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2023-2024学年安徽省池州市青阳县八年级（上）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年安徽省池州市青阳县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图形是轴对称图形的有 ( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
2.在平面直角坐标系中，已知点A(m−1,2m−2)，B(−3,2).若直线AB//y轴，则线段AB的长为( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
3.已知一次函数y=kx−k过点(−1,4)，则下列结论正确的是( )
A. y随x增大而增大B. k=2
C. 直线过点(1,0)D. 与坐标轴围成的三角形面积为2
4.下列命题是真命题的是( )
A. 面积相等的两个三角形全等
B. 三角形的外角大于内角
C. 三角形三边垂直平分线的交点到该三角形三个顶点的距离相等
D. 等腰三角形的角平分线与中线重合
5.下列命题的逆命题是真命题的是( )
A. 对顶角相等B. 同一三角形内等角对等边
C. 同角的余角相等D. 全等三角形对应角相等
6.A、B两地相距20千米，甲、乙两人都从A地去B地，图中l1和l2分别表示甲、乙两人所走路程s(千米)与时间t(小时)之间的关系．下列说法错误的是( )
A. 乙晚出发1小时B. 乙出发3小时后追上甲
C. 甲的速度是4千米/小时D. 乙先到达B地
7.折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB上的点E处，已知BC=24，∠B=30º，则DE的长是( )
A. 12B. 10C. 8D. 6
8.如图，△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE.若∠A=30°，AB=AC，则∠BDE的度数为
( )
A. 67.5°
B. 52.5°
C. 45°
D. 75°
9.如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为( )
A. 1cm
B. 2cm
C. 3cm
D. 4cm
10.如图，已知，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA.下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC；④AC=2CD.其中正确的有 个．( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.函数y= x+3x−1中，自变量x的取值范围是______．
12.命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：______．
13.已知直线y=kx−6与直线y=−x+2相交于x轴上一点，则k=______．
14.如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP//OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于______．
15.如图，把△ABC放置在平面直角坐标系中，已知AB=BC，∠ABC=90°，A(3,0)，B(0,−1)，点C在第四象限，则点C的坐标是______．
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
16.已知y−3与x+5成正比例，且当x=2时，y=17.求：
(1)y与x的函数关系；
(2)当x=5时，y的值．
四、解答题：本题共6小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
已知三角形的三边长分别为a，b，c，化简：|a+b−c|−2|a−b−c|+|a+b+c|．
18.(本小题8分)
若点C(−2,−3)关于x轴的对称点为A，关于y轴的对称点为B，
(1)在坐标系xOy中画出△ABC，并求△ABC的面积；
(2)将△ABC向上移2个单位，再向右移4个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标．
19.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=kx−1与y轴交于点B，与x轴交于点C，直线l2：y=x+1与y轴交于点D.直线l1和直线l2相交于点A，已知A点纵坐标为2．
(1)求点A的横坐标及k的值．
(2)点M在直线l2上，MN//y轴，交x轴于点N，若MN=2BD，求点M的坐标．
20.(本小题10分)
如图，OC平分∠MON，P为OC上一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为A，B，连接AB，AB与OP交于点E．
(1)求证：△OPA≌△OPB；
(2)若AB=6，求AE的长．
21.(本小题10分)
李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地.行驶过程中，货车离目的地的路程s(千米)与行驶时间t(小时)的关系如图所示(中途休息、加油的时间不计).当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒.设货车平均耗油量为0.1升/千米，请根据图象解答下列问题：
(1)直接写出工厂离目的地的路程；
(2)求s关于t的函数表达式；
(3)当货车显示加油提醒后，问行驶时间t在怎样的范围内货车应进站加油？
22.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A(8,0)，与y轴交于B(0,8)，点D为OA延长线上一动点，以BD为直角边在其上方作等腰三角形BDE，连接EA．
(1)求证∠EAD=∠OAB；
(2)求直线EA与y轴交点F的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：这五个图形都是轴对称图形．
故选：D．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】D
【解析】解：∵AB//y轴，
∴点A和点B的横坐标相同，
∴m−1=−3，
∴m=−2，
∴2m−2=−6，
∴点A的坐标为(−3,−6)，
∵点B的坐标为(−3,2)且AB//y轴，
∴AB=2−(−6)=8，
故选：D．
因为直线AB//y轴，所以点A和点B的横坐标相同，从而得到关于m的方程，求解方程，得到点A的纵坐标，线段AB的长度等于点A和点B的纵坐标差的绝对值．
本题考查了坐标与图象性质，掌握平行于y轴的直线上的点的坐标特征，是解决本题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：把点(−1,4)代入一次函数y=kx−k，得，
4=−k−k，
解得k=−2，
∴y=−2x+2，
A、k=−2<0，y随x增大而减小，选项A不符合题意；
B、k=−2，选项B不符合题意；
C、当y=0时，−2x+2=0，解得：x=1，
∴一次函数y=−2x+2的图象与x轴的交点为(1,0)，选项C符合题意；
D、当x=0时，y=−2×0+2=2，与坐标轴围成的三角形面积为12×1×2=1，选项D不符合题意．
故选：C．
把点(−1,4)代入一次函数y=kx−k，求得k的值，根据一次函数图象与性质的关系对A、B、C进行判断；根据题意求得直线与坐标轴的交点，然后算出三角形的面积，即可对D进行判断断．
本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)是一条直线，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为(0,b)，与x轴交点(−bk,0)．
4.【答案】C
【解析】解：A、面积相等的两个三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意；
B、三角形的外角不一定大于内角，例如钝角三角形，原说法错误，不符合题意；
C、三角形三边垂直平分线的交点到该三角形三个顶点的距离相等，符合题意；
D、等腰三角形的顶角平分线与中线重合，原说法错误，不符合题意．
故选：C．
分别根据全等三角形的判定定理，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是命题与定理，熟知全等三角形的判定定理，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：A、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题；
B、同一三角形内等角对等边的逆命题是同一三角形内等边对等角，是真命题；
C、同角的余角相等的逆命题是余角相等的角是同角，也可以是等角，是假命题；
D、全等三角形对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题；
故选：B．
先交换原命题的题设与结论得到四个逆命题，然后判断它们的真假．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了函数图像，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
【解答】
解：由图象可得，
乙晚出发1小时，故选项A正确；
乙出发3−1=2小时追上甲，故选项B错误；
甲的速度是12÷3=4(千米/小时)，故选项C正确；
则甲到达B地用的时间为：20÷4=5(小时)，
乙的速度为：12÷(3−1)=6(千米/小时)
乙到达B地用的时间为：20÷6=103(小时)，1+103=133，
∵133<5，乙先到达B地，故选项D正确；
故选：B．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了轴对称的性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时根据轴对称的性质求解是关键．由轴对称的性质可以得出DE=DC，∠AED=∠C=90°，就可以得出∠BED=90°，根据直角三角形的性质就可以求出BD=2DE，然后建立方程求出其解即可．
【解答】
解：∵△ADE与△ADC关于AD对称，
∴△ADE≌△ADC，
∴DE=DC，∠AED=∠C=90°，
∴∠BED=90°，
∵∠B=30°，
∴BD=2DE，
∵BC=BD+CD=24，
∴24=2DE+DE，
∴DE=8．
故选C．
8.【答案】A
【解析】【分析】
根据AB=AC，利用三角形内角和定理求出∠ABC和∠ACB的度数，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DBC=30°，然后即可求出∠BDE的度数．
本题考查了学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点的理解和掌握，此题的突破点是利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DBC=30°，然后即可求得答案．
【解答】
解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
∵∠A=30°，
∴∠ABC=∠ACB=12(180°−30°)=75°，
∵以B为圆心，BC长为半径画弧，
∴BE=BD=BC，
∴∠BDC=∠ACB=75°，
∴∠CBD=180°−75°−75°=30°，
∴∠DBE=75°−30°=45°，
∴∠BED=∠BDE=12(180°−45°)=67.5°．
故选A．
9.【答案】C
【解析】解：∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AN=BN，
∵△BCN的周长是7cm，
∴BN+NC+BC=7(cm)，
∴AN+NC+BC=7(cm)，
∵AN+NC=AC，
∴AC+BC=7(cm)，
又∵AC=4cm，
∴BC=7−AC=3(cm)．
故选：C．
首先根据MN是线段AB的垂直平分线，可得AN=BN，然后根据△BCN的周长是7cm，以及AN+NC=AC，求出BC的长即可．
此题主要考查了线段垂直平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．．
10.【答案】C
【解析】解：①∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△EBC中，AB=BE∠ABD=∠CBDBD=BC，
∴△ABD≌△EBC(SAS)，①正确；
②∵BD为△ABC的角平分线，BD=BC，BE=BA，
∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，
∵△ABD≌△EBC，
∴∠BCE=∠BDA，AD=EC，
∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，②正确；
③由②得：∠BDC=∠BEA，
又∵∠ADE=∠BDC，
∴∠ADE=∠BEA，
∴AD=AE，
∴AD=AE=EC，③正确；
④∵AD=AE=EC，AE+CE>AD+CD，
∴AD>CD，
∴AC≠2CD，故④错误，
故选：C．
由SAS证明△ABD≌△EBC，可得∠BCE=∠BDA，AD=EC可得①正确，再根据角平分线和全等三角形的性质得出②正确；证出∠ADE=∠BEA，得出AD=AE，因此AD=AE=EC，③正确；根据三角形的三边关系得到④错误，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质与判定、三角形内角和定理、三角形的面积关系等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．
11.【答案】x≥−3且x≠1
【解析】解：根据题意得：x+3≥0且x−1≠0，
解得：x≥−3且x≠1．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，可知：x+3≥且x−1≠0，解得自变量x的取值范围．
本题考查函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12.【答案】如果三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形
【解析】本题考查了原命题的逆命题，属于基础题．
根据题意，即可得解．解：因为“直角三角形两锐角互余”的题设是“三角形是直角三角形”，结论是“两个锐角互余”，
所以逆命题是：“如果三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形”．
故答案为：如果三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形．
13.【答案】3
【解析】解：∵直线y=−x+2与x轴相交，
∴−x+2=0，
∴x=2，
∴与x轴的交点坐标为(2,0)，
∵直线y=kx−6与直线y=−x+2相交于x轴上一点，
∴把(2,0)代入y=kx−6中：2k−6=0，
∴k=3．
故答案为：3．
首先求出一次函数y=−x+2与x轴交点，再把此点的坐标代入y=kx−6，即可得到k的值．
此题主要考查了两条直线的交点问题，两条直线与x轴的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达的y=0．
14.【答案】2
【解析】解：作PE⊥OA于E，
∵CP//OB，
∴∠OPC=∠POD，
∵P是∠AOB平分线上一点，∠AOB=30°，
∴∠POA=∠POD=15°，
∴∠ACP=∠OPC+∠POA=30°，
∴PE=12PC=2，
∵P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PD=PE=2，
故答案为：2．
作PE⊥OA于E，根据三角形的外角的性质得到∠ACP=30°，根据直角三角形的性质得到PE=12PC=2，根据角平分线的性质解答；
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
15.【答案】(1,−4)
【解析】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示．
∵∠ABC=90°，∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠DBC=90°，
∴∠OAB=∠DBC．
在△OAB和△DBC中，
∠AOB=∠BDC=90°∠OAB=∠DBCAB=BC，
∴△OAB≌△DBC(AAS)，
∴BD=AO，DC=OB．
∵A(3,0)，B(0,−1)，
∴BD=AO=3，DC=OB=1，OD=OB+BD=4，
∴点C的坐标为(1,−4)．
故答案为：(1,−4)．
过点C作CD⊥y轴于点D，通过角的计算可找出∠OAB=∠DBC，结合∠AOB=∠BDC、AB=BC，即可证△OAB≌△DBC(AAS)，根据全等三角形的性质即可得出BD=AO、DC=OB，再结合点A、B的坐标即可得出DC、OD的长度，进而可得出点C的坐标．
本题考查了全等三角形的判定与性质以及坐标与图形性质，利用全等三角形的判定定理AAS证出△OAB≌△DBC是解题的关键．
16.【答案】解：(1)设y−3=k(x+5)，
把x=2，y=17代入得：14=7k，即k=2，
则y−3=2(x+5)，即y=2x+13；
(2)把x=5代入得：y=10+13=23．
【解析】(1)由y−3与x+5成正比例，设y−3=k(x+5)，把x与y的值代入求出k的值，即可确定出y与x函数关系；
(2)把x=5代入计算即可求出y的值．
此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
17.【答案】解：因为△ABC的三边长分别是a、b、c，
所以必须满足两边之和大于第三边，两边的差小于第三边，则a+b−c>0，a−b−c<0，a+b+c>0，
所以|a+b−c|−2|a−b−c|+|a+b+c|=a+b−c+2a−2b−2c+a+b+c=4a−2c．
【解析】此题考查了三角形三边关系，此题的关键是先根据三角形三边的关系来判定绝对值内式子的正负．
三角形三边满足的条件是：两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可．
18.【答案】解：(1)△ABC如图所示，△ABC的面积=12×6×4=12；
(2)△A1B1C1如图所示，A1(2,5)，B1(6,−1)，C1(2,−1)．
【解析】(1)根据网格结构找出点C，再根据平面直角坐标系找出点A、B的位置，然后顺次连接即可，再根据三角形的面积公式列式计算；
(2)根据网格结构找出平移后的点A1，B1，C1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出A1，B1，C1的坐标．
本题考查了利用平移变换作图，利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构，找出对应点的位置是解题的关键．
19.【答案】解：(1)∵直线l1和直线l2相交于点A，A点纵坐标为2，
∴x+1=2，解得x=1，
∴A(1,2)，
代入y=kx−1得，
∴2=k−1，解得k=3，
∴A(1,2)，k=3；
(2)∵k=3，
∴直线l1：y=3x−1，
直线l1：y=3x−1和直线l2：y=x+1中，令x=0，则y=−1与与y=1，
∴B(0,−1)，D(0,1)，
∴BD=2，
设M(a,a+1)，由MN//y轴，得N(a,0)，
MN=|a+1|=2BD=4，
解得a=3或a=−5，
∴M(3,4)或M(−5,−4)．
【解析】(1)点A的纵坐标为2，由直线l2：y=x+1得点A的横坐标，将点A代入y=kx−1，即可求解；
(2)由已知条件得出M、N两点的纵坐标，利用两点间距离公式求出M的坐标．
本题考查了两条直线相交或平行问题，一次函数图象上点的坐标特征，求得交点坐标是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵PA⊥OM，PB⊥ON，OC平分∠MON，
∴∠PAO=∠PBO=90°，PA=PB，
在Rt△OPA和Rt△OPB中，
PA=PB OP=OP ，
∴Rt△OPA≌Rt△OPB(HL)；
(2)解：由(1)知△OPA≌△OPB，
∴∠APE=∠BPE，
又∵PA=PB，
在△APE和△BPE中，
PA=PB ∠APE=∠BPE PE=PE ，
∴△APE≌△BPE(SAS)，
∴AE=BE，
∴AE=12AB，
∵AB=6，
∴AE=3．
【解析】(1)依据PA⊥OM，PB⊥ON，可得∠PAO=∠PBO=90°，PA=PB，即可根据HL得到Rt△OPA≌Rt△OPB；
(2)依据△OPA≌△OPB可得∠APE=∠BPE，再依据PA=PB，∠APE=∠BPE，PE=PE可利用SAS证明△APE≌△BPE，即可得到AE=BE，进而得出AE=12AB=3．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
21.【答案】解：(1)由图象，得t=0时，s=880，
∴工厂离目的地的路程为880千米，
答：工厂离目的地的路程为880千米；
(2)设s=kt+b(k≠0)，
将(0,880)和(4,560)代入s=kt+b得，
880=b560=4k+b，
解得：k=−80b=880，
∴s关于t的函数表达式：s=−80t+880(0≤t≤11)，
答：s关于t的函数表达式：s=−80t+880(0≤t≤11)；
(3)当油箱中剩余油量为10升时，
s=880−(60−10)÷0.1=380(千米)，
∴380=−80t+880，
解得：t=254(小时)，
当油箱中剩余油量为0升时，
s=880−60÷0.1=280(千米)，
∴280=−80t+880，解得：t=152(小时)，
∵k=−80<0，
∴s随t的增大而减小，
∴t的取值范围是254【解析】(1)由图象直接求出工厂离目的地的路程；
(2)用待定系数法求出函数解析式即可；
(3)当油箱中剩余油量为10升时和当油箱中剩余油量为0升时，求出t的取值即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
22.【答案】(1)证明：过点E作EG⊥x轴，如图1所示，
∴∠EGD=∠DOB=∠EDB=90°，ED=DB，
∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△EGD和△DOB中，
∠EGD=∠DOB∠1=∠3ED=DB，
∴△EGD≌△DOB(AAS)，
∴EG=DO，GD=OB，
∵A(8,0)，B(0,8)，
∴OB=OA=8，
∴GD=OA，
∴DO=DA+OA=DA+DG=AG，
∴EG=AG，
∴∠EAG=∠GEA=45°，
又OA=OB=8，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴∠EAD=∠OAB；
(2)解：如图2，
∵∠EAD=45°，∠AOF=90°，
∴∠OAF=∠OFA=45°，
∴OA=OF=8，
∴点F的坐标为(0,−8)．
【解析】(1)过点E作EG⊥x轴，证明△EGD≌△DOB(AAS)，可得GD=OA，推出EG=AG，可得出∠EAG=∠GEA=45°，由OA=OB=8得∠OAB=∠OBA=45°，即可得出结论；
(2)由∠EAD=45°可得出∠OAF=45°，即可得出点F坐标．
本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是作辅助线构造全等三角形．
1.下列图形是轴对称图形的有 ( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
2.在平面直角坐标系中，已知点A(m−1,2m−2)，B(−3,2).若直线AB//y轴，则线段AB的长为( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
3.已知一次函数y=kx−k过点(−1,4)，则下列结论正确的是( )
A. y随x增大而增大B. k=2
C. 直线过点(1,0)D. 与坐标轴围成的三角形面积为2
4.下列命题是真命题的是( )
A. 面积相等的两个三角形全等
B. 三角形的外角大于内角
C. 三角形三边垂直平分线的交点到该三角形三个顶点的距离相等
D. 等腰三角形的角平分线与中线重合
5.下列命题的逆命题是真命题的是( )
A. 对顶角相等B. 同一三角形内等角对等边
C. 同角的余角相等D. 全等三角形对应角相等
6.A、B两地相距20千米，甲、乙两人都从A地去B地，图中l1和l2分别表示甲、乙两人所走路程s(千米)与时间t(小时)之间的关系．下列说法错误的是( )
A. 乙晚出发1小时B. 乙出发3小时后追上甲
C. 甲的速度是4千米/小时D. 乙先到达B地
7.折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB上的点E处，已知BC=24，∠B=30º，则DE的长是( )
A. 12B. 10C. 8D. 6
8.如图，△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE.若∠A=30°，AB=AC，则∠BDE的度数为
( )
A. 67.5°
B. 52.5°
C. 45°
D. 75°
9.如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为( )
A. 1cm
B. 2cm
C. 3cm
D. 4cm
10.如图，已知，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA.下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC；④AC=2CD.其中正确的有 个．( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.函数y= x+3x−1中，自变量x的取值范围是______．
12.命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：______．
13.已知直线y=kx−6与直线y=−x+2相交于x轴上一点，则k=______．
14.如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP//OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于______．
15.如图，把△ABC放置在平面直角坐标系中，已知AB=BC，∠ABC=90°，A(3,0)，B(0,−1)，点C在第四象限，则点C的坐标是______．
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
16.已知y−3与x+5成正比例，且当x=2时，y=17.求：
(1)y与x的函数关系；
(2)当x=5时，y的值．
四、解答题：本题共6小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
已知三角形的三边长分别为a，b，c，化简：|a+b−c|−2|a−b−c|+|a+b+c|．
18.(本小题8分)
若点C(−2,−3)关于x轴的对称点为A，关于y轴的对称点为B，
(1)在坐标系xOy中画出△ABC，并求△ABC的面积；
(2)将△ABC向上移2个单位，再向右移4个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标．
19.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=kx−1与y轴交于点B，与x轴交于点C，直线l2：y=x+1与y轴交于点D.直线l1和直线l2相交于点A，已知A点纵坐标为2．
(1)求点A的横坐标及k的值．
(2)点M在直线l2上，MN//y轴，交x轴于点N，若MN=2BD，求点M的坐标．
20.(本小题10分)
如图，OC平分∠MON，P为OC上一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为A，B，连接AB，AB与OP交于点E．
(1)求证：△OPA≌△OPB；
(2)若AB=6，求AE的长．
21.(本小题10分)
李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地.行驶过程中，货车离目的地的路程s(千米)与行驶时间t(小时)的关系如图所示(中途休息、加油的时间不计).当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒.设货车平均耗油量为0.1升/千米，请根据图象解答下列问题：
(1)直接写出工厂离目的地的路程；
(2)求s关于t的函数表达式；
(3)当货车显示加油提醒后，问行驶时间t在怎样的范围内货车应进站加油？
22.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A(8,0)，与y轴交于B(0,8)，点D为OA延长线上一动点，以BD为直角边在其上方作等腰三角形BDE，连接EA．
(1)求证∠EAD=∠OAB；
(2)求直线EA与y轴交点F的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：这五个图形都是轴对称图形．
故选：D．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】D
【解析】解：∵AB//y轴，
∴点A和点B的横坐标相同，
∴m−1=−3，
∴m=−2，
∴2m−2=−6，
∴点A的坐标为(−3,−6)，
∵点B的坐标为(−3,2)且AB//y轴，
∴AB=2−(−6)=8，
故选：D．
因为直线AB//y轴，所以点A和点B的横坐标相同，从而得到关于m的方程，求解方程，得到点A的纵坐标，线段AB的长度等于点A和点B的纵坐标差的绝对值．
本题考查了坐标与图象性质，掌握平行于y轴的直线上的点的坐标特征，是解决本题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：把点(−1,4)代入一次函数y=kx−k，得，
4=−k−k，
解得k=−2，
∴y=−2x+2，
A、k=−2<0，y随x增大而减小，选项A不符合题意；
B、k=−2，选项B不符合题意；
C、当y=0时，−2x+2=0，解得：x=1，
∴一次函数y=−2x+2的图象与x轴的交点为(1,0)，选项C符合题意；
D、当x=0时，y=−2×0+2=2，与坐标轴围成的三角形面积为12×1×2=1，选项D不符合题意．
故选：C．
把点(−1,4)代入一次函数y=kx−k，求得k的值，根据一次函数图象与性质的关系对A、B、C进行判断；根据题意求得直线与坐标轴的交点，然后算出三角形的面积，即可对D进行判断断．
本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)是一条直线，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为(0,b)，与x轴交点(−bk,0)．
4.【答案】C
【解析】解：A、面积相等的两个三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意；
B、三角形的外角不一定大于内角，例如钝角三角形，原说法错误，不符合题意；
C、三角形三边垂直平分线的交点到该三角形三个顶点的距离相等，符合题意；
D、等腰三角形的顶角平分线与中线重合，原说法错误，不符合题意．
故选：C．
分别根据全等三角形的判定定理，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是命题与定理，熟知全等三角形的判定定理，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：A、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题；
B、同一三角形内等角对等边的逆命题是同一三角形内等边对等角，是真命题；
C、同角的余角相等的逆命题是余角相等的角是同角，也可以是等角，是假命题；
D、全等三角形对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题；
故选：B．
先交换原命题的题设与结论得到四个逆命题，然后判断它们的真假．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了函数图像，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
【解答】
解：由图象可得，
乙晚出发1小时，故选项A正确；
乙出发3−1=2小时追上甲，故选项B错误；
甲的速度是12÷3=4(千米/小时)，故选项C正确；
则甲到达B地用的时间为：20÷4=5(小时)，
乙的速度为：12÷(3−1)=6(千米/小时)
乙到达B地用的时间为：20÷6=103(小时)，1+103=133，
∵133<5，乙先到达B地，故选项D正确；
故选：B．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了轴对称的性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时根据轴对称的性质求解是关键．由轴对称的性质可以得出DE=DC，∠AED=∠C=90°，就可以得出∠BED=90°，根据直角三角形的性质就可以求出BD=2DE，然后建立方程求出其解即可．
【解答】
解：∵△ADE与△ADC关于AD对称，
∴△ADE≌△ADC，
∴DE=DC，∠AED=∠C=90°，
∴∠BED=90°，
∵∠B=30°，
∴BD=2DE，
∵BC=BD+CD=24，
∴24=2DE+DE，
∴DE=8．
故选C．
8.【答案】A
【解析】【分析】
根据AB=AC，利用三角形内角和定理求出∠ABC和∠ACB的度数，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DBC=30°，然后即可求出∠BDE的度数．
本题考查了学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点的理解和掌握，此题的突破点是利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DBC=30°，然后即可求得答案．
【解答】
解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
∵∠A=30°，
∴∠ABC=∠ACB=12(180°−30°)=75°，
∵以B为圆心，BC长为半径画弧，
∴BE=BD=BC，
∴∠BDC=∠ACB=75°，
∴∠CBD=180°−75°−75°=30°，
∴∠DBE=75°−30°=45°，
∴∠BED=∠BDE=12(180°−45°)=67.5°．
故选A．
9.【答案】C
【解析】解：∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AN=BN，
∵△BCN的周长是7cm，
∴BN+NC+BC=7(cm)，
∴AN+NC+BC=7(cm)，
∵AN+NC=AC，
∴AC+BC=7(cm)，
又∵AC=4cm，
∴BC=7−AC=3(cm)．
故选：C．
首先根据MN是线段AB的垂直平分线，可得AN=BN，然后根据△BCN的周长是7cm，以及AN+NC=AC，求出BC的长即可．
此题主要考查了线段垂直平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．．
10.【答案】C
【解析】解：①∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△EBC中，AB=BE∠ABD=∠CBDBD=BC，
∴△ABD≌△EBC(SAS)，①正确；
②∵BD为△ABC的角平分线，BD=BC，BE=BA，
∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，
∵△ABD≌△EBC，
∴∠BCE=∠BDA，AD=EC，
∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，②正确；
③由②得：∠BDC=∠BEA，
又∵∠ADE=∠BDC，
∴∠ADE=∠BEA，
∴AD=AE，
∴AD=AE=EC，③正确；
④∵AD=AE=EC，AE+CE>AD+CD，
∴AD>CD，
∴AC≠2CD，故④错误，
故选：C．
由SAS证明△ABD≌△EBC，可得∠BCE=∠BDA，AD=EC可得①正确，再根据角平分线和全等三角形的性质得出②正确；证出∠ADE=∠BEA，得出AD=AE，因此AD=AE=EC，③正确；根据三角形的三边关系得到④错误，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质与判定、三角形内角和定理、三角形的面积关系等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．
11.【答案】x≥−3且x≠1
【解析】解：根据题意得：x+3≥0且x−1≠0，
解得：x≥−3且x≠1．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，可知：x+3≥且x−1≠0，解得自变量x的取值范围．
本题考查函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12.【答案】如果三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形
【解析】本题考查了原命题的逆命题，属于基础题．
根据题意，即可得解．解：因为“直角三角形两锐角互余”的题设是“三角形是直角三角形”，结论是“两个锐角互余”，
所以逆命题是：“如果三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形”．
故答案为：如果三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形．
13.【答案】3
【解析】解：∵直线y=−x+2与x轴相交，
∴−x+2=0，
∴x=2，
∴与x轴的交点坐标为(2,0)，
∵直线y=kx−6与直线y=−x+2相交于x轴上一点，
∴把(2,0)代入y=kx−6中：2k−6=0，
∴k=3．
故答案为：3．
首先求出一次函数y=−x+2与x轴交点，再把此点的坐标代入y=kx−6，即可得到k的值．
此题主要考查了两条直线的交点问题，两条直线与x轴的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达的y=0．
14.【答案】2
【解析】解：作PE⊥OA于E，
∵CP//OB，
∴∠OPC=∠POD，
∵P是∠AOB平分线上一点，∠AOB=30°，
∴∠POA=∠POD=15°，
∴∠ACP=∠OPC+∠POA=30°，
∴PE=12PC=2，
∵P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PD=PE=2，
故答案为：2．
作PE⊥OA于E，根据三角形的外角的性质得到∠ACP=30°，根据直角三角形的性质得到PE=12PC=2，根据角平分线的性质解答；
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
15.【答案】(1,−4)
【解析】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示．
∵∠ABC=90°，∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠DBC=90°，
∴∠OAB=∠DBC．
在△OAB和△DBC中，
∠AOB=∠BDC=90°∠OAB=∠DBCAB=BC，
∴△OAB≌△DBC(AAS)，
∴BD=AO，DC=OB．
∵A(3,0)，B(0,−1)，
∴BD=AO=3，DC=OB=1，OD=OB+BD=4，
∴点C的坐标为(1,−4)．
故答案为：(1,−4)．
过点C作CD⊥y轴于点D，通过角的计算可找出∠OAB=∠DBC，结合∠AOB=∠BDC、AB=BC，即可证△OAB≌△DBC(AAS)，根据全等三角形的性质即可得出BD=AO、DC=OB，再结合点A、B的坐标即可得出DC、OD的长度，进而可得出点C的坐标．
本题考查了全等三角形的判定与性质以及坐标与图形性质，利用全等三角形的判定定理AAS证出△OAB≌△DBC是解题的关键．
16.【答案】解：(1)设y−3=k(x+5)，
把x=2，y=17代入得：14=7k，即k=2，
则y−3=2(x+5)，即y=2x+13；
(2)把x=5代入得：y=10+13=23．
【解析】(1)由y−3与x+5成正比例，设y−3=k(x+5)，把x与y的值代入求出k的值，即可确定出y与x函数关系；
(2)把x=5代入计算即可求出y的值．
此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
17.【答案】解：因为△ABC的三边长分别是a、b、c，
所以必须满足两边之和大于第三边，两边的差小于第三边，则a+b−c>0，a−b−c<0，a+b+c>0，
所以|a+b−c|−2|a−b−c|+|a+b+c|=a+b−c+2a−2b−2c+a+b+c=4a−2c．
【解析】此题考查了三角形三边关系，此题的关键是先根据三角形三边的关系来判定绝对值内式子的正负．
三角形三边满足的条件是：两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可．
18.【答案】解：(1)△ABC如图所示，△ABC的面积=12×6×4=12；
(2)△A1B1C1如图所示，A1(2,5)，B1(6,−1)，C1(2,−1)．
【解析】(1)根据网格结构找出点C，再根据平面直角坐标系找出点A、B的位置，然后顺次连接即可，再根据三角形的面积公式列式计算；
(2)根据网格结构找出平移后的点A1，B1，C1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出A1，B1，C1的坐标．
本题考查了利用平移变换作图，利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构，找出对应点的位置是解题的关键．
19.【答案】解：(1)∵直线l1和直线l2相交于点A，A点纵坐标为2，
∴x+1=2，解得x=1，
∴A(1,2)，
代入y=kx−1得，
∴2=k−1，解得k=3，
∴A(1,2)，k=3；
(2)∵k=3，
∴直线l1：y=3x−1，
直线l1：y=3x−1和直线l2：y=x+1中，令x=0，则y=−1与与y=1，
∴B(0,−1)，D(0,1)，
∴BD=2，
设M(a,a+1)，由MN//y轴，得N(a,0)，
MN=|a+1|=2BD=4，
解得a=3或a=−5，
∴M(3,4)或M(−5,−4)．
【解析】(1)点A的纵坐标为2，由直线l2：y=x+1得点A的横坐标，将点A代入y=kx−1，即可求解；
(2)由已知条件得出M、N两点的纵坐标，利用两点间距离公式求出M的坐标．
本题考查了两条直线相交或平行问题，一次函数图象上点的坐标特征，求得交点坐标是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵PA⊥OM，PB⊥ON，OC平分∠MON，
∴∠PAO=∠PBO=90°，PA=PB，
在Rt△OPA和Rt△OPB中，
PA=PB OP=OP ，
∴Rt△OPA≌Rt△OPB(HL)；
(2)解：由(1)知△OPA≌△OPB，
∴∠APE=∠BPE，
又∵PA=PB，
在△APE和△BPE中，
PA=PB ∠APE=∠BPE PE=PE ，
∴△APE≌△BPE(SAS)，
∴AE=BE，
∴AE=12AB，
∵AB=6，
∴AE=3．
【解析】(1)依据PA⊥OM，PB⊥ON，可得∠PAO=∠PBO=90°，PA=PB，即可根据HL得到Rt△OPA≌Rt△OPB；
(2)依据△OPA≌△OPB可得∠APE=∠BPE，再依据PA=PB，∠APE=∠BPE，PE=PE可利用SAS证明△APE≌△BPE，即可得到AE=BE，进而得出AE=12AB=3．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
21.【答案】解：(1)由图象，得t=0时，s=880，
∴工厂离目的地的路程为880千米，
答：工厂离目的地的路程为880千米；
(2)设s=kt+b(k≠0)，
将(0,880)和(4,560)代入s=kt+b得，
880=b560=4k+b，
解得：k=−80b=880，
∴s关于t的函数表达式：s=−80t+880(0≤t≤11)，
答：s关于t的函数表达式：s=−80t+880(0≤t≤11)；
(3)当油箱中剩余油量为10升时，
s=880−(60−10)÷0.1=380(千米)，
∴380=−80t+880，
解得：t=254(小时)，
当油箱中剩余油量为0升时，
s=880−60÷0.1=280(千米)，
∴280=−80t+880，解得：t=152(小时)，
∵k=−80<0，
∴s随t的增大而减小，
∴t的取值范围是254
(2)用待定系数法求出函数解析式即可；
(3)当油箱中剩余油量为10升时和当油箱中剩余油量为0升时，求出t的取值即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
22.【答案】(1)证明：过点E作EG⊥x轴，如图1所示，
∴∠EGD=∠DOB=∠EDB=90°，ED=DB，
∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△EGD和△DOB中，
∠EGD=∠DOB∠1=∠3ED=DB，
∴△EGD≌△DOB(AAS)，
∴EG=DO，GD=OB，
∵A(8,0)，B(0,8)，
∴OB=OA=8，
∴GD=OA，
∴DO=DA+OA=DA+DG=AG，
∴EG=AG，
∴∠EAG=∠GEA=45°，
又OA=OB=8，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴∠EAD=∠OAB；
(2)解：如图2，
∵∠EAD=45°，∠AOF=90°，
∴∠OAF=∠OFA=45°，
∴OA=OF=8，
∴点F的坐标为(0,−8)．
【解析】(1)过点E作EG⊥x轴，证明△EGD≌△DOB(AAS)，可得GD=OA，推出EG=AG，可得出∠EAG=∠GEA=45°，由OA=OB=8得∠OAB=∠OBA=45°，即可得出结论；
(2)由∠EAD=45°可得出∠OAF=45°，即可得出点F坐标．
本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是作辅助线构造全等三角形．
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