
【典例2】（2020·吉林长春·高二长春外国语学校校考期中）已知点在圆上.
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最大值和最小值；
（3）求的最大值和最小值.
【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）最大值为，最小值为；（3）最大值为，最小值为.
【详解】（1）设，则，可视为直线在轴上的截距，
∴的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，
即直线与圆相切时在轴上的截距.
由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即，
解得或，
∴的最大值为，最小值为.
（2）可视为点与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率.
设过原点的直线的方程为，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即，解得或.
∴的最大值为，最小值为
（3）求它的最值可视为求点 到定点的距离的最值，可转化为圆心到定点的距离与半径的和或差.又圆心到定点的距离为，
∴的最大值为，最小值为.
【典例3】（2020秋·福建·高二校考期中）已知点在圆上.
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最大值与最小值；
（3）求的最大值与最小值
【答案】（1）的最大值是，最小值为；（2） 的最大值为51，的最小值为11；（3）的最大值为，最小值为．
【详解】（1）圆即为，
可得圆心为，半径为，
设，即，
则圆心到直线的距离，
即，
平方得，
解得：，
故的最大值是，最小值为；
（2）表示点与的距离的平方加上2，
连接，交圆于，延长，交圆于，
可得为最短，且为，
为最长，且为，
则 的最大值为，
的最小值为；
（3）圆即为，
令，，
则，
，
，
的最大值为，最小值为．