2023-2024学年广东省广州市番禺区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省广州市番禺区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，下列四个图分别是第24届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为( )
A. B. C. D.
2.2022年11月29日23时08分，搭载三名中国航天员的神舟十五号载人飞船发射成功，随后与神舟十四号乘组在距离地球约400000m的中国空间站胜利会师.将数据400000m用科学记数法表示为a×10n米，下列说法正确的是( )
A. a=400，n=3B. a=4，n=5
C. a=4，n=6D. a=0.4，n=6
3.如图，在△ABC中，∠A=50°，∠B=70°，则外角∠ACD的度数是( )
A. 110°
B. 120°
C. 130°
D. 140°
4.下列运算正确的是( )
A. a2⋅a=a2B. (a3)2=a5C. (ab)5=a5b5D. (−3a)3=−9a3
5.如果一个三角形的两边长分别为2和5，则第三边长可能是( )
A. 2B. 3C. 5D. 8
6.在平面直角坐标系中，点P(−2,3)关于y轴对称的点的坐标是( )
A. (3,−2)B. (2,−3)C. (−3,2)D. (2,3)
7.一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是( )
A. 五边形B. 六边形C. 七边形D. 八边形
8.若9x2+kx+4是一个关于x的完全平方式，那么k值是( )
A. ±6B. 6C. ±12D. 12
9.如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应选在( )
A. A点
B. B点
C. C点
D. D点
10.如图，已知△ABC是等腰三角形，B(1,0)，∠ABO=60°，点C在坐标轴上，则满足条件的点C的个数是( )
A. 8个B. 7个C. 6个D. 5个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若分式3x−2有意义，则x的取值范围是 ______ ．
12.如图，在△ABC的纸片中，∠C=90°，沿DE剪开得四边形ADEB，则∠1+∠2的度数为 ______ °.
13.将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图，则三角板的最大边的长为 ______ cm．
14.我们知道，多项式的乘法公式可以利用图形中面积的等量关系来验证其正确性，如(a+b)2=a2+2ab+b2就能利用图1的面积进行验证.那么，能利用图2的面积进行验证的含x、y、z的等式为 ______ ．
15.如图，已知∠ACB=∠BDA=90°，请你添加一个条件，使得△ACB≌△BDA.你添加的条件是：______.写出一个符合题意的即可)
16.运用分式的知识，解决以下问题：
当x>0时，随着x的增大，3x+2x的值 ______ (增大或减小)；
当x>0时，若x无限增大，则3x+2x的值无限接近一个数，这个数为 ______ ．
三、计算题：本大题共1小题，共4分。
17.分解因式：
(1)3a2−6ab+3b2；
(2)x2(m−2)+y2(2−m)．
四、解答题：本题共8小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题4分)
计算：
(1)2a2(3a2+5b)；
(2)(5x+2y)(3x−2y)．
19.(本小题6分)
如图，已知AC和BD相交于点O，且AB//DC，OA=OB．
求证：OC=OD．
20.(本小题6分)
为筹办一个大型运动会，某地打算修建一个大型体育中心，已知该地有三个城镇中心(图1中以P，Q，R表示)和两条高速公路(图1中以线段PQ，线段PR表示).在选址过程中，小度同学建议该体育中心所在位置应与该地人口较多的城镇中心P，Q的距离相等，且到两条高速公路PQ，PR的距离也相等.请你根据上述小度的建议，试在图2中标出体育中心M的位置.(请保留作图痕迹，不必写作法)
21.(本小题8分)
如图，已知AB=DC，AB/​/CD，E、F是AC上两点，且AF=CE．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)若∠BCE=40°，∠CBE=60°，求∠CFD的度数．
22.(本小题10分)
(1)解分式方程：2x+1−1x=0；
(2)先化简，再求值：x2−1x2−2x+1÷x+1x−1⋅1−x1+x，其中x=2．
23.(本小题10分)
将△ABC(AB>AC)沿AD折叠，使点C刚好落在AB边上的点E处．

(1)在图1中，若AB=8，AC=6，S△ACD=9，求BE和△ABD的面积；
(2)在图2中，若∠C=2∠B，求证：AB=AC+CD．
24.(本小题12分)
列分式方程解下列应用题：
(1)为响应国家节能减排的号召，某公司计划购买A，B两种型号的新能源电动汽车，已知A型车比B型车的单价少3万元，且用180万元购买A型车与用240万元购买B型车的数量相等，求A型车的单价．
(2)用电脑程序控制小型赛车进行50m比赛，“畅想号”和“和谐号”两辆赛车进入了决赛，比赛前的练习中，两辆车从起点同时出发，“畅想号”到达终点时，“和谐号”离终点还差2m，已知“畅想号”的平均速度为2.5m/s.如果两车重新开始比赛，“畅想号”从起点向后退2m，两车同时出发，两车能否同时到达终点？若能，求出两车到达终点的时间；若不能，请说明理由，并调整其中一辆车的平均速度，使两车能同时到达终点．
25.(本小题12分)
如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α(0°<α<60°)，将线段BC绕点B逆时针旋转β(0°<β<180°)得到线段BD．
(1)如图1，直接写出∠ABD的大小.(用含α、β的式子表示)
(2)如图2，当β=60°时，E为△ABC外的一点，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状，并加以证明．
(3)若将线段BA也绕点B顺时针旋转β得到线段BE，当C，D，E三点在同一条直线上时，请探究∠ADC与β的数量关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
利用轴对称图形的定义进行解答即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2.【答案】B
【解析】解：∵400000=4×105．
∴a=4，n=5．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】B
【解析】解：∵∠A=50°，∠B=70°，
∴∠ACD=∠A+∠B=50°+70°=120°．
故选：B．
根据三角形外角性质解答即可．
此题考查三角形的外角性质，关键是根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答．
4.【答案】C
【解析】解：A、a2⋅a=a3，故A不符合题意；
B、(a3)2=a6，故B不符合题意；
C、(ab)5=a5b5，故C符合题意；
D、(−3a)3=−27a3，故D不符合题意；
故选：C．
利用同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5.【答案】C
【解析】解：设第三边长为x，则
由三角形三边关系得5−2故选C．
根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；可求第三边长的范围，再选出答案．
本题考查了三角形三边关系，此题实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
6.【答案】D
【解析】解：点P(−2,3)关于y轴对称的点的坐标是(2,3)
故选：D．
关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
7.【答案】D
【解析】解：设多边形的边数是n，则
(n−2)⋅180=3×360，
解得：n=8．
故选：D．
根据多边形的外角和是360°，以及多边形的内角和定理即可求解．
本题考查了多边形的内角和定理以及外角和定理，正确理解定理是关键．
8.【答案】C
【解析】解：9x2+kx+4=(3x)2+kx+22，
∴kx=±2×3x×2，
∴k=±12，
故选：C．
利用完全平方公式的结构特征判断即可得到k的值．
本题考查了完全平方式的应用，两数的平方和，再加上或减去他们乘积的倍，就构成一个完全平方式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题关键．
9.【答案】C
【解析】解：如图，点M′是点M关于直线l的对称点，连接M′N，则M′N与直线l的交点，即为点P，此时PM+PN最短，
∵M′N与直线l交于点C，
∴点P应选C点．
故选：C．
首先求得点M关于直线l的对称点M′，连接M′N，即可求得答案．
此题考查了轴对称−最短路径问题．注意首先作出其中一点关于直线l的对称点，对称点与另一点的连线与直线l的交点就是所要找的点．
10.【答案】B
【解析】解：如图所示：
当AB=AC时，符合条件的点有3个；
当BA=BC时，符合条件的点有3个；
当点C在AB的垂直平分线上时，符合条件的点有2个．
但有1个是重合，
故符合条件的点C共有7个．
故选：B．
分为AB=AC、BC=BA，CB=CA三种情况画图判断即可．
本题主要考查的是等腰三角形的定义、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
11.【答案】x≠2
【解析】解：∵分式3x−2有意义，
∴x−2≠0，
∴x≠2．
故答案是：x≠2．
根据分式有意义的条件计算即可．
本题主要考查了分式有意义的条件，准确计算是解题的关键．
12.【答案】270
【解析】解：∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠1+∠2
=(4−2)×180°−(∠A+∠B)
=360°−90°
=270°，
故答案为：270．
根据直角三角形的两锐角互余可求得∠A+∠B=90°，再利用多边形的内角和列式计算即可求得答案．
本题考查直角三角形及多边形的内角和，结合已知条件求得∠A+∠B=90°及四边形的内角和是解题的关键．
13.【答案】6 2
【解析】解：如图，过点B作纸条的一边的垂线，
∵纸条的宽为3cm，
∴BD=3cm，
∵∠BAD=30°，
∴AB=2BD=2×3=6cm，
∴根据勾股定理得，BC= 2AB= 2×6=6 2cm．
故答案为：6 2．
标上字母，过点B作BD垂直于纸条的一边，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AB的长，再根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的 2倍解答即可．
本题考查了含30°角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
14.【答案】(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz
【解析】解：图2是边长为x+y+z，因此面积为(x+y+z)2，
图2中9个部分的面积和为x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz，
所以(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz，
故答案为：(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz．
从“整体”和“部分”分别用代数式表示图2的面积即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
15.【答案】AC=BD(答案不唯一)
【解析】解：添加的条件是AC=BD(答案不唯一)，理由如下：
∵∠ACB=∠BDA=90°，
∴△ACB和△BDA是直角三角形，
在Rt△ACB和Rt△BDA中，
AB=BA AC=BD ，
∴△ACB≌△BDA(HL)，
故答案为：AC=BD(答案不唯一)．
根据全等三角形的判定定理求解即可．
此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
16.【答案】减小 3
【解析】解：(1)∵3x+2x=3xx+2x=3+2x，
∵当x>0时，随着x的增大，2x的值减小，
∴3x+2x的值减小，
故答案为：减小；
(2)3x+2x=3xx+2x=3+2x，
∵当x>0时，若x无限增大，则2x的值无限接近0，
∴3x+2x的值无限接近3，
故答案为：3．
(1)先化简分式，然后根据2x的变化情况，即可解答；
(2)先化简分式，然后根据2x的变化情况，即可解答．
本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】解：(1)3a2−6ab+3b2
=3(a2−2ab+b2)
=3(a−b)2；
(2)x2(m−2)+y2(2−m)
=x2(m−2)−y2(m−2)
=(m−2)(x2−y2)
=(m−2)(x+y)(x−y)．
【解析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
(1)先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可；
(2)先提公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可．
18.【答案】解：(1)原式=6a4+10a2b；
(2)原式=15x2−10xy+6xy−4y2=15x2−4xy−4y2．
【解析】(1)根据单项式乘以多项式即可求出结果；
(2)根据多项式乘以多项式即可求出结果．
本题考查了多项式乘多项式，多项式乘单项式，解决本题的关键是掌握多项式乘多项式法则．
19.【答案】证明：∵AB/​/DC，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
∵OA=OB，
∴∠A=∠B，
∴∠C=∠D，
∴OC=OD．
【解析】利用平行线的性质可求得∠A=∠C，∠B=∠D，利用OA=OB，可求得∠A=∠B，则可求得∠C=∠D，则可证得OC=OD．
本题主要考查等腰三角形的判定和性质及平行线的性质，利用平行线的性质及等腰三角形的性质证得∠C=∠D是解题的关键．
20.【答案】解：如图，点M即为所求．

【解析】作线段PQ的垂直平分线EF，作∠QPR的角平分线PT，PT交EF一点M，点M即为所求．
本题考查作图−应用与设计作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，熟练掌握五种基本作图．
21.【答案】(1)证明：∵AF=CE，
∴AF−EF=CE−EF，即AE=CF．
又∵AB/​/CD，
∴∠BAE=∠DCF．
在△ABE和△CDF中AB=CD∠BAE=∠DCFAE=CF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)；
(2)解：∵∠BCE=40°，∠CBE=60°，
∴∠AEB=∠BCE+∠CBE=40°+60°=100°，
∵△ABE≌△CDF，
∴∠CFD=∠AEB=100°．
【解析】(1)由题意易证AE=CF，根据平行线的性质可得出∠BAE=∠DCF，从而可由SAS证明△ABE≌△CDF；
(2)根据三角形外角的性质得出∠AEB=∠BCE+∠CBE=100°，再根据全等三角形的性质即得出∠CFD=∠AEB=100°．
本题考查三角形全等的判定和性质，平行线的性质，三角形外角的性质．熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题关键．
22.【答案】解：(1)1x+1−1x=0，
方程两边同乘x(x+1)，得2x−(x+1)=0，
解得：x=1，
当x=1时，x(x+1)=2≠0，
所以原方程的解为x=1；
(2)原式=(x+1)(x−1)(x−1)2⋅x−1x+1⋅1−x1+x
=1−x1+x，
当x=2时，原式=1−21+2=−13．
【解析】(1)①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④求出未知数；
(2)根据分式的乘除法法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
本题考查的是分式方程的解法、分式的化简求值，掌握解分式方程的一般步骤、分式的混合运算法则是解题的关键．
23.【答案】(1)解：如图1，作DH⊥AB于点H，
由折叠得△AED≌△ACD，AE=AC=6，
∴S△AED=S△ACD=9，
∵AB=8，
∴BE=AB−AE=8−6=2，
∴BEAE=26=13，
∴BE=13AE，
∴S△BED=12BE⋅DH=12×13AE⋅DH=13S△AED=13×9=3，
∴S△ABD=S△AED+S△BED=9+3=12，
∴BE的长是2，△ABD的面积是12．
(2)证明：如图2，由折叠得∠AED=∠C，AE=AC，ED=CD，
∵∠C=2∠B，
∴∠AED=2∠B，
∵∠AED=∠EDB+∠B，
∴2∠B=∠EDB+∠B，
∴∠B=∠EDB，
∴EB=ED=CD，
∴AE+EB=AC+CD，
∵AB=AE+EB，
∴AB=AC+CD．
【解析】(1)作DH⊥AB于点H，由折叠得△AED≌△ACD，AE=AC=6，则S△AED=S△ACD=9，BE=AB−AE=2，所以BE=13AE，则S△BED=12BE⋅DH=12×13AE⋅DH=13S△AED=3，所以S△ABD=S△AED+S△BED=12；
(2)由折叠得∠AED=∠C，AE=AC，ED=CD，因为∠C=2∠B，所以∠AED=2∠B=∠EDB+∠B，则∠B=∠EDB，所以EB=ED=CD，则AB=AE+EB=AC+CD．
此题重点考查三角形的面积公式、轴对称的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、等腰三角形的判定等知识，证明∠AED=∠C，AE=AC，ED=CD是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设A型车的单价为a万元，则B型车的单价为(x+3)万元，
由题意等：180a=240a+3，
解得：a=9，
经检验，a=9是原方程的解，且符合题意，
答：A型车的单价为9万元．
(2)设“和谐号”的平均速度为x m/s，
由题意得：502.5=50−2x，
解得：x=2.4，
经检验，x=2.4是原方程的解，且符合题意，
即“和谐号”的平均速度2.4m/s．
∵(50+2)÷2.5=20.8(s)，50÷2.4=2056(s)，
20.8≠2056，
∴两车不能同时到达．
设调整后“和谐号”的平均速度为y m/s，
由题意得：50+22.5=50y，
解得：y=12552，
经检验，y=12552是原方程的解，且符合题意，
即调整“和谐号”的车速为12552m/s，使两车能同时到达终点．
【解析】(1)设A型车的单价为a万元，则B型车的单价为(x+3)万元，根据用180万元购买A型车与用240万元购买B型车的数量相等，列出分式方程，解方程即可；
(2)设“和谐号”的平均速度为x，根据“畅想号”运动50m与“和谐号”运动45m所用时间相等，列出分式方程，解方程，进而得两车不能同时到达，再设调整后“和谐号”的平均速度为y m/s，根据时间相等，列出分式方程，求解即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵AB=AC，∠BAC=a(0°∴∠ABC=12(180°−α)=90°−12α，
∵线段BC绕点B逆时针旋转β(0°<β<180°)得到线段BD，
∴∠CBD=β，
当BD在△ABC的内部时：∠ABD=∠ABC−∠CBD=90°−12α−β；
当BD在△ABC的外部时：∠ABD=∠CBD−∠ABC=β−90°+12α；
综上：∠ABD=90°−12α−β或∠ABD=12α+β−90°；
(2)△ABE为等边三角形，
证明如下：连接AD，CD，DE，

∵将线段BC绕点B逆时针旋转β，β=60°，
∴∠CBD=60°，BC=BD，
∴△BCD为等边三角形，
∴BD=CD，
∵AB=AC，AD=AD，
∴△BAD≌△CAD(SSS)，
∴∠BAD=∠CAD=12α，
∴由(1)知∠ABD=90°−12α−β=30°−12α，
∵∠ABE=∠CBD=60°，
∴∠CBE=∠ABD=30°−12α，
∴∠BEC=180°−∠BCE−∠CBE=180°−150°−(30°−12α)=12α，
又BD=BC，
∴△ABD≌△EBC(SAS)，
∴AB=BE，
∵∠ABE=60°，
∴△ABE为等边三角形；
(3)当点C在DE之间时，
如图：

∵将线段BC绕点B逆时针旋转β，
∴AB=AE，BC=BD，∠CBD=∠ABE=β，
∴∠ABD=∠CBE=β−∠ABC，∠BCD=∠BDC=12(180°−β)=90°−12β，
∴△BAD≌△BEC，∠BCE=180°−∠BCD=180°−90°+12β=12β+90°，
∴∠ADB=∠BCE=12β+90°，
∴∠ADC=∠ADB−∠BDC=12β+90°−90°+12β=β；
②当点D在CE之间时，
如图，

同理可得：∠BCD=∠BDC=12(180°−β)=90°−12β，△BAD≌△BEC，
∴∠ADB=∠BCE=90°−12β，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=180°−β，
综上：∠ADC=180°−β或∠ADC=β．
【解析】(1)由等腰三角形的性质得出∠ABC=12(180°−α)=90°−12α，由旋转的性质得出∠CBD=β，分两种情况可得出答案；
(2)证明△BAD≌△CAD(SSS)，得出∠BAD=∠CAD=12α，证明△ABD≌△EBC(SAS)，由全等三角形的性质得出AB=BE，由等边三角形的判定可得出答案；
(3)分两种情况，当点C在DE之间时，当点D在CE之间时，由全等三角形的性质及等边三角形的性质可得出答案．
本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握定理及性质是解题的关键．