2023-2024学年河南省焦作市宇华实验学校普通班高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省焦作市宇华实验学校普通班高二（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知平面α的一个法向量n=(−2,−2,1)，点A(−1,3,0)在α内，则P(−2,1,4)到α的距离为( )
A. 10B. 3C. 83D. 103
2.直线x+2ay−1=0和直线(3a−1)x−ay−1=0垂直，则a=( )
A. 1B. 12C. 1或12D. 1或−12
3.动圆P过定点M(0,2)，且与圆N：x2+(y+2)2=4相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是( )
A. y2−x23=1(y0)的焦点，M(4,y0)是抛物线C上一点，且|MF|=4．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l与抛物线C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为(8,12)，求直线l的斜率．
21.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(2, 2)，离心率为 22．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知C的下顶点为A，不过A的直线l与C交于点E，F，线段EF的中点为G，若∠AGE=2∠GAF，试问直线l是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
22.(本小题12分)
近些年来，短视频社交软件日益受到追捧，用户可以通过软件选择歌曲，拍摄音乐短视频，创作自己的作品．某用户对自己发布的短视频个数x与收到的点赞数之和y之间的关系进行了分析研究，得到如下数据：
(Ⅰ)计算x，y的相关系数r，并判断是否可以认为发布的短视频个数与收到的点赞数之和具有较高的线性相关程度？(若0.30)过点(2, 2)，离心率为 22，列方程组，求出a=2 2，b=2，由此能求出椭圆方程．
(2)推导出AE⊥AF，设l的方程为y=kx+m，E(x1,y1)，F(x2,y2)联立y=kx+mx28+y24=1，消去y，整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2−8=0，根据韦达定理、向量数量积公式，结合椭圆性质能求出直线l恒过定点，定点坐标为(0,23)．
本题考查直线与椭圆、根的判别式、韦达定理、弦长公式、向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
22.【答案】解：(Ⅰ)∵i=15(xi−x−)2=10，i=15(yi−y−)2=430，i=15(xi−x−)(yi−y−)=65，
∴r=i=15(xi−x−)(yi−y−) i=15(xi−x−)2 i=15(yi−y−)2=65 10× 430=65 4300≈6565.57≈0.99>0.75．
∴发布的短视频个数与收到的点赞数之和具有较高的线性相关程度．
(Ⅱ)∵b =i=15(xi−x−)(yi−y−)i=15(xi−x−)2=6510=6.5，
又∵x−=15×(3+4+5+6+7)=5，y−=15×(45+50+60+65+70)=58，
∴a =58−6.5×5=25.5，
∴y关于x的线性回归方程为y=6.5x+25.5．
【解析】(I)根据已知条件，结合相关系数的公式，即可求解．
(II)根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解．
本题主要考查了线性回归方程的求解，需要学生熟练掌握最小二乘法公式，属于基础题．
23.【答案】解：(1)设M的坐标为(x,y)，P的坐标为(x′,y′)，
由|MD|=45|PD|，解得：x′=xy′=54y
∵P在圆上，
∴x′2+y′2=25，即x2+(54y)2=25，整理得：x225+y216=1，
即C的方程为：x225+y216=1；
(2)过点(3,0)，斜率为k=45，的直线方程为：y=45(x−3)，
设直线与C的交点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，
将直线方程y=45(x−3)代入C的方程，得x225+(x−3)225=1，整理得：x2−3x−8=0
∴由韦达定理可知：x1+x2=3，x1·x2=−8，
∴线段AB的长度为|AB|= 1+k2|x2−x1|= 1+(45)2⋅ 32+32= 4125×41=415，
线段AB的长度丨AB丨=415
【解析】(1)由题意可知：M的坐标为(x,y)，P的坐标为(x′,y′)，则|MD|=45|PD|，解得：x′=xy′=54y，代入x′2+y′2=25，整理得：x225+y216=1；
(2)设直线方程为：y=45(x−3)，代入椭圆方程，由韦达定理可知：x1+x2=3，x1⋅x2=−8，弦长公式：丨AB丨= 1+k2⋅ (x1+x2)2−4x1x2，即可求得直线被C所截线段的长度．
本题考查点的轨迹方程的求法，椭圆的标准方程的应用，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式的应用，考查计算能力，属于中档题．x
3
4
5
6
7
y
45
50
60
65
70